double-order Hilfer分数阶共振边值问题解的存在性

孟凡猛，江卫华，郭春静

(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

分数阶微分方程广泛用于解决物理、化学、经济等学科的实际问题[1-5]。边值问题研究起源于应用数学和物理领域[6-8]，弹力稳定性理论中很多问题都可以采用边值问题方法加以解决。因此，分数阶微分方程边值问题受到很多专家和学者的关注[9-12]。

许多研究者研究了常见的Riemann-Liouville导数和Caputo导数的边值问题。例如，WANG等[13]研究了Riemann-Liouville分数阶微分方程三点边值问题

解的存在性，其中1<α<2，0<ξ<1，ηξα-1=1。将共振边值问题转化为非共振边值问题，再运用不动点定理，可得到Riemann-Liouville分数阶微分方程三点边值问题解的存在性。TANG[14]研究了共振情形下Caputo分数阶微分方程四点边值问题

解的存在性，其中1<α≤2，0<ξ,η<1。运用Mawhin的重合度理论，可得到共振情形下Caputo分数阶微分方程四点边值问题解的存在性。HILFER[15]对Riemann-Liouville导数和Caputo导数进行了推广，得到介于这2个导数之间且包含这2个导数的Hilfer分数阶导数。具有Hilfer导数的分数阶微分方程在近10年取得了一些成果[16-19]。RI等[20]研究了共振情形下Hilfer分数阶微分方程多点边值问题

其中φ1(t),φ2(t)∈C[0,T]，ζ0(x)∈C[0,l]。文献详细介绍了广义Hilfer导数的概念，给出了它的拉普拉斯变换公式，讨论了反常扩散方程边值问题的封闭解，但并没有详细说明double-order Hilfer分数阶微分方程边值问题的可解性问题。

目前，研究人员已经对Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分方程边值问题的可解性进行了广泛研究。从文献来看，尚未对共振情形下具有double-order Hilfer导数的分数阶微分方程边值问题展开研究。因此，基于前人的研究基础，笔者研究共振条件下double-order Hilfer分数阶微分方程积分边值问题

(1)

1 预备知识

为了方便起见，引入一些符号和定理。

设X，Y是实Banach空间，L:domL⊂X→Y是指数为零的Fredholm算子，P:X→X和Q:Y→Y是连续投影算子，且满足ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ。由此可知，L:domL∩KerP→ImL是可逆的，用Kp表示它的逆。

1)∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1)，Lu≠λNu；

2)∀u∈KerL∩∂Ω，Nu∉ImL；

定义2[5]函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

其中等号右边是在(0,+∞)上逐点有意义。

定义3[5]函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

其中等号右边是在(0,+∞)上逐点有意义，n=[α]+1。

定义4[21]函数y:(0,+∞)→R的α,β阶δ型double-order Hilfer分数阶导数定义为

(2)

其中(m-1)<α

注1[21]：

定义5[5]对任意的0≤η<1，函数y的加权空间定义为

Cη(0,1]:={y|tηy(t)∈C[0,1]}，

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n，

其中ci∈R，i=1,2,…,n，n=[α]+1。

引理3[5]如果α>0，β>-1，且β≠α-i，i=1,2,…,[α]+1，那么

引理4[5]如果α>0，β>0，且y∈L1(+)，那么

引理5[5]如果α>β>0，且y∈L1(+)，那么

特别地，当β=k∈且α>k时，有

引理6[26]在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为2个增函数之差，即存在2个增函数h(x)和g(x)，使得f(x)=h(x)-g(x)。

设X=Cn-γ(0,1]，Y=C[0,1]。

假设以下条件成立。

(H2) 映射f:(0,1]×R→R满足Carathéodory条件：对几乎所有的t∈(0,1]，f(t,x)是x的连续函数，对每一个x，f(t,x)是t在(0,1]上的可测函数，并且对∀r>0，存在φr∈Y，满足|f(t,x)|≤φr(t)，|x|≤r，a.e.t∈(0,1]。

定义算子L:domL⊂X→Y和算子N:X→Y分别如下：

其中，

2 主要结果

引理7设(H1)成立，则L:domL⊂X→Y是一个零指标的Fredholm算子。

证明：显然KerL={u∈domL|u(t)=ctγ-n,∀t∈(0,1],c∈R}。

通过注1可以得到

(3)

(4)

因此

综上所述，得到

定义线性算子P:X→X，

显然，

X=KerL⊕KerP。

定义线性算子Q:Y→Y，

通过计算得到Q2y=Qy，即Q是一个幂等算子，是Y上的线性投影算子。显然，ImL=KerQ。

任取y∈Y，可写成y=(y-Qy)+Qy，其中(y-Qy)∈KerQ=ImL，Qy∈ImQ，因此Y=ImL+ImQ。取y∈ImL∩ImQ，由y∈ImQ得y=Qy；由y∈ImL=KerQ，得Qy=0，因此y=0，Y=ImL⊕ImQ。又dimKerL=1=codimImL，所以，L是一个零指标的Fredholm算子。

引理8定义线性算子Kp:ImL→domL∩KerP，

则Kp=(L|domL∩KerP)-1。

证明：取y∈ImL，可以得到Kpy∈domL∩KerP，且

另一方面，若u∈domL∩KerP，由引理4和引理5可得：

因此，Kp=(L|domL∩KerP)-1。

|f(t,u(t))|≤φr(t)，t∈(0,1]。

|tn-γKp(I-Q)Nu(t)|≤

定理1假设(H1)和(H2)以及下面的3个条件成立：

(H3)存在常数M>0，使得当u∈domL，∀t∈(0,1]，|u(t)|>M时，QNu≠0。

(H4)存在非负函数a(t)∈X,b(t)∈Y，使得

|f(t,x)|≤a(t)+b(t)|x|，t∈(0,1]，x∈R，

(H5)存在常数B>0，如果|c|>B，那么cQNu(t)>0或cQNu(t)<0(其中u(t)=ctγ-n)中有一个不等式成立，边值问题(1)至少有一个解。

为证明该结论，首先证明如下3个引理。

引理10若条件(H3)和(H4)成立，则Ω1={u|u∈domLKerL,Lu=λNu,λ∈(0,1)}在X上是有界的。

证明：任取u∈Ω1，则Lu(t)=λNu(t)，因此

依据λNu∈ImL=KerQ，得QNu(t)=0。通过条件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。

将t=t0代入u(t)中，得

那么有

因此

整理得

故Ω1是有界的。

引理11若条件(H1)—(H3)成立，则Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}在X上是有界的。

证明：令u∈Ω2，则u(t)=ctγ-n，c∈R。因此，|tn-γu(t)|=|c|。又QNu=0，由条件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。将t=t0代入u(t)=ctγ-n中，可得|c|≤M，故Ω2是有界的。

引理12若条件(H1)—(H3)和(H5)成立，则集合

Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)θQNu=0,λ∈[0,1]}

在X中是有界的。其中J:KerL→ImQ，J(ctγ-n)=c，(c∈R，t∈(0,1])是线性同构映射，

证明：任取u∈Ω3，则u=ctγ-n，λJ(ctγ-n)+(1-λ)θQN(ctγ-n)=0。

如果λ=1，则c=0；如果λ=0，由条件(H5)，得到|c|≤B；如果λ∈(0,1)，假设|c|>B，由条件(H5)可得到λc2=-(1-λ)θcQNu(t)<0是矛盾的。因此Ω3有界。

下面证明定理1。

a)∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1)，Lu≠λNu；

b)∀u∈KerL∩∂Ω，Nu∉ImL。

证明deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)≠0。

令H(u,λ)=λJu+θ(1-λ)QNu，由引理12可知，H(u,λ)≠0，u∈∂Ω∩KerL。

由度的同伦不变性可得：

deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)=deg(θH(·,0),Ω∩KerL,0)=

deg(θH(·,1),Ω∩KerL,0)=

deg(θJ,Ω∩KerL,0)≠0。

由此应用引理1，可知微分方程边值问题(1)在X上至少有一个解。证毕。

3 举 例

考虑下述共振边值问题：

(5)

并且

则条件(H4)成立。

令M=5，对任意的t∈(0,1]，如果u(t)>M，那么

因此

对任意的t∈(0,1]，如果u(t)< -M，那么

因此

故得到条件(H3)成立。

最后，令B=6，如果c>B，有

如果c< -B，有

所以条件(H5)成立。由定理1得到问题(5)至少有一个解。

4 结 语

本文运用Mawhin重合度理论，研究了共振情形下double-order Hilfer分数阶微分方程在积分边界条件下解的存在性，扩展了导数阶数的取值范围，丰富了分数阶微分方程可解性的理论，为微分方程在空气动力学、经济学、控制理论等领域的应用提供了理论参考。

本研究仅考虑了共振微分方程Lx=Nx边值问题中L是线性算子且Nx连续时的可解性，条件要求过高，未能体现出更一般化的结果。因此，在未来的研究中，将对含有p-Laplacian算子的非线性double-order Hilfer分数阶微分方程在一般化条件下解的存在性进行深入探讨，并对得到的结果进行验证。