基于“课题研究模式”的数学探究活动教学模式建构

叶启垦

(杭州第七中学，浙江 杭州 310024)

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，是综合提升数学学科核心素养的有效载体[1].这一新型的教学活动使得课堂教学由单向输出转向双向互动；教学模式由封闭走向开放，不论是以主题设计还是以单元设计都呈现出较大的弹性与开放性.但是，由于我们自身对数学探究活动的理解、认知有偏差，在实际教学中，常常忽略探究课题的选择与探究的路径设计.部分教师不了解学生进行数学探究所需要的数学基础，忽视探究的方法设计与情境问题的衔接设计，从而无法正确开展数学探究活动的教学，进而在教学方式和学习方法上的指导“务探究之虚，行灌输之实”，那么效果可想而知.因此，有必要重新梳理建构数学探究活动的教学模式，即建构数学探究活动的结构框架及活动程序的具体操作.

1 数学探究活动的结构框架建构

数学探究活动与数学知识的教学、解题教学不同，数学探究活动是具有一定数学研究味道的创新性综合实践活动，其要义重在“活动”“实践”“过程”，并且是以学生活动为主.根据新课标提出的教学要求，数学探究活动以课题研究的形式展开，包括选题、开题、做题、结题这4个环节[2].显然，每个环节需要考虑教学设计中相应的教学步骤、活动实施、组织形式及需要达成的教学目标.

基于课题研究模式，结合具体的教学要素，笔者尝试建构数学探究活动的结构框架，如图1.

图1

各教学要素解析说明：

1)教学步骤，即课题研究环节对应的具体的教学实施过程.

2)活动实施，即每个环节所需完成的具体任务，即学生活动与教师活动.

3)组织形式，数学探究活动可分为独立探究、合作探究与引导探究这3种最基本的形式.

独立探究是最基本的探究活动形式，即学生个体对探究课题所进行的独立思考和探究.这个过程中学生自我建构新知，属于建构性探究.

合作探究是探究活动的重要组织形式.在探究活动中，通过与其他同伴的交流，产生新的思维，以找到解决问题的方案.

引导探究指的是在教师的引导下，需要借助教师设计的驱动性问题，使学生获得灵感，找准探究的方向.

4)素养目标，即本环节活动促进学生提升的具体的学科素养与能力指向.

2 基于“课题研究模式”的数学探究活动的程序解析

根据以上结构框架，对每个环节做具体解析.

2.1 选题

选题是开展数学探究活动的起始阶段，也是决定数学探究活动成败和成果大小的关键环节.这里首先要解决的是谁选、从哪里选、什么样的题是好题.

2.1.1 课题的来源

一般地，数学探究的课题来源是多样性的.可以是数学教材中的案例和背景材料中的发现与建议，可以是教师提供的案例和背景材料中的发现与建议，可以是学生在学习过程中发现的新问题研究，或者从常规问题(或高考题)出发进行演绎深化而得到的开放性、多样性、趣味性且有挑战性的课题[3].当然，主要还是面向课内的学习内容及相关知识，指向核心知识.这是教学设计的起点.

人教A版新教材中提供的“数学探究”专题案例有两个：1)《数学(必修第二册)》中设计了数学探究活动“用向量法研究三角形的性质”；《数学(选择性必修第三册)》中安排了“杨辉三角的性质与应用”.另外，还提供了若干“探究与发现”案例，如表1所示；同时，在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中给出一个案例：“正方体截面的探究”[1].

表1 人教A版新教材中提供的“数学探究”“探究与发现”案例

这些探究活动案例以“数学探究”“探究与发现”栏目的形式呈现，是根据教学中的具体教学内容安排的，将知识进行适当的延伸与拓展，具有一定的灵活性和自主性.

2.1.2 选题原则

课题源于问题，但课题并不等于问题.课题是对需要研究的问题进行提炼概括后形成的题目，不是所有的数学问题都能作为数学探索性课题.笔者从数学探究活动的目标与指向出发，试着从以下5个方面进行分析.

1)与学生的学情、知识储备、认知心理相适应.即所选的探究性课题要与学生的生理、学习心理特征相适应，还要考虑学生的知识储备和思维习惯、技能，问题情境必须是基于学生已有的数学概念和方法，能让学生可以通过自主探索发现背后的数学隐知识.

例如，在研究课题“杨辉三角的性质与应用”时，若学生还没有掌握排列组合、二项式定理等知识内容，则学生或许可以通过观察、归纳、猜想来发现规律，但是未必能运用知识推理论证结论.

2)能够激发学生的兴趣和探索的热情，从而促使学生进行发散活动和自主探索.

例如，“三角形的3条中线是不是交于一点？”显然不如“三角形的3条中线为什么正好交于一点呢？你能用向量法进行证明吗？”更能驱动学生探索的兴趣和热情.

3)避免零认知，要有认知难度.好的探究课题必须有一个合适的探究起点，这就是学生当前的认知水平与知识层次水平.有意义的探究活动不同于传统的以知识传授为主的学习方式，不是通过死记硬背或机械学习就能达到的，应该是整体的、综合的、深度的学习实践活动.因此，我们所确定的探究性课题，必然不能是简单地记忆类的事实性知识或陈述性知识，而是能促进学生进行深度学习、进行高阶思维训练与培养概念性、策略性的知识.

4)指向反映数学本质的核心知识与概念，从而驱使学生去思考数学知识之间的内在关系.当然，探究活动所涉及的知识背景最好是新近学习的，这样，通过对这个课题的探究能够促进学生理解和综合运用相应的数学知识.因此，好的探究课题并非一个个知识点的教学，其内容选择是在一些数学知识的交汇点，这样就能突破单课时制，从单元整体设计视角对一个问题进行完整的设计.

5)课题的开放性，提供学生多维探究的可能，从而激发学生的创新意识，培养探究能力.

案例1杨辉三角的性质和应用.

1)该课题体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程.

2)杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力,特别是对称之美，能够激发学生的兴趣和探索的热情.

3)通过自主探究或合作探究，既能丰富数学知识，又能建立不同知识(排列组合、数列开方运算等)之间的联系.

4)本课题除了给定“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力．自主探究能力越高，探究就越开放，收获就会越多，从而能满足不同层次学生的探究.

2.2 开题

一般地，开题交流活动以班级报告会的方式进行.活动内容包含选题的意义、文献综述、解决问题的思路、研究计划和预期结果等，特别说明需要哪些数学知识、可能的探究方法和步骤以及合理性、可行性、有效性，并对不同的实施方案进行预设和比较分析等.

教师的任务则是指导学生将课题细化为具体的探究内容(探究步骤)、探究方法、提供可能的资源(知识储备、网络资料、信息技术工具等)、将整体性的问题分解为不同的任务以供分组研究.

案例2用向量法研究三角形的性质.

从课题描述方面看，学生对具体要探究的内容不是很清晰，于是教材做了示范，具体探究内容(探究步骤)为：

1)分析研究对象：回顾初中学习三角形的过程，从研究的思路、内容、方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论.

2)对比研究方法：用向量方法对“三角形的3条中线相交于一点”进行证明，推出相应的结论.同时，总结用向量方法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理论证过程进行比较，阐述各自的特点.

3)向量法新证明：用向量的方法探究发现有关三角形的边、外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等的性质.

接着进行分组探究任务的布置：第1组探究三角形“边角”要素之间的关系；第2组探究三角形“中线”的性质；第3组探究三角形“角平分线”的性质；第4组探究三角形“高线”的性质；第5组探究三角形“中垂线”的性质.

2.3 做题

这是具体的实施阶段.做题，并非解一道数学题，应包含明确数学问题、求解数学问题、得出结论、反思完善等过程.

首先，每个小组集体讨论探究方案，确定研究思路；然后，小组成员各自开展独立探究.

一般地，根据不同的课题内容采取不同的探究方式.

1)定理或结论性的探究：问题—探究—猜想—证明—结论；

2)概率与统计知识的探究：收集数据—分析数据—整理数据—预测与解释；

3)几何证明的探究：观察—假设—尝试—结论；

4)解题活动的探究：理解题意—探寻解题思路—解法分析—写出解答过程—解题反思.

探究活动是完全开放的，这是学习方式的重大转变，学生刚开始表现得无所适从，这就需要教师对每组的研究进行跟踪与关注，可以设计一些可操作性的驱动性问题，以驱动学生主动、自觉投入.

而在探究活动中，好的“驱动性问题”应符合以下4个特点：一是与数学关键概念、核心内容紧密相关；二是有一定难度和梯度，具有一定思维含量与技巧；三是蕴涵丰富的数学思想方法；四是可以运用不同的知识与方法，通过多种途径给出问题的解决方案.

案例3杨辉三角的性质和应用.

环节1观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论.

通过观察，探寻数字之间的联系，并有目的地进行分析，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；通过数学的实验方式，人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础.

最后，在观察和实验的基础上获得一定的素材，接着进行归纳，做出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题.

环节2利用已学知识，尝试对所得结论进行证明.

根据数据的特点，联想二项式系数和组合数的性质.

杨辉三角的应用对学生来说比较难，需要提供一些阅读材料或指导一些可能的探究方向.

在教学中，要特别注意探究方法的指导.当然，发现结论和写出结论则由学生自己完成.但小组成员之间有差异性，务必要先独立思考，再进行小组讨论.在小组讨论中，教师要对学生进行问题引导.其次，在数学探究中，信息技术是必要的.指导学生掌握多种探究工具，比如用几何画板和GeoGebra等创造更多可能的结论.

2.4 结题

要求学生以“专题作业”的方式写出研究报告，然后进行组内交流和全班交流.本环节可分为如下两个教学步骤.

2.4.1 撰写研究报告

研究报告的形式根据选题的内容，采用专题作业、研究报告或小论文等多种形式，引导学生注意论文的规范性和逻辑性，教师可以提供案例参考.

2.4.2 研究报告的交流和评价

组织学生开展结题答辩和展示，并给出形成性评价.探究活动重在引导学生大胆探究、自主学习、体会探究活动的过程，而非重探究的结果.将教学过程与评价融为一体，关注过程性评价，目的是全面了解学生的学习状况，激励学生学习，改进教学，从而促进学生的成长.

教师要提前设置客观、科学的评价标准；预设学生产生可能形式的成果，提出最低标准；可能用怎样的方式呈现等，同时预测不同层次学习者在学习中的进步和表现，预测未来表现和发现潜在问题.

学习评价，可将评价标准分数学评价和非数学评价.数学评价由教师做评价，依据是现场观察、成果作品或研究报告，针对小组进行评价.数学评价项目可以是提出的问题是否合理、切合研究的目的(前面提到的几个原则)；还要关注发现过程的展示(你是怎么想到这个问题的，什么是你的思维触点),详见表2.

表2 数学探究活动的数学评价项目表

非数学评价主要是同伴间的相互评价.学生参与的程度、学生的体验过程与结论同样重要.同样地，教师要指导学生评价的方式，而不是仅凭感觉，要具体量化.比如具体分组时，明确提出分组方案或发现并提出问题；在做题过程中，比较产生的一些极具创意性的做法等,详见表3.

表3 数学探究活动的非数学评价项目表

当然，除了结果、结论的展示，还要关注发现过程的展示(你是怎么想到这个问题的,什么是你的思维触点),可以通过访谈形式做出评价.

通过这个环节，学生可以有效地提高运用数学知识和语言表达的能力，并在讨论总结中提高数学交流的能力.此外，撰写研究报告和小论文可以提高写作水平，为日后的科学研究奠定基础.

以上，笔者基于课题研究的活动环节，对数学探究活动进行了结构要素分析及活动程序解析，见总表4.

表4 数学探究活动的结构框架和活动程序解析表

总之，数学探究活动的教学过程要体现过程、活动特性，让学生参与到整个课题探究活动的过程中，感受研究数学的“味道”，感受问题解决的元认知.这时教师的导演角色将显得更加重要，教师要根据课堂实际情况，捕捉到探究活动最佳的生长点.在教学中教师要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导[4].根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成.另外，要培养学生的论文写作能力，同时也要求教师自身具备课题研究的经验和论文写作的能力，以教师自身的综合能力为保障.

3 尚待思考的问题

大班的情况下，学生个人学习能力、知识掌握情况严重不一致，数学探究活动中应该如何设计合适的驱动性问题，以满足因材施教、分层要求.对于独立探究、合作探究过程中的交流认知是促进还是阻碍，该如何检测与评价？在小组合作过程中，“慢生”在知识、能力、技能等方面是否有实质性的收获，又该如何检测与评价？在活动组织形式上，各种组织形式的交流认知情况有效性如何(即在探究过程过程中小组同伴之间相互交流的思维深度、交流的广度及交流认知冲突是属于低阶认知还是高阶认知)……以上这些问题都尚待进一步探究.