基于ψ-(h,r)-凹算子的非线性分数阶(p,q)-差分方程的唯一迭代解

王菊芳，王 斯，禹长龙,2

(1.河北科技大学理学院，河北石家庄 050018；2.北京工业大学理学部，北京 100124)

量子微积分又称q-微积分。1909年，JACKSON[1]首次提出量子微分与积分的定义。量子微积分作为数学发展中的一个新兴学科，广泛应用于数学、物理等自然科学领域。众所周知，许多实际问题都可归结为q-差分方程可解性的研究。近年来，人们对q-差分方程的可解性理论已获得许多重要的结果[2-4]。20世纪中期，AL-SALAM[5]与AGARWAL[6]对q-微积分进行拓展，给出了分数阶q-微积分的相关理论。与q-微积分相比，分数阶q-微积分的应用更为广泛，激发了广大学者对分数阶q-微积分的研究热潮，分数阶q-差分方程的可解性理论得到了迅速发展[7-12]。

作为q-微积分的进一步拓展，双参数量子微积分应运而生，即(p,q)-微积分，最早出现在1990年的文献中[13]。(p,q)-微积分在差分方程、组合数学、数论、力学、物理科学等领域得到了重要应用[14-20]。2020年，SOONTHARANON等[21]引入分数阶(p,q)-微积分的概念，研究了分数阶(p,q)-微积分的性质且得到与经典微积分类似的相关定理与结论。但关于非线性分数阶(p,q)-差分方程可解性的研究结果并不多[22-23]。例如：2019年，GHOLAMI[19]研究了非线性的二阶(p,q)-差分方程

的可解性，利用正锥上的Krasnosel′skii不动点定理证明了该问题正解的存在性、多重性和不存在性，还研究了相应的双参数量子特征值问题，根据Lyapunov不等式给出了正特征值的下界估计；2020年，SOONTHARANON等[22]利用Banach不动点定理及Schauder不动点定理，研究了一类具有非局部Robin边界条件的分数阶(p,q)-差分方程

为了丰富分数阶(p,q)-差分方程边值问题的基本理论，基于上述工作，笔者运用定义在有序集上增的ψ-(h,r)-凹算子的不动点定理，研究非线性分数阶(p,q)-差分方程边值问题

(1)

的可解性，其中0

1 预备知识

定义1[18]设α是任意常数，则

其中

定义3[21](p,q)-Gamma和(p,q)-Beta函数定义为

定义4[18]函数f(x)的(p,q)-导数为

若f在x=0处可微，则Dp,qf(0)=f′(0)。

其中，tDp,q关于t是(p,q)-可微的。

引理3[21]设α,β>0，0

引理4[21]设α∈(N-1,N)，N∈，0

有关凹算子的相关理论如下。

定义7[11]对于任意x,y∈X，称x与y等价，若存在μ>0和ν>0，使得μx≤y≤νx，记为x～y。

对于给定的h>θ，定义集合Ph={x∈X|x～h}，显然Ph⊂P。设r∈P且θ≤r≤h，定义Ph,r={x∈X|x+r∈Ph}，即Ph,r={x∈X|存在μ=μ(h,r,x)>0,ν=ν(h,r,x)>0，使得μh≤x+r≤νh}。

显然，Ph=Ph,θ。

定义8[24]设T:Ph,r→E是给定算子，满足任意x∈Ph,r，λ∈(0,1)，存在ψ(λ)>λ，使得T(λx+(λ-1)r)≥ψ(λ)Tx+(ψ(λ)-1)r，则称T是ψ-(h,r)-凹算子。

本文用到的假设如下：

(H3)f(t,0)≥0且对于t∈[0,1]，有f(t,0)≢0；

(H4)1-δηα-2≤p(1-δηα-1)；

(H5)pα-qα≥pα-1-qα-1。

2 主要结论

P={ω∈X|ω(t)≥0,t∈[0,1]}。

若ζ>0，为方便起见，记

(2)

且

其中

(3)

引理7设y∈C[0,1]，0<δηα-2<1且η∈(0,1)，则分数阶(p,q)-差分方程边值问题

(4)

有唯一解，

其中：

证明设ω(t)是式(4)的一个解，由引理4得，边值问题(4)可以等价为积分方程：

其中，c1,c2,c3是未知常数。由边界条件ω(0)=(Dp,qω)(0)=0可得，c2=c3=0。此时，

又由(Dp,qω)(1)=δ(Dp,qω)(η)，有

因此，

证毕。

是连续的；

证明如下。

性质1)：显然成立。

性质3)：显然成立，证毕。

证明若t∈[0,1]，则有

且

则0≤r(t)≤h(t)，即r∈P。此外，Ph,r={ω∈X|ω+r∈Ph}。

根据引理3和引理7可知，若边值问题(1)有解ω(t)，则

因此，对于任意ω∈Ph,r和t∈[0,1]，定义算子

显然，ω(t)是边值问题(1)的解，当且仅当ω(t)是算子T的不动点。

首先证明T:Ph,r→X是ψ-(h,r)-凹算子。对于任意λ∈(0,1)，ω∈Ph,r，由假设(H2)得

ψ(λ)r(t)+[ψ(λ)-1]r(t)=ψ(λ)Tω(t)+[ψ(λ)-1]r(t)，

即T(λω+(λ-1)r)≥ψ(λ)Tω+[ψ(λ)-1]r，λ∈(0,1)，ω∈Ph,r，由定义8知T是ψ-(h,r)-凹算子。

其次证明T:Ph,r→X是增的。由于ω∈Ph,r，则ω+r∈Ph，故存在ι>0使得ω(t)+r(t)≥ιh(t)，则有

由假设条件(H1)可知T:Ph,r→X是增的。

最后，证明Th∈Ph,r，只需证明Th+r∈Ph。由引理8和假设条件(H1)，有

且

Γp,q(α)>0且H*>0，由假设(H1)和(H3)可知：

故μ≥ν>0，即Th+r∈Ph。

注4若定理1的条件成立，且有下列不等式：

则边值问题(1)在Ph,r中有唯一非平凡解。同理，可构造迭代函数列来逼近该非平凡解。

下面讨论当δ=0时边值问题(1)的可解性。

推论1若条件(H1)-(H3)和(H5)成立，则分数阶(p,q)-差分方程边值问题

(5)

有唯一解ω*∈Ph,r。此时，对于任意φ0∈Ph,r，定义迭代序列

则当n→∞时，φn(t)→ω*(t)。

证明类似于定理1的证明。

注5若ζ=0，根据引理6，类似地可以证明边值问题(1)正解的唯一性。

3 应用举例

考虑非线性分数阶(p,q)-差分方程边值问题

(6)

经简单计算，可知

h(t)=H*t3/2，

且

于是有

且

及

且f(t,0)≢0。于是，假设条件(H1)和(H3)成立。

2)函数f可表示为

且

又

4 结 语

本文应用定义在有序集上增的ψ-(h,r)-凹算子不动点定理，研究了一类非线性分数阶(p,q)-差分方程边值问题解的存在唯一性，通过构造迭代序列逼近唯一非平凡解。在赋予非线性项f一定的条件下，非线性分数阶(p,q)-差分方程具有唯一非平凡解。研究结果在一定程度上丰富了分数阶(p,q)-差分方程的可解性理论，为分数阶(p,q)-差分方程在空气动力学、复杂介质电动力学及电路等领域的应用提供了理论基础。今后，将利用上下解、变分迭代等方法，深入研究分数阶(p,q)-差分方程的可解性。