让学生的数学“抽象思维”踏上“具象化”滑轮

殷偶云

江苏省南通市通州区金北学校初中部 226300

数学是一门充满理性的学科.学生的数学思维是一种抽象性、概括性的思维.如何让学生的抽象的数学学习直观化、趣味化、有效化，是初中数学教学的关注重点.“具象化”，是一种对事物进行可感知的、形象化的、具体性的、创造性的活动.在初中数学教学中，教师要让学生的数学“抽象思维”踏上“具象化”的滑轮，帮助他们搭建理解抽象的数学知识的“脚手架”，让他们充分地动眼、动口、动手、动脑，进行“具象化”的具身认知.这一过程中的数学学习充满趣味、非常形象，学生的思维认知得到培养，教师激情助学的教学目标得以实现.

给学生“具象化”的导图滑轮，让数学学习可视化

“思维导图”又称为“脑力激荡图”“灵感触发图”“心智地图”等，是一种“形象的、高效的可视化学习工具”.［1］近年来，思维导图已经被广泛地应用于学生学习之中，它犹如一把利剑直达问题的核心，能促进学生对数学知识的理解，能促进学生的思维沟通，能促进学生的学习应用.思维导图，让数学认知、数学思维等变得触手可及、有迹可循.同时，思维导图能让学生友善用脑、健康用脑、和谐用脑.因此，思维导图是一种高效的学习方式.借助思维导图，学生能有效地疏导、整理知识，能对抽象的数学知识进行具体的分析，能将数学知识连点成线、连线成面、积面成体.

在建构“具象化”的导图滑轮的过程中，教师要抓住思维导图的关键节点，将一些重要的数学知识、数学问题嵌入其中，让其成为思维导图的重要组成，从而诱发、引导、催生学生的数学思维、数学探究.思维导图，从根本上说就是将相关的数学知识勾连起来的一个网络，但这个网络不是“呈现式”的，而是“暗示式”的，从而让学生的数学思维走向深刻、走向灵动.比如教学“平行四边形”这一章，我们在教学中对“平行四边形”“矩形”“菱形”“正方形”等辅以“要素”“性质”“判定”“关系”等关键节点，以此建构思维导图.借助思维导图，催生学生的数学思考.如学生围绕“边”“角”“对角线”等要素展开这样的自我追问：平行四边形的对边怎样？平行四边形的对角怎样？平行四边形的对角线怎样？围绕着“关系”，学生会展开这样的自我追问：什么样的四边形是平行四边形？什么样的四边形是矩形？什么样的平行四边形是矩形？什么样的四边形是菱形？什么样的平行四边形是菱形？什么样的四边形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？等等.思维导图，不仅能让学生深刻理解平行四边形、矩形、正方形、菱形等图形的性质、判定，还能让学生把握平行四边形与菱形、矩形和正方形之间的关系.

借助“具象化”的思维导图滑轮，学生能将相关的知识整合，也能将相关的知识拆解.在整合与拆解的双向操作中，学生能实现深度学习，构建知识框架.思维导图，往往将最核心的概念置于中心，将核心概念作为思维导图的主干，将其他的相关概念等作为思维导图的枝叶.借助思维导图，学生能洞察知识的整体与局部之间的关系，能为后续的数学学习奠定坚实的基础.

给学生“具身化”的操作滑轮，让数学学习外显化

学生的数学学习是一种内隐的思维活动，如何将学生的内隐思维确证与表征出来？一个重要的策略，就是让学生的思维外显化.为教师要给学生“具身化”的操作滑轮，引导他们动手操作、动脑思考，将外显的操作与内隐的思维结合起来.可以这样说，操作是学生思维的外援支撑，思维是学生操作的内源驱动.通过学生的具身化操作，不仅能让学生掌握知识，更能促进学生数学基本技能的形成，而且可以陶冶学生的情操、开发学生的潜能，拓展思维疆域，让他们感受、体验到学习的快乐与成功的喜悦等.

比如初中数学有许多抽象的数学概念，仅仅依靠教师的口头讲解，学生是难以理解的，更难以应用.为此，教师要有意识地将相关的数学概念形象化、可操作化，进而引导学生学习，促进数学思维、数学认知的发展和提升.例如，在教学“认识无理数”这一部分内容时，笔者就为学生设计了如下操作：用两张边长为1（一般长度为1分米）的正方形纸片，将其对折，分别剪成4个等腰直角三角形.然后，将这四个等腰直角三角形拼接，使之成为一个大的正方形.这个大正方形的面积就是2（一般为2平方分米）.在此基础上，笔者引导学生认识2的算术平方根，认识“勾股定理”等.这样的一种操作，能让学生理解“无理数”的内涵.为了促进学生将“数”与“形”结合起来，笔者画出一条数轴，让学生以原点为起点，以拼成的大正方形的对角线的长度为半径画弧，也就是引导学生在数轴上画出对角线的长度，从而让学生认识到，尽管无理数是无线不循环小数，但其在数轴上也是可以用点来表示的.通过这样的操作，促进学生理解“数轴上的点与实数一一对应的关系”.由此，通过具身性的操作，学生理解了无理数，进一步理解了实数.同时，借助具身性操作，也能激发学生的数学学习兴趣，调动数学学习积极性，发掘数学学习创造性.

在具身性操作中，教师不仅要盘活学生的思维，更要催生学生的想象.通过思维、想象与操作的融合，让学生更充分地将知识、实践、兴趣与学习融为一体.具身性的操作，不仅让学生对数学知识的本质、关系等有了深刻的理解，而且进一步发展了学生的动手操作能力、合作探究能力，丰富了他们的数学精神，润泽了他们的数学生命.

给学生“游戏化”的活动滑轮，让数学学习趣味化

学生的数学学习应当是一种超功利的“玩中学”.给学生“游戏化”的活动滑轮，能让数学学习趣味化.在初中数学教学中，教师要激发学生的思维，引导他们习得知识、掌握方法、提高技能，从而缩小学生与数学、学生与教材之间的心理距离，激发求知欲望，让数学知识学习不再枯燥，让初中数学课堂不再烦闷、沉闷等.游戏性，是存在于学生中间的学习或生活属性.只有在游戏之中，学生才能感受、体验到数学学科知识的无界性.

比如在教学“多边形的内角和”时，笔者依托学生所学的“三角形的内角和”等相关知识，让他们逐步思考、探究“四边形”“五边形”“六边形”“n边形”的内角和.在这个过程中，笔者让学生以游戏的方式展开，从而使得数学探究充满一种趣味性.活动一开始，笔者让学生用剪刀剪下了任意的一个四边形、五边形、六边形等.在此基础上，引导学生用自己的方法展开探究.如此，有学生用量角器量；有学生将角撕下来拼；还有学生从多边形的内部、边上或顶点上出发将多边形分成若干个三角形，利用三角形的内角和来求出多边形的内角和，等等.其中，采用测量和拼角的方法的学生，发现了这两种方法对于五边形、六边形乃至于更多边的多边形不适用，因而纷纷转向“将多边形转化成三角形”的方法.在探究的过程中，学生积极猜想、验证，充分探究多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的关系，等等.通过多向的游戏化活动，学生自主建构了“多边形的内角和”.我们知道，游戏是一种自成目的、自我生成的活动，在活动中学生会积极主动质疑、反思：多边形的外角和等于多少度呢？多边形的外角和与多边形的边数也存在着不变的关系吗？通过积极主动质疑，拓展数学活动的深度、广度，让数学活动更具有思维的含量、探究的质量，进而延伸学生的数学学习.

由于初中生的思维还处于具体形象向抽象逻辑过渡，很多方面还很不成熟，故他们对某些数学概念的理解比较肤浅.太抽象化的数学知识、太形式化的数学教学往往会让学生生厌、生恶，会妨碍他们对数学知识的理解、表达.而给学生游戏化的活动滑轮，能让学生的数学学习趣味化、形象化，能降低他们建构数学知识的坡度和难度，从而大大提升数学课堂教学效能.

给学生“合作性”的互动滑轮，让数学学习团队化

学生的数学学习是一个彼此相互协作、互动合作的过程［2］.教师要给学生“合作性”的互动滑轮，让数学学习团队化.在初中数学教学中，教师要为学生的合作互动搭建平台，让学生在团队观察、理解、分析、研讨等互动中，探索新的知识、完成活动内容.师生、生生的合作性互动滑轮，能让师生、生生抱团发展、共同进步.在这个过程中，教师要充分认识自身的引导者角色，积极发挥学生主体性的作用，当好学生数学学习的参与者、组织者、点拨者、协助者.

在“合作性”的互动滑轮带动下，学生的数学学习犹如“旅游”.教师要将黑板、讲台、时空等赋予学生，让学生充当学习的“导游”，最大限度地活跃思维、认知，积极参与数学学习.同时，教师要引导学生在合作中倾听、在合作中表达，通过倾听与表达，让学生积极分享.通过分享，增强合作意识与合作能力，不断激发、强化学习兴趣，提升学习效能，让学生对数学知识形成真正的理解.例如教学“随机事件与概率”这一部分内容，为了让学生感受、体验“等可能事件”的随机性，笔者组织学生摸球.笔者对学生进行分工，哪个学生负责摇球，哪个学生负责摸球，哪个学生负责记录，哪个学生负责监督，让学生明白各自的职责，并为进一步的合作学习打下基础.在合作学习中，笔者引导全体学生猜想摸球的结果，并将实际的摸球结果与他们的猜想联系起来，从而让学生对等可能性、事件的随机性、事件的独立性等知识有深刻的理解，对事件发生的频率、事件发生的概率等知识也会形成深刻的理解.这样的一种合作促进了学生的互动交流，如摸球的学生会向记录的学生询问摸球结果；记录的学生会向摸球的学生询问摸球方法，等等.在这个过程中，学生还会就某些问题展开研讨.在互助合作的过程中，学生提高了自身的数学学习能力，发展了自身的数学核心素养.

课堂合作性的学习，能促进师生、生生的互动、交流.在数学教学中，教师要帮助学生组建“共同体”，形成一个数学学习与研究的“团队”.在合作中，学生能感受、体验到学习的快乐.在合作交流中，教师要鼓励学生积极参与，增强学好数学的信心；要让学生既拥有不同的单一的学习任务，又拥有共同的整体的学习任务.

具象思维是先于形象思维而存在的，同时也是学生抽象思维的基础、源泉.通过制作“具象化”思维滑轮——思维导图滑轮、动手操作滑轮、游戏活动滑轮、合作互动滑轮，引导学生在“做中思”“做中玩”“玩中思”“玩中学”.当数学思维、数学探究踏上了“具象化”的滑轮，学生的学习就会充满快乐，变苦学为乐学、变死学为活学、变厌学为爱学.