以九连环游戏助推学生核心素养发展

◇罗 梅（重庆：重庆师范大学数学科学学院）

随着课程改革的深入发展，数学教育越来越重视小学生数学核心素养的培养，而如何落实小学生数学核心素养的培养，也成了当前教师面临的新挑战。数学核心素养是学生在数学学习过程中逐渐形成和发展的，而以九连环为载体的数学游戏活动，一方面可以满足小学生的好奇心从而激发其数学学习兴趣，另一方面可以将数学的抽象知识具体化，学生在破解时感受和领悟九连环本身的数学原理，从而潜移默化地培养自己的数学核心素养。因此，九连环活动是培养小学生数学核心素养的有效途径。为了落实小学生数学核心素养的培养，本文将深入研究九连环活动如何培养学生数学核心素养，并提出利用九连环促进学生数学核心素养发展的策略。

一、九连环简介

九连环在我国的历史悠久，文献记载可以追溯到战国时期。《战国策·齐策·齐闵王之遇杀》中记载道：“襄王卒，子建立为齐王。君王后事秦谨，与诸侯信。秦始皇尝使使者遗君王后玉连环，曰：‘齐多知，而解此环不？’君王后以示群臣，群臣不知解。君王后椎椎破之，谢秦使，曰：‘谨以解矣！’”从这篇史料中可以看出，我国在战国时期就有了连环玩具，到目前为止，九连环已经在我国流传了两千多年。

（一）九连环的构造

九连环主要由九个圆环通过竖杆依次相连而成，实物如图1所示。九连环具体构造部件有：一根长钗、9个圆环、9根竖杆、9个圆球和一个底板。

长钗分为握柄和钗身，钗身中间是空的，钗身上套着九个圆环，每个小圆环上面都有一个竖杆，每个竖杆都落在与它相邻的圆环里面，将相邻两个圆环连接起来；九根竖杆向下穿过一个底板，穿过底板后竖杆的底部有一个小圆球将底板套住，如此底板可以在竖杆上滑动，但是不会脱离竖杆。左手持柄，钗头在右，九个圆环从右到左地排序：1环、2环、……9环。圆球、底板、圆环、竖杆和长钗之间的位置关系如图2所示。

（二）九连环的破解

当九连环的九个圆环都在长钗上时称为满贯；以满贯位置为初始位置，从1环开始，按顺序将圆环从长钗中卸下，当九个圆环全部与长钗分离时，称为解脱。解九连环，就是要将钗与圆环全部分离开来即算成功。

九连环中的每个圆环相互制约，只有第1个圆环可以任意上下。要想下（上）第n个圆环，就必须满足两个条件：首先，第n-1个圆环需在钗上；其次，第n-1个圆环前面的圆环都不在钗上。要破解九连环就需要满足上面的两个条件才能把9个圆环逐一卸下。如果想将九连环装上去，做解下九连环的逆运算即可。

九连环的破解需不停重复递推。在19世纪，格罗斯通过演算，证明了解开九连环一共需要三百四十一步，迄今为止尚无其他更便捷的方案。因此在破解九连环的过程当中也考验了学生的耐心与专注力。

二、九连环游戏在发展学生数学核心素养中的作用

2022年颁布的《义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）对义务教育阶段的数学核心素养进行了详细说明。将数学核心素养聚焦在了“三会”：会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，并阐述了“三会”在小学阶段的主要表现，如下表所示。笔者将以此为基础分析九连环活动对发展小学数学核心素养的作用。

“三会”在小学阶段的主要表现

九连环游戏是培养小学生数学核心素养的有效途径。从九连环的构造入手可以培养学生的空间观念，从九连环的破解中可以培养学生的推理意识、模型意识和应用意识，以此实现培养“三会”的目的（如图3）。以下将具体分析九连环活动对学生空间观念、推理意识、模型意识和应用意识的培养。

（一）有利于培养学生的空间意识

《课标》指出，空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。在进行九连环游戏时，首先，从九连环本身的构造中能够抽象出圆、球等基本几何图形；其次，九连环各个部件之间的位置关系能够帮助学生想象并表达物体相互之间的位置关系，比如以底板为参照物，长钗和圆环是在底板上面，圆球是在底板下面，这样学生在观察和描述九连环部件之间的位置关系时就会表达物体的相对位置，从而培养学生的空间观念；最后，在操作九连环上环和下环时能够帮助学生感知并描述图形的运动。因此，九连环游戏有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，为学生形成空间想象力积累经验。

（二）有利于培养学生的推理意识

《课标》指出，推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。九连环的破解原理其实就是数学中的递归原理，要想下（上）第n个圆环，就必须满足两个条件：首先，第n-1个圆环需在钗上；其次，第n-1个圆环前面的圆环都不在钗上。九连环一环扣一环，若没有满足上述条件是无法解开九连环的。

在九连环游戏过程中，一方面从破解原理出发会发现：真正解下的第一个环实际上是第9环，依次类推，接下来解下的环是第8环……第1环。发现这一事实后学生就可以依据破解原理依次破解九个圆环。在这一过程中学生从已知结论出发可以得出新的结论，能够经历从一般到特殊的论证过程，有助于学生感悟逻辑推理的过程。

另一方面从破解前三环出发会发现：要解开第2环需要第1环在钗上，要解开第3环需要第2环在钗上而第1环不在钗上，因此破解前三环只需4步。类比前三环的破解方法，进一步交流讨论，猜想或发现要解开第4环就需要第3环在钗上，第2环和第1环不在钗上。以此类推，得出第5环……第9环的破解方法，最终归纳总结出九连环的破解原理。因此，破解九连环的过程有助于学生形成有条理的思维习惯，增强交流能力，形成推理意识。

（三）有利于培养学生的模型意识

《课标》指出，模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。九连环具有内生建模能力，它既包含动手操作的问题情境，又蕴含解决问题的相关规律，兼具活动性与思想性。九连环的破解思路及步骤蕴含着一定的规律，整个破解的过程类似于数学建模的过程。首先，从九连环活动这一实际情境中可以将破解九连环的游戏问题转化为数学问题，将九连环自身各个部件的关系与结构用数学符号来表示，比如对圆环进行编号，对圆环所在钗上的状态进行编码等。其次，在分析如何解开九连环时，可以由浅入深，从三连环的模型入手，找出规律，进一步借助四连环、五连环等验证规律，若有不同及时改进，从而得到九连环的破解原理，最终解开九连环，学生的模型意识也在破解九连环的过程中潜移默化地得到了培养。

（四）有利于培养学生的应用意识

《课标》指出，应用意识是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。在破解九连环时，将其抽象成数学问题、用数学的方法解决的这一过程，能够帮助学生意识到现实生活与数学息息相关，同时积累活动经验和思维经验，增强对数学的应用意识。

三、以九连环游戏助推学生数学核心素养发展

九连环游戏能够发展学生的数学核心素养。在进行九连环游戏时，要明确以核心素养为导向的活动目标，精炼活动内容，发展核心素养，还要注重活动反思，强化核心素养。

（一）明确游戏目标，指向核心素养

九连环游戏的主体是学生，但主导者是教师。因此，教师需在活动开始前明确活动目标，充分考虑核心素养目标在九连环活动中的实现，即：引导学生在活动中用数学的眼光观察九连环，用数学的思维破解九连环，用数学的语言表达九连环的破解原理，帮助学生感悟数学与现实世界的联系，培养学生的实践精神。同时，注重九连环活动内容与核心素养主要表现的关联，在制定活动目标时将核心素养的主要表现体现在活动目标中。比如，在认识九连环过程中关注空间观念的形成，在破解九连环过程中关注推理意识、模型意识等的形成。

（二）精炼游戏内容，发展核心素养

教师在明确九连环活动目标后，为实现核心素养导向的活动目标，要把握活动内容与相应核心素养发展之间的关联。本文前文分析了九连环的构造可以促进空间观念的培养，九连环的破解可以促进推理意识、模型意识、应用意识的培养，因此在设计活动内容时可以从九连环构造和破解两个方面入手。

一方面可以从九连环的构造入手，设计相关活动。教师可以在开展九连环活动之前给学生布置任务，让学生课下去查找、收集九连环的相关信息。在开展九连环活动时，可以让学生介绍九连环的各个部件、构造特点、破解方法，这样既可以锻炼学生的数学表达能力，也能培养学生的空间观念。

另一方面可以从九连环的破解入手，设计相关活动，培养学生的推理意识、模型意识和应用意识。首先将九连环的破解说明书让学生分小组学习，然后利用破解说明书破解九连环，最后请小组汇报交流，分享经验。若学生的认知发展水平较高，可以组织活动让学生探究九连环的破解原理，从破解三连环开始，总结规律，然后破解四连环、五连环……在破解过程当中归纳总结、提炼模型。

（三）注重游戏反思，培养核心素养

活动反思是学生对自己思考过程和结果再认识的过程，在反思过程中，学生的数学活动经验可以得到提升，从而强化核心素养。比如，在学生破解完九连环后，可以引导其思考：在活动中我们是如何探索出九连环的破解原理的？回顾反思具体的操作方法，从而积累活动经验和思维经验。或者可以请没有解开九连环的小组分享失败的原因，引导学生自我反思，提高其数学思考能力。在九连环活动中既要重视过程，让学生在经历中发展数学核心素养，也要及时回顾与反思，引导学生深度学习，更有效地落实学生数学核心素养的培养。