非线性边界条件下拟线性瞬态方程组的Phragmén-Lindelöf 型二择一结果

李远飞，肖胜中，曾鹏，欧阳柏平

（1.广州华商学院，广东 广州 511300；2.广东农工商职业技术学院,广东 广州 510507）

1856 年SAINT-VENANT［1］提出的数学和力学方程，后被称为Saint-Venant 原理，广受应用数学领域研究者的关注和深入研究。其含义为“能量”随与柱体有限端距离的增大逐渐衰减为零［2-7］。几乎所有的研究均需要方程的解在无穷远处衰减于零或趋近于瞬态层流的先验假设，且通常假设在柱体的侧面满足零边界条件。

20世纪90 年代后，Phragmén-Lindelöf 型二择一原理被提出，并逐步成为研究热点，不必再假设方程的解满足Saint-Venant 原理，只要证明“能量”随与柱体有限端距离的增加要么无限增大要么衰减为零。Phragmén-Lindelöf 型二择一原理在物理学、力学和生物学等领域具有巨大的应用前景［8-14］。

通常的做法是先定义一个半无穷的柱体：

其中，D为x1Ox2平面上的一个有界区域且具有光滑的边界∂D。用Rz表示R的一个子区域：

其中，z为x3轴上的一个动点。用Dz表示R在x3=z处的横截面：

假设方程的解在柱体的有限端满足非零边界条件，在柱体的侧面满足齐次Dirichlet 边界条件或齐次Neumann 边界条件。用微分不等式技术证明“能量”要么呈指数式（多项式）增加，要么呈指数式（多项式）衰减。如LIN［13］考虑了定义在R×(0，∞)上的稳态拟线性方程

对非线性项做一定限制，可得到解的二择一定理。考虑瞬态拟线性方程

在柱体侧面施加非齐次Dirichlet 边界条件

其中，h（u）为已知函数。在柱体的有限端，有

式（3）中，g为大于零的给定函数且满足兼容性条件g=0，在D0×(0，∞)和g（x1，x2，0）=0。

实际情况是研究的物理模型很难满足齐次边界条件，因此本研究更有意义。据知，目前除文献［8，11］外，很少见关注非齐次边界条件下二择一抛物问题的文献。文献［8］研究的是三维柱体上调和方程的二择一拋物问题，文献［11］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理。本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法。

1 基本不等式

在研究二择一问题时，大多文献通常用∇w的L2积分控制w的L2积分，即若w|∂D=0，则

为证明本文的主要结果，结合文献［5，8］的方法，推导常用的微分不等式。

引理1存在一个依赖于区域D的大于零的常数C1，使得

证明设P为D内一点。令P1和P2分别表示过点P平行于x1坐标轴的直线与∂D的交点，令Q1和Q2分别为过点P平行于坐标轴x2的直线与∂D的交点。首先，注意到

接下来，定义能量表达式，然后利用微分不等式技术推导关于此能量表达式的一阶微分不等式，得到解的二择一结果。

由式（1），可得恒等式

2 二择一结果

分以下3 种情形分析式（17）。

由式（13）和式（31），可得到以下定理。

定理2假设u是式（1）～式（4）的解，且p=1，则当z沿x3轴趋近于∞时，u要么呈指数式增长，要么呈指数式衰减，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

定理3假设u是式（1）～式（4）的解，且p>1，则当z沿x3轴趋近于∞时，u要么呈指数式增长，要么呈指数式衰减，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

显然，在衰减情形下，Φ(0)，Q0均与−E(0，t)有关。因此，要使定理1～定理3 都有意义，须证明−E(0，t)有界。

3 全能量估计

为在衰减情形下，推导全能量E(0，t)的上界，首先假设

其中，ε3为大于零的任意常数。取适当的ε1，ε2和ε3，使得

再由Φ0和Q0的定义，易得其上界。

4 总结

首先推导了引理1，假设式（1）～式（4）在柱体侧面满足非齐次Dirichlet 条件，利用引理1 并运用微分不等式技术，得到了解的二择一结果。事实上，经必要的修正，本文的结论也适合非齐次Neumann边界条件。显然，本文结论是对文献［13］的推广，研究方法和结果可为进一步研究复杂模型提供借鉴。

今后，可继续进行更深层次的研究，如研究文献［16］中的模型

以及文献［17］中变系数热量方程