电磁感应与正弦式交流电综合的新题归纳与解题策略

江苏 祁红菊

在新高考的背景下,将电磁感应与正弦式交变电流这两部分知识进行综合考查的新题型越来越多,此类试题不仅可以考查对感应电动势、感应电流、安培力和正弦式交变电流的产生以及“四值”的应用等重要知识点,还可以考查学生的空间思维能力以及应用数学知识处理物理问题的能力。由于电磁感应和交变电流都是高考必考的章节,因此有必要对这两部分知识进行综合考查的新题型进行深入研究。笔者现对这些试题进行归纳总结,并探索解题策略。

题型1 线圈在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动

该题型是涉及正弦式交变电流产生的常规题型,核心要点有:

1.若计时起点在中性面,则感应电动势瞬时值的表达式为e＝Emsinωt,其中Em＝NBSω;若计时起点在垂直中性面的位置,则感应电动势的瞬时值表达式为e＝Emcosωt。

2.每经过中性面一次,电流方向改变一次,则线圈转动一圈,电流的方向改变两次。

3.在中性面时,穿过线圈的磁通量最大,但此刻磁通量的变化率为零,感应电动势为零;在经过与中性面垂直的位置时,穿过线圈的磁通量为零,但此刻磁通量的变化率最大,感应电动势最大。

除了这些基本的知识点以外,还有以下几点需要强调说明。

①线圈不管是圆形、矩形或其他形状,以上结论均相同。

②只要转轴与磁场垂直,即使轴的位置发生改变,以上结论均相同。

③当磁场或永磁体旋转、线圈静止不动时,以上结论均相同。

④当只有部分线框处于磁场中时,公式中的面积S是线框位于磁场中的有效面积。

【例1】(2022·江苏南通考前模拟·12)如图1所示,矩形线圈abcd匝数为N,总电阻为R,ab边和ad边长分别为L和3L,O、O′为线圈上两点,OO′与cd边平行且与cd边的距离为L,OO′左侧空间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现使线圈绕OO′以角速度ω匀速转动,求:

(1)从图1 位置开始转过60°过程中通过导线截面电荷量q;

图1

(2)线圈在转动一周过程中产生的焦耳热Q。

【解析】(1)设线圈在从图1位置转过60°的过程中产生的电动势的平均值为,经历的时间为Δt,据法拉第电磁感应定律有

其中磁通量的变化量ΔΦ＝2BL2－2BL2cos60°＝BL2

(2)线圈在磁场中转动时产生的电动势随时间变化的规律如图2所示,设ab边、cd边在磁场中转动产生电动势的峰值分别为E1m、E2m,有效值分别为E1、E2,则

图2

【点评】在学习探索情境上,该题与常规题型的明显区别,一是转轴不在矩形线框的中心轴线上;二是磁场为有界磁场,线框只有部分位于磁场内。在一个周期内,有一半的时间是线框的OO′ab部分位于磁场内,另一半时间是线框的OO′cd部分位于磁场内。由于对应的面积不同,故存在两个不同的感应电动势的峰值,但在一个周期内,电流方向仍然改变两次,仍是交变电流。该题考查学生对交变电流产生原理的理解,对学生的审题能力、深层理解能力和分析综合能力有很好的评价作用。

题型2 磁通量随时间按正弦规律变化Φ＝Φmsin(ωt＋φ0)

当穿过线圈的磁通量随时间按正弦规律变化时,一般的解题思路有以下两种:

1.当线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时,穿过线圈的磁通量随时间是按正弦规律变化的,故可将此类题型等同于题型1,感应电动势的峰值Em＝NBSω＝NΦmω。

2.根据感应电动势公式E＝,将磁通量Φ对时间t求导,可得线圈中感应电动势的瞬时值e＝＝＝NΦmωcos(ωt＋φ0),故感应电动势的峰值Em＝NΦmω。

【例2】(2022·苏锡常镇二模·13)如图3所示,为实验室使用的旋转磁极式发电机模型,线圈abcd的匝数N ＝100,内阻r＝4Ω,输出端与理想变压器的原线圈相连,理想变压器原、副线圈的匝数比为n1∶n2＝4∶1,副线圈外接电阻R＝1Ω。转动磁极,线圈abcd内磁场的磁通量的变化规律为。闭合S,求:

图3

(1)线圈产生感应电动势的有效值E;

(2)电阻R中的电流强度I2。

【解析】(1)线圈中感应电动势的瞬时值

【点评】该题最容易出现的错误是,认为变压器原线圈两端的电压U1等于线圈两端的电动势E,忽略了等效电源——线圈是有内阻的,故解题时需注意原线圈两端的电压应该等于等效电源的路端电压。此外,在(2)中也可以利用能量转化和守恒定律得EI1＝I21r＋I22R,而I1＝,联立解得I2＝4A。

题型3 磁感应强度随时间按正弦规律变化B＝Bmsin(ωt＋φ0)

当磁场的磁感应强度随时间按正弦规律变化时,一般有两个解题思路:

1.采用等效法。磁通量Φ＝BS＝BmSsin(ωt＋φ0)＝Φmsin(ωt＋φ0),等效于题型2,得感应电动势的峰值Em＝NΦmω＝NBmsω。

2.利用感生电动势的公式E＝,将B对时间t求导,得感应电动势的瞬时值e＝＝NSBmωcos(ωt＋φ0),感应电动势的峰值Em＝NΦmω＝NBmSω。

【例3】(2022·南通一模·12)图4甲为某同学设计的充电装置示意图,线圈ab匝数为n＝100 匝,面积为S＝10－3m2,匀强磁场方向垂直于线圈平面,磁感应强度随时间按正弦规律变化,如图4乙所示。理想变压器副线圈接充电器,已知额定电压为6V 的充电器恰能正常工作,不计副线圈电阻。求:

图4

(1)线圈ab中的最大感应电动势Em;

(2)变压器原、副线圈匝数比n1∶n2。

【解析】(1)由图乙可知磁场变化周期是T＝0.2s,则

由于线圈内阻不计,故理想变压器原线圈两端电压

【点评】本题是内阻不计的理想电源与理想变压器结合的综合题,难度并不大,但问题设计较为新颖。本题的解题关键是判断出线圈中的感应电流是正弦式交变电流,进而求出感应电动势的峰值。一般来说,利用感生电动势的公式,将磁感应强度对时间求导的方法相对具有普遍性,可以很好地考查学生利用数学工具处理物理问题的能力。

题型4 等效切割长度随时间按正弦规律变化L＝Lmsin(ωt＋φ0)

根据动生电动势的公式e＝NBLv＝NBvLmsin(ωt＋φ0),可知在闭合回路中产生的是正弦式交变电流,动生电动势的峰值Em＝NBLmv。

【例4】如图5所示,OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨,O、C处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示),R1＝4Ω、R2＝8Ω(导轨其他部分电阻不计)。导轨OAC的形状满足方程y＝2sin(单位:m)。磁感应强度B＝0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面。一足够长的金属棒在水平外力F作用下,以恒定的速率v＝5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点,棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直,不计棒的电阻。求:

图5

(1)外力F的最大值;

(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率;

(3)在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。

【解析】(1)由于金属棒匀速运动,则F外＝F安

(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率

(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化

【点评】本题中金属棒的长度并没有变化,但由于金属导轨的形状随x按正弦规律变化,使得金属棒切割磁感线的有效长度也随之按正弦规律变化,且由于金属棒做匀速直线运动,故在闭合电路中产生了正弦式交变电流。本题只要能写出感应电动势的瞬时值表达式,求出电动势的峰值,就可以将问题顺利解决。

题型5 有效切割速度随时间按正弦规律变化v＝vmsin(ωt＋φ0)

根据动生电动势的公式e＝NBLv＝NBLvmsin(ωt＋φ0),可知在闭合回路中产生的是正弦式交变电流,动生电动势的峰值Em＝NBLvm。

【例5】(2022·江苏如皋二模·12)(改编)一种振动发电装置的示意图如图6 甲所示,半径r＝0.10 m、匝数N＝20 的线圈套在永久磁铁槽中,磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图6乙所示),线圈所在位置的磁感应强度大小均为B＝0.20T,线圈的电阻R1＝0.5Ω,它的引出线接有R2＝9.5Ω 的灯泡L。外力推动线圈框架的P端,使线圈的速度v随时间t变化的规律如图6丙所示,已知v取向右为正,不计摩擦和空气阻力。求:

图6

(1)线圈运动过程中产生的最大感应电动势的大小Em;

(2)线圈运动一个周期内,线圈中产生的热量Q;

(3)若已知线圈和手柄的总质量为0.01π2kg,在0～0.5s时间内外力所做的功W。

【解析】(1)因线圈在辐向磁场中做切割磁感线的运动,切割的有效长度L＝2πr

切割的有效速度v＝vmsinωt,其中vm＝m/s,ω＝πrad/s

故线圈中感应电动势的瞬时值

e＝NBLv＝NB·2πr·vmsinωt

感应电动势的峰值Em＝2NBπrvm＝8V

(2)电动势有效值E＝

【点评】本题的主要难点有三个,一是题中的磁场不是匀强电场,而是辐向磁场,但线圈所在处磁场的磁感应强度的大小均相同;二是线圈不在匀强磁场中转动,而是在辐向磁场中做切割磁感线的运动,切割的有效长度为圆形线圈的周长,且N根导线同时切割;三是在(3)中需要利用动能定理或功能关系列出方程解题。本题的综合性很强,对学生的空间思维能力、分析综合能力和对物理规律理解的深入程度都有很好的检测作用。

题型6 磁感应强度随空间按正弦规律变化B＝Bmsin(kx)

磁感应强度随空间按正弦规律变化,但不随时间变化,故此类题型中一般都有部分导体做切割磁感线的运动,此时的电动势是动生电动势。根据E＝NBLv,求得感应电动势的瞬时值e＝NLvBmsinkx,然后将其中的位移x用时间t表示出来,即e＝NLvBmsinωt,故电路中的感应电流为正弦式交变电流,且感应电动势的峰值Em＝NBmLv。

【例6】矩形裸导线框长边的长度为2l,短边的长度为l,在两个短边上均接有阻值为R的电阻,其余部分电阻均不计。导线框的位置如图7所示,线框内的磁场方向及分布情况如图,大小为B＝B0sin。一电阻为R的光滑导体棒AB与短边平行且与长边始终接触良好。起初导体棒位于x＝0处,从t＝0时刻起,导体棒AB在沿x方向的外力的作用下做速度为v的匀速运动。在导体棒AB从x＝0运动到x＝2l的过程中,求:

图7

(1)棒内电流i随时间t变化的关系式;

(2)外力所做的功W;

(3)流过导体棒AB的电荷量。

【解析】(1)在t时刻AB棒所在的横坐标x＝vt

AB棒切割磁感线产生的感应电动势

(2)由(1)中感应电动势的表达式可知,导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电,感应电动势的有效值

在t＝0～(x由0变化到2l)的时间内,通过导体棒AB的电荷量

【点评】虽然此类题型中的磁感应强度随位置按正弦规律变化,但在求对应的动生电动势瞬时值时,仍需要将其转化为随时间的变化关系,然后进行求解。本题(1)中,在判断出导体棒中的感应电流是正弦式交变电流的前提下,也可以利用动生电动势的公式直接求出电动势的峰值Em＝Bmlv＝B0lv;在求解(3)中通过金属棒中的电荷量时,需要利用感应电流的平均值进行计算,此处利用了等效替代法,将此种交变电流等效于线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动的模型,相当于线圈从中性面转过半个周期的过程,很好地考查了学生类比推理、等效替代的高阶思维能力。

【例7】磁悬浮铁路采用直流电机模式获得驱动力的列车(图8所示)可简化为如下情境:固定在列车下端的矩形金属框随车平移;轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场,磁感应强度沿Ox方向按正弦规律分布,最大值为B0,其空间变化周期为2d,整个磁场以速度v1沿Ox方向向前高速匀速平移,列车以速度v2沿Ox方向匀速行驶,且v1＞v2,从而金属框中产生感应电流,该电流受到的安培力即为列车向前行驶的驱动力。设金属框电阻为R,长PQ＝L,宽NP＝d,求:

图8

(1)图9为列车匀速行驶时的某一时刻,设为t＝0 时刻,MN、PQ均处于磁感应强度最大值处,此时金属框内感应电流的大小和方向;

图9

(2)从t＝0 时刻起列车匀速行驶s距离的过程中(s≫d),矩形金属线框产生的焦耳热Q。

【解析】(1)磁场沿x轴方向运动,v1＞v2,以磁场为参考系,金属框相对于磁场向x轴负方向运动,相对运动的速度大小为v1－v2

MN、PQ所在处磁感应强度方向相反,金属框中产生的总电动势为E＝2B0L(v1－v2)

根据右手定则,感应电流方向为N→M→Q→P→N

(2)由题意可知,金属框t＝0时刻所在处的磁感应强度最大。设经过时间t,金属框MN、PQ所在处磁感应强度大小均为B,则有B＝B0cosωt,ω＝

【点评】本题难点有以下几点,一是虽然磁感应强度随空间按正弦规律变化,但磁场是运动的,解题的思路为以磁场为参考系,分析线框相对磁场运动的速度大小以及方向;二是在相对运动的过程中,线框有两条边切割磁感线,要先判断出这两个电动势的方向,进而求出电路中总的电动势;三是能够根据线框所处相对位置的磁感应强度大小,推导出电路中总电动势和电流的瞬时表达式,也可在判断出是正弦式交变电流的前提下直接写出感应电动势或感应电流峰值的表达式。本题情境新颖,设计精妙,能很好地考查学生在新情境中处理实际问题的能力。

结语

本文归纳总结了电磁感应与正弦式交变电流综合的6种题型。从这6种题型可以看出,即使在常规的“题型1”中,也有变化线圈形状、改变转轴的位置、设计有界磁场、将线圈转动变换为磁场(永磁体)转动等多种考查方式。在题型2到题型6中,若要明晰正弦式交变电流的产生过程,就需在采用正确的感应电动势表达式的基础上,推导出电路中感应电动势或感应电流随时间变化的瞬时值表达式,同时在判断出是正弦式交变电流的前提下,也可以直接写出感应电动势峰值的表达式进行答题。在实际教学过程中,教师要在给出指导意见后,引导学生去归纳、总结解题思路和技巧,让学生体悟归纳和总结的优点,感受学习的乐趣,从而提高学生终身学习的能力。