数形结合思想应用于初中数学教学中的作用探讨

◎卢守业(山东省日照市莒县夏庄镇中心初级中学，山东 日照 276514)

数形结合指将数学教育中的“数”与“形”进行结合，本质是将一些晦涩难懂的数学抽象知识用几何图形进行清晰的呈现，把抽象的数学思维与形象思维进行结合，将数学教学中的知识以及定义进行简化，形成相辅相成的数学教学方式.

一、数形结合思想的重要性

初中数学主要由“数”与“形”两个方面构成，这两方面是初中数学的重要组成部分，也是进行数学教育以及研究的重要内容.在初中数学教育中，“数”主要包含了关于物体数量方面的知识，这类知识具有准确性；“形”主要研究外在的直观体现，这类知识具有形象性、直观性.我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微.在数学教学中，将数与形进行结合，能将抽象的数学知识用直观的图像表达出来，并使用数量计算的方式来解决几何知识.这不仅能够充分体现出用“数”进行教学的优势，也能体现出“形”的形象性与直观性.数形结合的最大特点在于，能将单一刻板的数学理论变得趣味化和图形化.一般教师会运用板书或多媒体电子信息设备，为学生进行相关习题的图像展示，以帮助学生直观、形象地理解题目.在初中阶段数学的实际教学中，教师常常在教授几何知识时用数形结合的方法，该方法能够大大提升学生在解题方面的能力，增强学生在数学方面学习的综合质量.

二、数形结合思想在数学教育中的作用

(一)让学生使用数学思维来理解抽象的数学知识，降低学生的学习难度

学生学习数学的基础是理解数学中的各种概念，这也是数学认知的基础以及培养数学思维的重点.初中的数学概念知识晦涩难懂，学生大多不愿主动接触这类知识.学生的学习积极性不足，就会导致数学学习的效率降低，而使用数形结合的教学方法，能够便于学生对这部分知识进行记忆与理解.例如，在进行数轴知识的教学过程中，可以结合现实生活中的杆秤称重以及温度计的温度读取的相关问题来引导学生学习这部分知识.虽然这些内容看起来与数轴没有什么关系，但是从与其相关的数量关系与空间知识上看，它们都有相同的度量起点以及数据的加减方向.数形结合思想也可以培养学生对数学知识的认知与发展，让学生形成数学知识结构，形成数学思维，并将各个知识进行联系形成数学知识网络，从而提高学习质量.

(二)提升学生的解题能力

当前，很多教师都喜欢在教学中引入数形结合思想，根本原因在于数形结合能够将生硬刻板的知识点化难为简，化抽象为具象，所以能很好地帮助学生在学习数学时集中注意力，带动学生在数学方面学习的兴趣和积极性，激发学生在数学方面的空间想象能力与分析能力.在初中阶段的数学教学过程中，数形结合主要表现在三个方面：一是在解答函数、代数、几何类型的习题时，使用数形结合解题手段能够直观地展示习题中的潜在联系，降低解题难度；二是在解答应用类习题时，运用数形结合解题手段能够摆脱干扰项，增强学生对习题的理解；三是在解答方程式、应用函数等习题时，运用数形结合解题手段能够使解题过程更简便，大大提升了学生的解题效率.

(三)培养学生的数学思维能力

在新课改背景下，素质教育侧重于借助日常教学活动加深学生对知识的掌握与理解，并引导学生使用数学知识解决实际问题，这一过程是学生数学学科思维形成的过程.斯托利亚尔说：数学教学的任务是形成和发展那些具有数学思维特点的智力活动结构，并且促进数学的发现.在数学教学中应用数形结合思想，有助于培养学生的发散思维与直觉思维.教师要将数形结合思想渗透在日常教学与实践教学中，潜移默化地培养学生的发散思维与直觉思维，通过数与形的结合，使学生掌握透过问题表面探究问题本质的能力.这样能够显著提升学生的解题能力，使其在解答数学问题时能够从几何形象进行感知，得到某种推想之后，再进行逻辑性的推理与验证.例如，在学习平方差公式和完全平方公式时，可以应用数形结合的方式，结合公式与图像，使学生直观地看到平方差公式，并根据自己的直觉，使用矩形面积割补的方式将公式表示出来.在证明全等三角形时，教师可以应用数形结合思想，将题目中的数据转化为图形，通过生动直观的图形为学生呈现出数学问题，降低数学问题的难度，再辅以教师的适时指导，学生能够快速找到正确的解题思路，实现知识与应用的转化.教师应用数形结合的教学方式，能够为数学知识赋予趣味性，同时能够培养学生的空间想象能力与数学思维能力，使他们学会举一反三，从而在解决实际问题时灵活运用自己所学的知识，实现素质教育的根本目的.

三、数形结合思想在数学教学中的具体运用

(一)有意识地渗透数形结合思想，促进数学教学发展

初中阶段的数学教学内容主要分为两大块，一块是几何，一块是代数，几何重在形态，所以严密性较弱，代数重在数量，所以直观性较弱.因此，教师若能用数形结合将两者进行融合，就能很好地将数学化难为简，化抽象为直观，以此推动学生在数学学习方面的质量提升，促进数学教学的良好发展.

例如，教师可以将数形结合用在有理数方面，让相反数与绝对值形成有机联系，以此帮助学生轻松掌握相关知识点.简单来说，学生对绝对值和相反数的概念常常会混淆，绝对值代表数点和原点间的距离，相反数代表原点两旁两个点到原点距离相同的数值.为此教师可以用数轴进行概念表述，以此帮助学生直观地分辨出绝对值和相反数.

(二)空间与图形中的数形结合

在初中数学教学中，教师在给学生讲授数形结合思想时，要结合学生的实际情况，了解学生掌握的知识内容，从而开展有针对性的教学，以便学生能够全面清楚与掌握数形结合思想的特点以及其在解题中的运用.教师可以从初中数学的空间与图形角度展开教学，为学生介绍数形结合思想.初中数学的新课程标准中删减了大量的几何知识，削弱了以往使用演绎推理的证明方式，也降低了初中几何知识对于证明程序化的要求以及证明的难度.在开展课堂教学时，教师要做好充分的准备，深度挖掘教材与生活中存在的素材，让学生能够将数学知识运用到实际生活中，回归数学教育的本质，发展学生的数学核心素养.例如，教师在教学中可以为学生展示以下例题：“一个图形是由两个正方形连接到一起组成的，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，使用剪刀剪两刀，组成一个新的大正方形，如何进行裁剪？”学生在刚刚接触到题目时，脑海中没有产生相应的图形结构，就会感到无从下手，甚至有的学生会直接放弃这道题目.教师在课堂教学中可以为学生构建这道题目的模型，将抽象的题目转化为具体的模型，以便于学生直观地观察与理解.学生在观察图片时会发现，虽然图形的形状改变了，但是整体图形的面积并没有变.教师可以让学生通过假设小正方形的边长与面积来解题，使学生明确解决问题的关键在于发现图形中的变量以及不变量，这样学生在日后遇到类似的问题时就会主动去寻找题目中的变量与不变量，能够极大地提升学生的解题效率.

又如，在进行课堂教学中，教师可以给学生设置这样的问题：“使用一块16 m的木方来制作一个矩形窗子，将窗子的高度设置为多少米，才能使窗户透进更多的阳光？”学生在生活中可能没有接触过这种现象，有的学生在审题时就会感到迷茫，不知道如何开展解题过程.教师可以为学生展示相关的图片，让学生将抽象的文字转化为具体的图形，让学生能够清楚地理解题目，进而获得解题的思路.

(三)实践活动中引入数形结合，活化认知与应用

大部分初中生已经对基础图形有了一定的了解，能够熟练地使用量角器、直尺等工具绘制出辅助图形.数学是一门工具性学科，与实际生活有着非常密切的关系.解决实际问题时，教师可以带领学生使用数形结合思想提取题目中的关键信息，帮助学生加深对知识点的理解，发挥出数学学科的工具性作用，为未来的学习奠定良好的基础.在实践活动中，教师使用数形结合进行教学，不仅能大大提升学生在数学方面的探究意识，还能够拓宽学生在解题方面的思路，活化学生在数学方面的认知.

四、数形结合思想的教学实践

(一)在应用题中的实践

如例题：“甲与乙同地同向出发，前往距自己50 km的地方，乙先出发1 h，甲每小时走16 km，乙每小时走18 km，甲在走多久之后，两人之间能够相距70 km？”这种类型的题目在初中数学中十分常见，学生审题时往往会把握不好数据之间的关系，导致解题效率较低.针对这种情况，教师可以在黑板上绘制平面直角坐标系，为学生形象地展现甲、乙的行进时间以及距离，之后教师再将学生分组，让学生根据教师绘制的模型深入分析甲、乙两人数据之间的关系.教师也可以让学生根据自己的理解来绘制相关的模型，让学生能够清楚地理解题目中的数据关系.

在运用数形结合思想进行相关教学时，教师必须要牢牢地掌握等价转换以及数形互补的原则.教师在教学指导中要做到数中思形，形中有数，培养学生构造正确的数学思维结构，在课堂上使用几何模型来反映相关的数量信息.

在初中数学教学中，教师很难将数与形完全分离，换句话说，几何问题可以数字化，数字问题也可以几何化，数与形在相应的条件下可以任意地进行转化，彼此之间得到渗透.灵活地使用数形结合来解题可以开阔学生的解题思路，激发学生的数学思维，增强学生的思维逻辑，从而提升学生对题目的分析判断以及推理能力，提升数学素养.在日常的数学教学中，教师应该积极地渗透这种教学方式，让学生做到见形思数，见数想形，培养学生的数学逻辑思维.

(二)在有理数中的实践

有理数是初中数学知识中的重要组成部分，同时是初中数学的重点与难点，这部分知识有着较强的基础性，因此教师在有理数教学中可以渗透数形结合方法，如在讲解有理数时，可以让学生思考有理数的意义.很多教师都习惯使用数轴将有理数具体化地呈现出来，进而将数形结合思想落实到位.应用数形结合思想能够帮助学生理解有理数的意义与相关知识，使用数轴能让学生直观地认识有理数，同时让学生掌握有理数的相关性质，并应用有理数解决各种问题.

在有理数教学中应用数形结合思想，也可以引入一些其他知识，使学生更容易掌握新知识.例如，在求数值大小的题目中，使用常规的解题方法可能会使简单的题目变得复杂.教师在带领学生解题时应用数形结合思想，在数轴上通过点的形式呈现出未定的有理数，绘制完数轴后，题目的答案就显而易见了.在有理数知识教学中，数形结合思想不只能够应用在求数值大小中，对于一些难度较大的题目，也可以应用数形结合思想降低题目难度.例如这道题目：已知抛物线y=(x+1)(x-3a)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求能使△ABC为等腰三角形的抛物线条件.在带领学生解题时，教师可以运用图形转化题目中的已知条件，将题目中的已知条件直观地呈现给学生.首先教师绘制出△ABC，结合题目中“与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点”条件绘制出△ABC，然后带领学生应用相应的知识点逐步推算出计算结果.在计算过程中应用数形结合思想能够提升解题速度，降低题目难度，同时加深学生对相关知识点的掌握程度，使他们在日后再遇到这类题目时能够熟练使用这种解题方式.在初中数学教学中应用数形结合思想能够简化数学问题与数学知识，因此教师要意识到数形结合的重要性，积极地使用这种思想进行教学指导，潜移默化地培养学生的数学思维，充分发挥出数形结合思想在数学教学中的作用与地位.

(三)在几何教学中的实践

以形变数思想是初中数学要求学生掌握的基础思维模式之一，也是学生在学习几何知识、解决几何问题时需要依据的重要理论，更是学生在学习更高层次数学知识时需要打好的基础.在初中数学的几何教学中，教师可以结合几何教学的特点使用数形结合思想，利用图形呈现数字关系.例如，在进行锐角三角函数教学中，教师可结合生活中的实际案例，如应用多媒体设备展示比萨斜塔、三角形的旗子等，引入直角三角形勾股定理的内容，为学生解释说明直角三角形中的三角函数.在学习相似三角形、圆形的性质时，教师也可以应用数形结合思想，带领学生进行思考，提升数学几何教学的效率.

结束语

使用数形结合思想进行教学实践，能够直观地将数学知识体现出来，也便于学生接受.应用该方法可以将不同的知识相结合，在课堂上产生良好的氛围，从而开阔学生的思路，发展学生的数学思维，让学生尝试使用不同的方式解题，实现个体的最优化发展.将数形结合思想应用到具体的数学教学中，可培养学生形成广阔的思维，对学生能力的提升有着十分重要的影响.