完善“比”的概念定义及其运用于教学

陈士文 周 祥

一、背景、困惑与缘起

除法、分数、比是小学数学中相关联的教学内容，三个概念接续出现，低年级学习除法，中年级了解分数，高年级接触到比。教科书中“除法”概念的引入一般是建立在“平均分”的基础上；“分数”的定义依然是建立在“平均分”的基础上，并沟通了除法与分数的联系。显然，分数是因“分”而来、因“除”而得的。分数的出现，扩展了视野，学生发现除法的结果（商）不仅可以是整数，也可以是有限小数或无限小数。从除法到分数，实质是从整数系到有理数系的扩展。

教材中“比”是这样定义和规定的：两个数相除又可以叫做两个数的比，比的前项除以比的后项得到的商叫做比值，两个数的比可以写成分数形式。在沟通比与分数和除法的关系时，教科书及参考书中出现字母表达式和图表：

既如此，“比”就是“除”，“商”叫做“比值”，“比”又可以写成“分数”形式，比与除法、分数的不同又在哪里呢？教材中似乎过于强调了除法、分数、比三者之间的联系，却淡化了三者之间的区别。笔者思考应该有所区别，并在区别中体现发展。低年级学习除法；中年级掌握分数，分数的出现扩展了学生对数的认识与数的运算；高年级接触到比了，比的出现带来认知的扩展与提升吗？如没有，又何必多此一“比”呢？即便有此一“比”，又如何解释下面的问题。

问题一：足球比赛，甲、乙两队的比分是0∶3，这是数学中的比吗？而乙、甲两队的比分则是3∶0，这是数学中的比吗？因为比的后项不能为零，前一个0∶3是比，后一个3∶0就不是比？难道数学的可逆性就这么脆弱？

问题二：教材中有“混凝土中水泥、黄沙、石子的比是2∶3∶5”的表述，请问2∶3∶5是不是比？比不是表示两个数相除吗？教材是不是自相矛盾？连比又怎么理解？

问题三：甲、乙两数分别是-2和5，甲、乙两数的比值是-0.4；如果甲、乙两数分别是2和-5，甲、乙两数的比值还是-0.4。或如，甲、乙两数分别是-2和2，甲、乙两数的比值是-1，乙、甲两数的比值也是-1。不一样的数或不一样的比序，比值却是一样的，此处的比值还有意义吗？是不是有比就一定要给出比值呢？“比值”比“商”高明在哪里呢？

二、完善“比”的定义

显然，上述三个问题触及到比的定义，我们不禁要问：比是否可以突破两个数相除？

比值有没有比商更大的包容性？比在分数的基础上有发展吗？如何定义“比”的概念？数学教育专家史宁中和娜仁格日乐认为：比是两个数量倍数关系的表达或者度量。除法是一种运算，是一种在解决问题过程中使用的计算方法。因此，不能把比理解为除法。

虽然可以用分数表示比，但在本质上分数是一个数并且是一个无量纲的数，而比是一种表达或者度量，可以是有量纲的。因此，用分数形式表示的是比的大小、而不是比本身。所以，也不能把比理解为分数……在一般意义上比可以是无理数。［1］

这里，学者完善了“比”的定义：比是两个数量倍数关系的表达或者度量。笔者理解尽管比依然局限在两个数量，但比的“表达”超越了“除法”，比的“度量”结果已从分数值的有理数范围扩展到实数范围；比的定义已在除法和分数关联的基础上有所发展，这种关联和发展还需要进一步通过课堂教学的实践来验证和“臻于至善”。鉴于此，笔者分别从比是什么、为什么、怎么用三个方面设计教学板块，引导学生学习比的概念。

三、在教学实践中检验认知

第一板块：什么是比？

师：这儿有2杯果汁和3杯牛奶，请用一句话表达它们之间的关系。

生1：果汁和牛奶一共是5杯。

生2：牛奶比果汁多1杯。

师：刚才同学们从加、减、除的角度表达了果汁和牛奶杯数之间的关系，并说出了和、差、商。

师：我们还可以这样表达，果汁与牛奶的杯数比是2比3，牛奶与果汁的杯数比是3比2。

师：比是数量间一种关系的表达。

出示如下表格：

体重（千克） 身高（厘米）小红 30 80小明 40 100

师：根据表格中的信息，你能说出比吗？

生1：小红与小明的体重比是30∶40，身高比是80∶100。

生2：小红的体重与身高的比是30∶80。

生3：小明的体重与身高的比是40∶100。

师：从体型上看，你觉得谁胖一些？为什么？

生4：我认为小明显得胖一些。因为小红的体重与身高的比是30∶80，比值是0.375，小明的体重与身高的比是40∶100，比值是0.4。

师：借用除法的思路求出比值，我们发现比还是数量间的一种衡量。

第二板块：为什么学比？

师：你能很简明地表达数量之间的关系吗？

师：7克糖和100克水配成一杯糖水。

生2：糖和水的比是7∶100，水和糖的比是100∶7。

师：23克咖啡粉和100克水配成一杯咖啡。

生3：咖啡粉和水的和是123。

生4：咖啡粉和水的比是23∶100，水和咖啡粉的比是100∶23。

师：同学们从和、差、商的角度简明地表达出它们之间的关系了。如果是7克糖、23克咖啡粉和100克水配成一杯加糖咖啡呢？

生6：糖、咖啡粉和水的比是7∶23∶100。

师：你为什么不用除法、分数来表示数量间的关系，反而会选择比呢？

生7：用比表示多种数量之间的关系更简便。

师：人们创造出的“比”更简明方便、更具优越性，知识就是这样发展的。

教师介绍黄金比0.618、圆周率等。

师：比中有“美”，“美”中有“数”，我们用比去创造美。

师：圆周长与直径的比值是一个无限不循环小数。学习比，我们遇到了新的数。

第三板块：怎样用比？

师：根据下面的信息，你能说出哪些比？

师：甲÷乙 = 4。

生1：甲与乙的比是4∶1，乙与甲的比是1∶4。

师：我们根据除法算式可以说出比。

生2：修好的与全长的比是2∶5。

生3：未修的与全长的比是3∶5。

生4：修好的与未修的比是2∶3。

师：我们从分数中发现了不同的比。

师：蛋糕中的水果、奶油、面粉和糖的比是2∶3∶7∶1。

生5：蛋糕中的水果和奶油的比是 2∶3。

生6：蛋糕中的奶油和面粉的比是 3∶7。

生7：蛋糕中的面粉和糖的比是7∶1。

生8：蛋糕中的水果和蛋糕总量的比是 2∶13。

师：我们可以从多种数量之间的比中找出其中任意数量间的比。

师：比可以从不同的角度表示信息。从除法到分数，再到比，知识是不断发展的。

师：我们用4克糖和100克水配成糖水。如果要再配同样甜度的糖水，怎么办？

生：用2克糖和50克水配成糖水。

生：用1克糖和25克水配成糖水。

生：用8克糖和200克水配成糖水。

师：4+100 = 104，3+101 = 104，我们用3克糖和101克水配成糖水，行吗？

师：100-4=96，101-5 = 96，我们用 5克糖和101克水配成糖水，行吗？

三个板块、六个片段紧紧围绕比的概念核心，在是什么、为什么、怎么用的思辨中初步完成了比的知识构建。

以上只是比的第一课时的教学，只是小学数学概念教学的尝试性探索，在后续的学习中需要进一步感悟比的意义，引导学生生长新的关于“比”的想法，而不是停留在概念和符号的叠加上。正如高斯所说：“我们需要的是想法，而不是符号。”