证明线面平行的三个技巧

田玉凤

线面平行是指直线和平面平行.证明直线与平面平行问题在立体几何中较为常见.证明线面平行问题对同学们的逻辑推理和直观想象能力有较高的要求.解答此类问题，需要灵活运用线面平行的判定定理、性质定理以及面面平行的性质定理.下面主要谈一谈证明线面平行的三个技巧.

一、利用中位线的性质

三角形的中位線平行于第三边，且等于第三边的一半，是三角形中位线的重要性质之一.在证明线面平行时，我们可根据几何图形的特点添加合适的辅助线，如果过三角形一边上的中点作底边的平行线，将三角形两条边上的中点连接，构造出三角形的中位线，这样我们就可以利用中位线的性质，证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，从而根据线面平行的判定定理证明线面平行.

例1.

二、利用平行四边形的性质

平行四边形的性质很多，如（1）平行线间平行的高相等；（2）两组对边相等；（3）两组对角相等.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，让已知直线成为四边形的边或高，然后再利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.

例2.

通过观察，可以猜测平面AC1D内的直线BB1∥PQ，BB1∥PQ，不妨构造四边形BQC1D、BB1PQ，分别证明其是平行四边形，就可以运用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明结论.

三、利用面面平行的性质

面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线l所在的平面α和平面β平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线l和平面β平行.

例3.

解答本题主要运用了面面平行的第二个性质，先要证明平面MNG∥平面BCF，再根据面面平行的性质证明线面平行.

总之，在解答线面平行问题时，同学们需明确辅助线的重要性和合理性，只有合理构造三角形的中位线、平行四边形、平行的平面，才能利用三角形的中位线、平行四边形、面面平行的性质来顺利证明线面平行.

（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）