经历过程 积累经验——从《认识角》的教学谈起

福建省长汀县城关登俊小学 刘晓明

“基本活动经验”是一个特别难以界定的概念，难就难在经验是一个很个性化的、极具主观色彩的概念，从不同的视角就会有不同的理解，难就难在经验是如此抽象、无法捕捉，以至于很难用一些直接的评价方式去衡量，如何积累更是一个难以回答的问题。作为教师，我们要敢于把那些看不见、摸不着的数学思想方法变成具体、可操作的实践活动，让学生不仅经历感知，还要经历思考和表达的过程。从而达到数学基本活动经验的积累。

接下来，就从《认识角》的教学中来谈谈如何通过学习活动，实现学生经验的暴露到生成，再到提升与应用的过程。

一、教材背景

《认识角》一课是人民教育出版社出版的小学数学教材（以下简称“人教版教材”）二年级上册第三单元的内容，属于第一学段中“图形与几何”领域的知识。一年级并无关于角的学习内容；在本册初次学习角，主要内容包括:角的初步认识、画角，直角的认识、判断直角、画直角；而在第二学段的四年级上册，学习了直线、线段、射线后，还会进一步认识角，明确角的两条边是射线。

“角”是客观存在的，但它又和我们生活中所说的角又不一样，从数学上说，角是一个抽象的概念，是人们为了数学的研究，从现实世界中剥离和抽象出来，学生接受起来比较困难。因此，2011版课标中指出要“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”。为了帮助学生更好地认识角的特征，教材选用生活中一些常见的物体引发学生思考，例如，一把剪刀张开形成的一个角，钟面上时针和分钟的夹角，还有课本封面的长和宽组成的一个角。从实物中抽象出角的一般模型（锐角、钝角、直角），体现了知识逐步抽象的过程。

不管是人教版教材还是北师大版教材，都是结合实物，先观察图形，然后描述角的概念，接着认识角的顶点和边，至于角的严格定义，教材并没有给出。教材还通过折扇打开后，两条边组成一个活动角，帮助学生认识角的大小；并且利用两个不同的三角尺，比一比角的大小，帮助学生认识角的大小与边的长短无关，为第二学段进一步认识角的两条边是射线，以及学习旋转与角、角的度量打下基础。

二、活动前测

为了了解学生已有的知识基础、经验基础，发现学生学习起点，确定学习目标，设计有效的教学活动，帮助学生从行为到思维真正参与到学习活动中来，让学生在课堂上有真正的收获，笔者在实施学习活动之前用2个问题对学生进行了学习前测。

1.角就在我们身边。请你举出三个生活中的例子并写下来。

2.你认为角是什么样子的？按照你的想法，试着画一个角。

通过前测第1题发现，学生有填写“尖角”“角落”“墙角”“牛角”等例子，这足可以证明学生对生活中的角认识清晰，但是对数学中的角认识模糊。通过前测第2题发现，在学生原有的生活经验中，有的学生认为角是立体的，有一些学生认为角是尖尖的，还有的认为平面图形上的角才是角。这些认识尽管或多或少都与数学上的角存在关联，但其离数学角的本质还有相当远的距离。

三、设计思考

从以往的教学情况并结合前测来看，可以发现学生对角的经验基础更多的是来自于生活中的角，这些角的表象对于学生理解数学中的角来说有一定的促进作用，但更多的是负迁移，影响他们对于角概念的理解。

另外由于角这个平面图形的特殊性决定了在学习和理解其内涵时，其他平面图形的知识储备和经验积累对于角的学习帮助不大。

还有，角的大小比较是学生学习的难点。之所以成为难点，追根溯源还是对角概念的理解上存在问题，从而导致学生在比较角大小时容易产生错误。正因为如此，在教学设计时要有针对性地强化角概念的理解，抓住知识的本质。

四、活动设计

1.经验的暴露——画角。

这个环节主要通过画角，了解学生对角的认识，区分生活中的角与数学中的角，暴露学生已有经验。

首先，布置学习任务：你认为什么是角？请把你心目中的角画在纸上。接着进行反馈汇报，学生画角的情况会存在以下四种类型:错误的（牛角）、平面图形中的角、立体图形中的角、单纯标准的数学中的角。

通过活动，充分暴露学生已有的对于角的认识的经验，让学生在纸上自由地画出自己所认为的角，这样可以使学生在心中对角进行初步感知，在给“角”描述特性时便有了基础，从而能顺利地引导学生把“角”从它的附着体上分离出来，也就是将实物表面存在的角抽象出来。

2.经验的提升——摸角。

这个环节，主要是让学生感受角的特征，建立数学中的角的模型，生成新的经验。

这时，布置学生独立活动，全班交流:到底什么才是数学中的角呢？然后在屏幕上出示一些生活中的图片，从实物中抽象出数学中的角。教师对学生进行一定的引导，让学生对数学中的角进行初步感知。接着让学生在学具袋中出带有角的物体。（注:学具袋里面有吸管、毛线、两个三角板、图钉、两个圆纸片），学生可能发现三角板上有角，也可能发现角是尖尖的或者角是平平直直的。这时师追问：图钉也是尖尖的，它是角吗？吸管也是平平直直的，它是角吗？为什么？

通过第二层次的活动，在学生已有对于角的认知经验上，通过老师适当的干预，学生可以对知识进行反思、沉淀。在这一过程中，教师首先从生活中的实际物品中，抽象出了角的图形，这样从客观世界出发的认识过程，符合从一般到特殊，从具体到抽象的认知规律，让学生逐步形成角的表象。接着让学生摸角，其中学具既有带有角的三角板，也有“尖尖”的图钉和“平平直直”的吸管。后两者是反例，可以帮助学生建立完整的数学角的模型。让学生自己尝试着从学具袋中摸出一个带有角的物体（三角板），这样，学生初步认识了正确的角，提升了已有的经验。

3.经验的应用——创造角。

这个环节主要是创造角，并比较两次不同角。让学生依据角的特征创造数学中的角，进行经验的提升，发展学生的重合比较经验和创造性经验。

首先让学生独立思考，判断他们自己在环节一所画的角，是否为数学中的角。然后反馈汇报。分别呈现上一活动中学生画出的角，通过引导一步步修正，巩固数学中的角概念。接着同伴合作、交流，并利用手中的学具创造角，结合对数学中角的认识来创造角。最后全班交流，利用这些没有角的材料创造出角，并和你的同伴说说你创造的角的顶点在哪里，两条边在哪里，老师再用两根天线创造角，与学生创造的角进行比较，对角的大小这一概念进行总结。

学生对于角的认识，已经有了一定的经验，这个环节就是将已有经验进行应用。根据自己已有的对于角的经验来判断给出的图形是否为数学中的角，使知识在学生心中得到了进一步的巩固和强化，并对已有经验进行反思，巩固和强化新的经验。经过前面几个环节的思考沉淀，对已有的经验进行应用。用学具创造出角来，并且还要能对用两根短短的小棒创造出的角与老师用电视天线创造出的角进行大小比较。同时，这也暴露出学生对于角大小比较的已有经验。这一系列创造角的过程，让学生体会到“角的大小与边的长短无关”；同时对学生认识角的经验进行再次巩固，帮助积累比较大小的度量经验，发展空间观念。

4.经验的关联——生活中的角。

学生综合运用新生成的经验，用数学原理解释生活中的现象从而达到经验的关联与应用。

这个环节，教师给出两张照片，一张是寒冷多雪的北方地区屋顶的照片，另一张是炎热多雨的南方地区屋顶的照片，让学生观察不同地域屋顶的角度，说出设计的原因。最后组织学生反馈汇报。

这一环节让学生感受到，数学就在身边，生活中处处有数学，可以将数学的知识应用到实际当中。也可以说将经验应用到了生活实际中，用已有的经验来解决实际问题，是一种实践应用，学生对已有经验在生活实际中应用可以产生新的感知。

五、活动分析

在小学数学“图形与几何”领域有关角这部分知识的学习中，我们都遇到过这样的问题:角大小的比较无论是在课堂学习中还是在课后的练习中，都是难点和易错点，看起来很简单的知识点，对于学生来说为什么这么不容易理解？学生在体会角的大小与什么有关系时为什么经常会出现错误呢？

从创造角这个环节的学生活动片段来看，学生能通过直观比较的方法，可以创造出两个一样大的角。但在交流的过程中当被问及角两边的长短并不一样时，学生还是表现出了一定的疑惑，但从直观的比较结果来看，这两个角确实是一样大的，可见学生在心中对此还是有一些模糊的。

由此看来，在设计学习活动时抓住概念的本质与核心，在活动设计上下功夫，突破学习的难点，对于角的学习尤为重要。但在课堂实施过程中，教师要一方面让学生充分进行活动体验、深刻体会，另一方面又适时地进行必要的点拨。

1.及时诊学，丰富直接经验。

谈到角的大小是否与角的边的长短有关，首先需要让学生明白什么才是角的大小。对于二年级的学生来讲，对“射线”还没有认知，也不会用量角器度量角的大小，原有的知识经验显然不足。那么对于“角”这样一个半封闭半开放的图形，理解它的属性显然难度很大。那么，学生眼中“角的大小”指的是什么呢？通过让学生用短短的小棒创造一个和老师的天线角一样大的角，再让学生用短短的小棒创造一个比老师这个天线角大的角的活动，可以发现学生眼中，实质就是把“角”看作一个封闭图形，“角的大小”指的是这个图形的大小，所以比的是面积的大小，他们认为两条边越长，角就越大。为此，老师在活动中设计了做角，即:①先尝试用手中的材料自己随意创作出一个角，再用手中两根短短的小棒创造出和老师的天线角一样大的角；②用手中两根短短的小棒创造出比老师手中的天线角还大的角。这样学生有效认识了角的大小和影响角的大小的因素，然后教师再把两个角进行重合，让学生在直观上确认了“角的大小与边的张口大小有关”，并运用“叠合”的操作方法积累了丰富的直接经验。

学生直观感知后形成的经验正确与否，均会对后续学习产生影响。因此，在一开始切入活动时，教师应通过可亲手体验的，有思辨价值的操作活动，为学生的认知提供一个正确清晰的路径，“儿童的智慧在自己的指尖上”。学生通过亲手操作，亲身实践，就能够获得直接经验，促进活动经验与数学思维的发展。因此，在教学过程中，教师应留给学生充裕的时间与空间，放手让学生自己去体验。

2.及时助学，丰富间接经验。

在数学学习活动中，培养思维能力是数学学习的核心，这要求教师为学生提供自由想象、自由发挥、自主探索的时间和空间，帮助学生思考，使数学学习成为再发现、再创造的过程，从而丰富学生的间接经验。

在让学生理解角的属性，也就是角的大小和什么有关时，为帮助学生感受解决问题的过程，主动建构解决问题的策略，可以增加一个分蛋糕的活动。让学生将一大一小两块蛋糕（用两张圆形纸片代替）分别平均分成8份，发现蛋糕的大小不一样，但角度是相同的。再次认识“角的大小相比较的是面积的大小，面积越大，角就越大”的错误想法；同时，让学生体会角和圆是有关系的，为学生今后学习三角形内角和、圆周角、平移旋转等做好承上启下的铺垫。学生在操作的过程中，不仅丰富了感觉、知觉的经验，而且也为相互之间的思维碰撞提供了丰富的资源。动手操作不仅仅是直观、形象的“手指运动”，更是丰富、生动的思维活动，在这一过程中实现操作经验与思考经验、策略性经验的有机融合，帮助学生进一步加深了对角的属性的认识，也就是角的大小和什么有关的理解，积累了丰富的间接经验。

3.及时导学，培养应用经验。

在最后一个活动中，着重培养学生的应用意识，让学生在“用”中积累数学基本活动经验。正是因为在前面的活动中学生对于“角的属性”有了正确的认识，所以才能将其运用到实际的生活问题解决中，认识到角的大小可以服务于我们的生活。实际教学中，探究活动都要求学生有多种经验，有操作的、有探究的，还有思考的，更需要有用数学知识解决问题的应用意识。因此，在教学过程中，教师如果能善于搜集生活中的实例，把生活中的题材引入数学课堂教学之中，去引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，在这种应用味道强烈的实践活动的过程中，积累数学基本活动经验。

总之，我们在课堂教学中，要遵循小学生的年龄认知特点，设计、组织好每一个数学活动，帮助学生在学习过程中经历和体验，这样就能暴露孩子的经验，并且不断提升他们的经验，最终达到经验的应用，从而积累数学基本活动经验。