利用数学方法求解物理极值问题

江苏省南通中学（226001）朱 华

著名科学家欧拉说过：“如果宇宙中最大或者最小规律不出现，那么，宇宙间根本不会发生任何情况。”从欧拉的描述中，我们可以看出极值问题在物理学中有着非常重要的意义。在高中物理学习中，也经常需要求极值。有些时候，根据题目所给的物理现象，结合物理概念和规律进行分析，找到符合题目要求的物理量并不简单，甚至特别复杂，但如果换个角度，利用数学规律和方法，就能快速得到结果。

利用数学方法求解物理极值问题，需要根据物理规律建立数学方程，先将物理问题转化为数学形式，然后利用各物理量间的数量关系，选用合适的数学规律求解极值。这种方法，对学生的物理建模能力、数学推演能力有较高要求，如果能够熟练掌握，则能收到事半功倍的效果。

一、建立一元二次方程，利用根的判别式求极值

一元二次方程的根的判别式在数学中通常都是判断根的情况，放在物理情境中，则能利用方程没有实数解时Δ <0 这一规律，得出不等式，然后求出对应的物理量的极值。

［例1］某司机驾驶一辆轿车以大小为v1的速度向前行驶，突然发现前方s处有一辆以大小为v2的速度向前匀速行驶的货车，已知v1>v2。由于前方的道路狭窄无法绕过，于是该司机选择立即减速。已知轿车的加速度大小为a，为了不与前方货车相撞，求a的取值。

解析：已知初速度和加速度，可以根据运动学方程列式

由题意可知两车如果相撞，则满足条件

联立以上三式可得：

上式可变形为关于t的二元一次方程，得：

当方程没有实数解，即Δ=b2−4ac=4(v1−v2)2−8as<0 时，两车不会相撞，由此可得a>

二、灵活应用三角函数的性质，求解物理最值问题

三角函数的值域问题在高中数学中是考查的热点，求解方法很多，比如利用均值不等式求值域，合理转化利用有界性求值域，利用单调性求值域，变换法求值域，等等。但在物理问题中，通常用不到那么复杂的方法，最常见的就是利用三角函数的性质求解。

［例2］如图1 所示，在不光滑地面上停放着一辆小车，小车右侧是一个半径为R的四分之一圆弧，有质量为m的光滑小球无初速度地从圆弧顶端沿圆轨道面滑下，小车在整个过程中始终保持静止。求小车受到地面的静摩擦力最大时小球的位置及当时静摩擦力的大小。

图1

解析：光滑小球在四分之一圆弧轨道上的运动可视为圆周运动。设当小车受到地面的静摩擦力最大时小球所在位置与圆心O的连线与竖直方向夹角为θ，小球速度大小为v，小球受到的支持力为N，根据牛顿第二定律和机械能守恒定律可得：

根据牛顿第一定律，解得小球对小车的压力大小为：

其在水平方向的分量为：

根据平衡力性质可知，地面对小车的静摩擦力方向向右，大小为：

根据三角函数的性质可知，当sin 2θ=1 即θ=45°时，小车受到地面的静摩擦力最大，此时小球所在位置与圆心的连线与竖直方向夹角为45°，最大静摩擦力为fmax=3mg/2。

三、建立不定式，利用不定式性质求物理问题中的极值

不等式的性质，决定了它是解决很多极值问题最简洁的方式，当然，也要具体问题具体分析，当无法建立不等式时，就无法使用。在物理问题中，涉及空间关系、几何关系，或者题给限制条件满足不等式时，可以直接列式，另外就如例1 中的情况，也可以间接构建不等式。

［例3］如图2 所示，是一个离子收集器的原理模拟图。已知，在矩形ACDG（各边都足够长）中存在垂直纸面向里的可调节磁感应强度的匀强磁场，离子源射出的离子经静电场加速后通过处于A点处的狭缝垂直AG边和磁场方向进入磁场，然后运动到GA边被收集器分类收集。若被加速的两种带电荷量均为+q的离子质量分别为m1和m2，且m1>m2，静电场电势差为U，离子进入静电场时的初速度忽略不计，不考虑离子间的相互作用和重力。

图2

在实际情境中，由于狭缝存在宽度，且相对于离子的大小来讲该宽度不可忽略，因此会造成两种离子在GA边上的落点有重叠，从而出现无法完全分离离子的现象。设GA边的长度为L，狭缝宽度为d（狭缝右边沿在点A处），为保证离子能够完全被分离收集，求狭缝宽度d的最大值。

联立①②两式得两种离子在磁场中的轨道半径为别为：

根据圆周运动规律分析可知，离子在磁场中的运动轨迹是一个半圆，因此其在GA边上的落点都在其进入磁场的入射点左侧2R处。由于狭缝的宽度为d，因此落点区域的宽度也是d。为保证离子能够完全被分离收集，应满足条件2(R1−R2)≥d④

四、利用求导法求物理问题中的极值

在高等数学中，函数的极限是基本概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。导数的求解是求极限的方法：当Δx→0 时f(x)有极限，这个极限叫作f(x)在该点（x=x0）的导数。利用公式可表述为=f′(x)，而这一方法同样可以在物理求极值问题中得到应用。

［例4］如图3 所示，现有两个电荷量均为Q的正点电荷固定在A，B两点，AB=2L，在AB的中垂线上的C点由静止释放一个质量为m、带电量为q的正检验电荷（重力可忽略不计）。试求检验电荷运动的最大加速度及在何处达到最大加速度。

图3

解析：根据静电场的性质可知，检验电荷在AB的中点处所受合力为0，在AB的中垂线上的任意一点它所受合力的方向均是沿着AB的中垂线方向。如图4 所示，假设检验电荷运动到D点，相关数据如图所示，此时对其受力进行分析可得：

图4

检验电荷的加速度为：

由上式可知，检验电荷的加速度a是关于θ的函数，令f(θ)=sinθ−sin3θ

则f(θ)的导数为：

f′(θ)=cosθ−3 sin2θcosθ

令f′(θ)=0，即

cosθ−3 sin2θcosθ=0

五、利用二次函数求物理问题中的极值

在数学中，利用二次函数求极值常用到配方法和顶点坐标法求函数的极大值或极小值。如果在物理问题中能够建立关于待求物理量的二次函数，即可采用上述方法快速解决极值问题。

［例5］如图5 所示，在水平桌面上放有一个材质均匀的矩形金属框abcd，其中矩形框的长为2L、宽为L，金属框的单位长度电阻值为R0。金属杆MN材质、粗细与金属框相同，接触良好地放在金属框上。有磁感应强度为B的匀强磁场垂直通过金属框所在平面。现以b点为原点，bc所在直线为x轴建立坐标系。若金属杆MN受到沿x轴正方向的外力从金属框左端以速度v向右匀速运动，不计摩擦力，求：

（1）通过金属杆MN的电流与坐标x的关系；

（2）金属杆MN所受外力的最大值与最小值。

解析：（1）设金属杆MN左侧总电阻为R1，右侧总电阻为R2，金属杆的运动位移为x，根据题意可得：

在金属杆MN运动过程中，它切割磁感线，故其相当于一个电源，产生的感应电动势为：

根据欧姆定律可得整个回路的总电阻为：

通过金属杆MN的电流为：

联立①②③④⑤式可得：

（2）题中金属杆MN做匀速运动，故外力大小应等于金属杆所受安培力。

由①②④式可得整个回路的总电阻为：

由二次函数的极值可知，若想外电路总电阻最大，则有：

当外电路总电阻最大时，金属杆MN中通过的电流最小，即所受安培力最小，最小电流为：

最小安培力为：

当x=0 或x=2L，即金属杆MN位于金属框最左端或最右端时，外电路的总电阻最小，此时金属杆MN中通过的电流最大，即所受安培力最大，最大电流为：

最大安培力为：

数学方法在求解物理极值问题的过程中具有独特的作用，恰当应用数学方法可以使问题化难为易，化繁为简，提高解题效率，拓展解题思路。想要做到准确高效，学生不仅需要具备严谨的逻辑推理能力，还应具有丰富的想象能力。