郭守敬创制的景符在笛卡尔坐标系下的工作机理

原 杰

(1.邢台学院资源与环境学院，河北邢台 054001；2.邢台社会治理研究院，河北邢台 054001；3.邢台市地信与遥感技术应用重点实验室，河北邢台 054001)

郭守敬(1231年—1316年)，字若思，邢州邢台县(今河北省邢台市信都区)人。元朝著名的天文学家、数学家、水利工程专家[1]，官至太史令、昭文馆大学士、知太史院事，世称“郭太史”，著有《推步》《立成》等十四种天文历法著作[2]。七个世纪之后的今天，郭守敬仍然是邢台市的科技名片；他发明的景符在《元史·天文志》[3]中被记录如下：

“景符之制，以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然。以方跂为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚梁之中。窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法一表端测晷，所得者日体上边之景。今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。至元十六年己卯夏至晷景，四月十九日乙未景一丈二尺三寸六分九厘五毫。至元十六年己卯冬至晷景，十月二十四日戊戌景七丈六尺七寸四分。”

在郭守敬取得伟大的成绩之后的几个世纪里，数学和物理学取得了长足的发展。法国哲学家、数学家、物理学家勒内·笛卡尔(René Descartes，1596—1650)，对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父[4]。在笛卡尔几何坐标系下，郭守敬创制的景符的工作机理，是本文研究重点。

一、方法

(一)中心直线和景符小孔坐标的数学表达

本文选择郭守敬设计制造的四丈高表(见图1a)为研究对象。以表为纵坐标，圭为横坐标，圭和表的交点为原点，建立笛卡尔直角坐标系[5]。在圭表-景符测量系统中，经过景符最后定位后，每日正午的太阳中心(tx,ty)、横梁中心(0,H)、景符中心(m,n)、和横梁中心的影子(x,0)应该在一条直线(本文称为“中心直线”)上。当日期固定后，当天的太阳高度角固定，设为θ，则我们可以给出该中心直线的表达式(见图1b)：

图1 文中用到的数学表达对应的图。所有示意图，均比实际角度要大

y=kx+H

(1)

其中，k=tan(180°-θ)=-tanθ。将所有的应变量都换算成以横梁中心高度H为自变量的函数；在y=0，我们有圭表上横梁中心的影子的横坐标

(2)

此即为影长。景符中心的横坐标

(3)

其中，景符中心的纵坐标n是“铜叶”“中穿一窍”的高度(简称“窍高”)。

因“铜叶”“一端设为机轴，令可开阖”，故其“窍”高度可以变化，变化范围在“‘趺’高(hf)”(铜叶水平时)和“‘趺’高(hf)+‘铜叶’高(ht)的一半”(铜叶垂直时)之间(见图1c右上)，即

(4)

其中hf≥0。如果窍的高度n变化，同时m(式(3))也相应变化，此时构成“往来迁就”的动作。

(二)横梁光影特性的数学表达

在高等数学中业已证明[5]：在笛卡尔坐标系中，设有圆(x-a)2+(y-b)2=r2和圆外一点Q:(p,q)，则Q点和圆的切线的解析解方程满足

(5)

式(5)的第一个式子对应太阳光斜射的情况，第二个式子对应太阳光直射的情况。按照元朝郭守敬实测的数据，前者可应用在北回归线以北的任何时候的测量中；后者可应用在南北回归线之间，且太阳直射当地的时候的测量[3]。

对于《元史·天文志》记载的北京实测的数据而言，按照小孔成像原理[6,7]，从“铜叶”中心引出的“和横梁的圆截面相切的直线方程”符合第一个式子(见图1c)，其对应的方程为：

(6)

和

(7)

两式中已带入横梁和“铜叶”的相关参数，rh为横梁的半径。

令y1=0 和y2=0 ，我们得到横梁外边在圭尺上的投影

(8)

和

(9)

显然，因为两式都包括了可以变化的“铜叶”高度n(式(4))，所以x1和x2也是可以变化的。为了研究横梁光影的特性，这里我们定义以下几个变量：

1.描述影宽

Δx=x1-x2

(10)

此式正是郭守敬“实得‘横梁’中景”的宽度，即“不容有毫末之差”的绝对大小。

2.描述圭表测量的相对精度[5]

(11)

此式正是郭守敬“不容有毫末之差”与横梁影长的相对值。

3.描述横梁影子对称性(单位为1)

(12)

显然，ry=1的时候，横梁影子中心相对两边对称。

(三)太阳光斑特性的数学表达

在正午时，太阳通过“铜叶”之后，成像为一个近似椭圆[7,8](见图1b右上)，其短轴的长度(按照下述的“仅如米许”的测量标准)等于米粒长度[3]；其长轴方向的特性，描述了光斑随景符高度调节时候表现的特征。在研究太阳的光斑的时候，这里假设一个虚太阳，其中心在(0，H)点；在此假设下，研究太阳在横坐标上的投影的方法，和横梁的研究方法相同(见图1c)；除了太阳半径rt有变化外，式(5)中其他参数不变。进一步，如何给出太阳在(0，H)点的视半径rt，就成了解决问题的关键。从横梁中心的影子(x,0)，引出一个视角度为0.5°(=0.25°×2)[7]的圆，其圆心在横梁中心；并同时引出一条和横梁上沿相切的线(见图1d)。按照三角学知识[5]，我们有

(13)

在横梁和圭尺组成的三角形中有

(14)

结合式(13)和(14)，因为L相等，我们有

(15)

根据式(5)、(8)和(9)，我们有太阳光斑的外边的横坐标：

(16)

和

(17)

同样我们可以给出

1.光斑的大小，即水平长度：

Δt=t1-t2

(18)

郭守敬记录的光斑“仅如米许”，按照现代小米的平均直径1.2mm[9]计算，其对应的景表尺长度为0.0049尺(=0.12cm/24.525cm，24.525cm为现代计量单位下1景表尺[7]的长度)；该长度是景符在移动过程中，读取相关数值和计算对应精度的一个重要限制性条件；“许”字，说明实际值与0.0049相比，可以有极微小的偏离。

2.光斑偏离圆形的度量方法为(单位为1)

(19)

显然，当rt=1时，横梁影中心平分光斑，此时光斑为圆形；同时达到“隐然见横梁于其中”。

3.横梁影子和光斑大小的比值(单位为1)

(20)

4.光斑右侧宽度和左侧宽度之比(单位为1)

(21)

二、计算结果

本文选择《元史·天文志》[3]中记录景符的相关信息，来恢复记录的圭表测量值。参数选择：高表的高度用40尺(4丈)，横梁的半径0.15尺，地理位置选择北京，北京夏至日的太阳高度角用72.81637°，冬至日的太阳高度角用27.53035°。根据本文方法计算结果见表1和图2、3；为方便对比，表内有效数字取小数点后8位；如无特别说明，前述定义的比例变量单位为1，长度单位为尺，长度小数点后的单位依次为寸、分、厘、毫(研究到毫的水平，就足以复原《元史》的记录了)。

表1 夏至日和冬至日，透过景符的光斑“仅如米许”时，计算获得的结果

图2 夏至日，景符高度从0增加到0.6尺的计算结果。每个图中显示了“如米许”光斑时候的数值。

图3 冬至日，景符高度从0增加到0.6尺的计算结果。每个图中显示了“如米许”光斑时候的数值。

夏至日结果：横梁中心的影子为12.36954597尺，和《元史》中记录的数据相符。景符窍高沿中心直线“往来迁就”从0到0.6尺的高度上，寻找仅有米粒大小光斑的过程中，所有应变量都是线性地变化：影宽从0增加到0.005尺，相对精度从0增加到0.004，横梁影子对称性从0.99779减小到0.99775，光斑的大小从0增加到0.006尺，光斑偏离圆形从1.002700增加到1.002745，横梁影子和光斑大小的比值从0.82107343减小到0.82107333，光斑右侧宽度和左侧宽度之比从1.00492增加到1.00501尺。当发现光斑为0.00489017景表尺时，窍高为0.506，影宽为0.00401519，相对精度为0.03246025，横梁影子对称性为0.99775841，光斑偏离圆形为1.00273688，横梁影子和光斑大小的比值为0.82107335，光斑右侧宽度和左侧宽度之比为1.00498966。

冬至日结果：横梁中心的影子为76.74000932尺，和《元史》中记录的数据相符。景符窍高沿中心直线“往来迁就”从0到0.6尺的高度上，寻找仅有米粒大小光斑的过程中，所有应变量都是线性地变化：影宽从0增加到0.01尺，相对精度从0增加到0.014，横梁影子对称性从0.99387减小到0.99326，光斑的大小从0增加到0.025尺，光斑偏离圆形从1.01688增加到1.01714，横梁影子和光斑大小的比值从0.3972221减小到0.3972212，光斑右侧宽度和左侧宽度之比从1.02368增加到1.02403尺。当发现光斑为0.00489614景表尺时，窍高为0.12，影宽为0.00194485，相对精度为0.00253434，横梁影子对称性为0.99335149，光斑偏离圆形为1.01693453，横梁影子和光斑大小的比值为0.39722193，光斑右侧宽度和左侧宽度之比为1.02374088。

三、讨论

结合前面的理论，并对比夏至日和冬至日的数据，我们发现：

1.在两至日的北京，使用景符都能够找到“仅如米许”的光斑，能够计算出对应的影长，说明《元史》记载无误，同时与理论相互佐证；

2.两至日内的影宽，随太阳高度角的变化而变化，并不是一个绝对值；太阳高度角越小，影宽越窄。计算获得的影宽和现代(文献[7]内表1记录的冬至日附近)实际测量的0.00x(x表示对应的小数位，下同)尺水平吻合；

3.在现代科学下，测量相对精度都很高，在0.0x%水平及以下。测量相对精度随太阳高度角的变化而变化，并不是一个绝对值；太阳高度角越小，相对精度越高；

4.横梁影子对称性为0.99x水平及以下，光斑对称性在1.0x水平及以下，光斑右/光斑左的比例在1.0x水平及以下。它们都非常接近于1，但不等于1，说明整个光斑和横梁体系在“仅如米许”时候，是一个非常接近于圆的椭圆。实际观测中，在肉眼能区别的范围内，可以认为光斑长轴方向始终是平分的，在达到“米许”的尺寸时，整个横梁平分光斑；

5.横梁影宽和光斑大小的比值，随太阳高度角的增大而增大；说明在手动记录横梁位置的时候[3,10]，冬季需要用到比夏季更细的笔来记录。

四、结论

本文结论如下：

1.郭守敬创制的景符在笛卡尔坐标系下的工作原理，即“一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，…，往来迁就于虚梁之中。窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中”，可以用高等数学精确表达；

2.新的数学公式准确地复现了《元史》中记录的至元十六年夏至日和冬至日的日影长度，发现用景符记录横梁位置的测量精度，在“不容有毫末之差”的“毫”水平上；

3.新的数学公式可以更深入且定量地研究横梁的影宽、相对精度、横梁影子对称性、光斑的大小、光斑偏离圆形、横梁影子和光斑大小的比值、光斑右侧宽度和左侧宽度之比等7个特征信息。这些特征信息都是太阳高度角和窍高的函数，意味着研究一年内每日的日影记录时，需要有不同的特征信息来深入分析；为从新角度研究与景符相关的工作，提供了思路。作为例子，夏至日和冬至日的各个特征信息有明显的区别。