凸显“联系·结构·建构”促学生数学思维深度发展——以人教版《平行四边形的面积》为例

方雪蓉

（漳州市龙文区教师进修学校，福建 漳州 363005）

认知心理学家布鲁纳提出，学习就是认知结构的组织和重新组织，学习结构就是学习事物是如何联系的。新课标更强调知识整体性、关联性、系统性以及学习的建构性，特别强调要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

—、紧扣旧知激活经验

“平行四边形的面积”是人教版五年级上册第六单元多边形面积的第一课时，之前学生已学完长方形、正方形面积计算公式和平行四边形的认识。本节课是学生首次用转化的方法来探索图形的面积公式，也是促进学生空间观念发展、渗透转化、变与不变等数学思想方法的关键课，对学生后续探索更多平面图形面积以至立体图形的学习都至关重要。笔者认为本节课学习的重点是如何让学生自主地调动已有的知识经验探索平行四边形面积的计算方法。课前，笔者进行简单的前测发现：给出一个没有画高的平行四边形，很多学生认为求面积用“邻边相乘”，并振振有词。或许这才是学生最真实的认知经验、最近的知识生长点。

（一）唤醒旧知

课件出示平行四边形。

师：认识它吗？关于它，你都知道些什么？

生：两组对边分别相等；每组对边之间有无数条高；容易变形。

师：如果这个平行四边形是一个框架的话，它的形状还可以不断地发生变化。（师拿框架演示），这些都是前面所学的大家都知道的知识。今天这节课继续研究平行四边形新的知识（板书：平行四边形的面积）。

（二）引发猜想

师：根据你的经验，要求平行四边形的面积，需要哪些数据？大胆猜猜怎么算？

根据学生回答，课件出示相应条件：

生：底乘邻边；底乘高

师：能说说你是怎么想的吗？

生1：因为长方形的面积等于长×宽，所以平行四边形的面积=底×邻边。

生2：刚才平行四边形可以拉成长方形，所以平行四边形的面积等于相邻的两条边相乘。

师：听起来有点道理。

生3：因为把左边的三角形移到右边，就变成长方形，长就是底，宽就是高，所以平行四边形的面积=底×高。

师：也蛮有道理的，两种不同的猜想，究竟哪种才是对呢？

【说明】本环节改变了教材的呈现方式，直截了当，紧扣旧知，用简约朴素的素材，开放而又富有挑战的问题，让学生形成认知冲突，产生进一步探究的欲望。

二、寻找联系自主建构

建构主义学习理论认为，学习不是简单的信息积累，也不是由教师传授而获得的，而是学习者根据已有的知识、经验、方法，（在同伴及教师的帮助下）主动地选择、加工和处理，通过意义建构的活动而获得的。数学教学，就是要帮助学生学会寻找前后知识间蕴含的关联，进而从不同的角度理解和认识问题，创造性地解决问题，并逐步建构起自己的“思想体系”“方法体系”，促进数学思维的深度发展。

（一）自我建构

师：如果你有足够的本事，就在这个平行四边形里面自己来研究为什么平行四边形的面积=底×高？

师：如果你觉得你还要有一些小帮助，在纸的背面还有一个友情支持，你可以在有格点的图中，画一画，标一标，写一写，用数学的方法让别人一眼就看明白看你是怎么想的，选择你喜欢的开始研究吧！（学生动手数格子，教师巡视，搜集典型作品）

1.挑选三种不同方法的学生作品上台展示（课件）

一格一格数——部分拼组——整体拼组

2.结合课件比较两种方法

汇报一：先数整格数，然后再把其他不足整格的进行拼凑

汇报二：将平行四边形分割成三部分

汇报三：直接把平行四边形的一个角剪下来放到另一个角上去，拼成一个长方形

（二）比较完善

师：你喜欢感那种方法？为什么？

师：有没有发现这个6×4 里面隐藏着什么奥秘呢？

师：看来平行四边形的面积很有可能等于底×高。

【说明】本环节整体性地呈现学习材料，让学生自主选择探究方法，没了教师的牵引，学生自带经验、自我研究、自我建构，“催生真学习”，“培养思维力”。

三、合作探究完善建构

数学对象的建构事实上是一种整体性的建构活动。结构的本质是元素及其关系的整体关联，因此，教学学习应基于知识整体单元的发生与发展，凸显知识元素间的沟通与联系，是将教材的学科结构高效率地转变为学生认识结构的学习，使学生的认知发展规律与知识发生规律相融合。学习应是意义建构过程中的探险，唯有经过充满挑战、疑惑、探索、苦思、顿悟、惊喜……曲折多变，才能建构起数学知识的完整样态，促进数学思维的深度发展，实现数学核心素养的关联生长。

师：是不是任意一个平行四边形的面积都等于底×高呢？

没了方格图的支持，你还能求出它的面积吗？请同桌一起来研究？

（一）剪拼转化

1.想一想：可以将平行四边形转化成什么图形来研究？

2.画一画，剪一剪，拼一拼：怎样转化？

师：请拿出准备好的平行四边形和学具，开始研究吧!

（二）展示互动

1.师：同桌互相说说你们是怎么剪拼转化的。

三种不同的平行四边形+沿着不同位置的高剪。

师：有没有沿着不同位置剪的？

准备两个高没画在定点上的，让学生剪开上台展示是否能拼成长方形。

师：有没有哪位同学的平行四边形不能剪拼成长方形的？

师：为什么要沿着高剪？

2.课件出示沿着不同的高剪拼的过程

质疑：一定要沿着高剪吗？

师：想得到直角除了沿着高剪，沿着垂线剪可不可以呢？请看屏幕（课件展示沿着垂线剪）。

（三）公式推导

师：看来任意一个平行四边形，都可以沿高剪开，再拼成长方形，那我们就可以说所有的平行四边形都可以转化成长方形（板书），转化——是数学研究中非常重要的思想方法，它让我们找到了新旧知识之间的联系。接着继续研究转化后的长方形和原来的平行四边形之间究竟有什么关系？

请看活动3 要求：

（1）观察转化前后的图形有怎样的等量关系？（2）你能得到什么结论？（3）填写公式推导学习单。

1.分享研究成果

长方形的面积=平行四边形的面积，长方形的长=平行四边形的底（板书），长方形的宽=平行四边形的高（板书），因为长方形的面积=长×宽（板书），所以平行四边形的面积=底×高。（板书）

如果我们用S 表示面积，a 表示底，h 表示高那么我们就可以用更简洁字母公式：S=ah（板书）来表示平行四边形的面积计算公式。

2.课件演示推导过程

3.平行四边形对拉，面积的变化情况。

师：仔细观察，老师手中平行四边形框架在拉动的过程中，什么变了，什么没变？

学生观察得出：周长不变，面积变了。底边不变，面积随着高的变化而变化。拉成长方形的时候面积最大。

【说明】本环节着眼于促进学生高质量思维的形成，通过参与对话、合作探究、展示互动等活动，以关键问题串为“脚手架”，让学生深刻地领悟到平行四边形的“高”在面积计算中的特殊意义，帮助学生打破长方形、正方形面积计算时建立起来的根据图形的边线长度计算面积思维定势。不仅揭示了知识的内在联系、规律的形成过程；还提炼数学的思想方法、体验了数学的理性精神。让学生不仅学得知识、习得方法，还能生成智慧。

四、多层练习深化理解

师：有了这个计算公式，现在要求平行四边形的面积是不是很简单了，只要知道什么条件？

（一）公式应用

1.出示例题1：平行四边形花坛的底是4m，高是3m，它的面积是多少？

2.出示完成课本89 页的第2 题。着重强调底和高要相对应。

3.依次出现：底和高不相对应，能求出面积吗？

再给一条高，求出面积，再求出另外一条底。

师：有没有要提醒自己和同学们特别注意什么？

师：看来同学们都学的很好，有没有信心再接受挑战？

（二）等底等高的平行四边形面积一定相等吗？

课件依次出示四个形状不同，但等底等高的平行四边形。

师：你有什么发现？等底等高？

生：等底等高，面积都相等。

师：还能画吗？

生：“我觉得可以画无数个”“只要底都是4 厘米，高都是5 厘米就可以了。”“底和高不变，所以面积就不变”“虽然它们的样子不一样，但面积是一样的”。

师：也就是说，平行四边形只要等底等高，不管什么样子，它们的面积都相等。

（三）面积相等的平行四边形一定等底等高吗？

师：反着说，面积相等的平行四边形一定等底等高？对吗？

屏幕出现4 个底和高不相等的平行四边形。

师：怎么说是正确的？

生：面积相等的平行四边形不一定等底等高。

师：真是一字之差，谬之千里。这就是数学的严谨之美。

【说明】本环节练习设计层次性与整体性相结合，由浅入深、分层递进、环环紧扣，在“变”与“不变”的辨析中，不仅加深了学生对知识深层次的理解、还进一步帮助学生完善知识的整体建构结构与联系。

五、总结延伸整体建构

问题1：同学们通过哪些方法验证找到了平行四边形面积的计算方法？你觉得在研究过程中，最应该感谢哪个图形的帮忙？为什么？

问题2：同学们，今天这节课我们通过了转化、找联系、推导公式，求出了平行四边形的面积，猜猜还有什么图形的面积计算利可能用到类似的方法？

问题3：把平行四边形剪拼成长方形，什么变了，什么不变？

问题4：除了知识上的收获，在学习方法上有什么收获？

【说明】本环节通过四个问题，不仅再现回顾学习过程，帮助学生承上启下，前伸后延，还帮助学生在“变”与“不变”中学会辨析，使原本隐藏在教材背后的知识凸显出来，抓住联系，更好地把握结构、理解结构，以及获得知识的方法结构，以结构关联的模型保存在学生的大脑皮层，方便在后续的学习中能迅速、有效地提取与转化。