模型思想的本质意蕴与教育价值

郑义富

(华南师范大学 教育科学学院， 广东 广州 510631)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确了数学课程培养学生核心素养的总目标，即“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”[1]。“三会”主要对应着数学基本思想中的抽象、推理与模型思想。史宁中先生认为，“数学”就是人类认识世界的一种媒介模型，数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁[2]。而“模型思想”即体现了数学的眼光，又必然运用数学的思维，并且是用特征鲜明的数学语言表达现实世界。可见模型思想的育人主旨与“三会”的育人目标有着高度一致性，学生“模型思想”的获得与发展亦能够充分彰显以“三会”为总目标的核心素养的落实。

但是相比于“抽象思想”与“推理思想”，中小学教师对“模型思想”的认识理解与重视的程度并不理想。近年来国内外相关文献中关于“模型思想”的探讨也不如另二者丰富，“模型思想”的概念界定还不够明晰，对在教学中落实“模型思想”育人目标的方法与策略的研究尚缺乏足够的深度。本文希望通过对模型思想本质内涵及其育人价值的深入剖析，从而更为全面、更为深入地认识模型思想，落实数学核心素养育人目标。

一、模型思想的本质探析

(一)什么是模型

区别于生活中的按实物比例和结构模拟出的“模型”，在讨论“数学模型”与“模型思想”时，“模型”应是一个“科学”用语。而作为科学词汇的“模型”译自法语modele，词源为拉丁语modus——样子，指某一客体(或客体系统)的相对的形状(形象、模式、描述等)，用来表达人关于实物的知道和这些实物之间的关系。有学者将“模型”直接作为一种“模式”来阐述，具体样态可以是客观实物的相似模拟(实物模式)，也可以是真实世界的数学描写(数学模式)，还可以是思想观念的文字表达(语义模式)、客观现实的形象显示(图像模式)以及情感体验的声音抒发(音乐模式)等[3]。

笔者认为，“模型”从其生成过程来看，就是认识、反映、改造客观世界的方法和途径，而当这“方法和途径”有了“边界”，就有了范畴化的区别于它类的形式，并形成了自成体系的创生方式，于是就生成了“模型”。从“学科”角度来看，如同音乐、美术是用韵律或色彩反映人类听觉、视觉感官之美的模型一样，每一门学科就是一类模型，可以是数学意义上的模型，也可以是物理学意义上的模型，还可以是化学意义上的模型等。如给“模型”下个定义，那就是“人对客观事物的性质、特征以及规律、关系的主观反映所进行的抽象了的模拟再现或抽象化的表达形式”。模型的本质就是一种抽象的结果，所要经历的应是由客观实在到思维内在，由简单模拟到复杂分析，由具体方法到一般思想的抽象过程。

(二)什么是“数学模型”

美国学者柯朗和罗宾给出的定义是：所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构[4]。顾泠沅先生则认为，数学模型是数学抽象的结果，是对现实原型的概括反映或模拟，是一种符号模型。数学模型思想方法就是指通过数学模型来解决问题的一种思想方法[5]。史宁中教授认为，数学模型是指“用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。这样的一类问题往往蕴含着某种事物发生的规律性，或者说，蕴含着某种事物发展的必然性。”[6]通俗地说，数学模型借用数学的语言讲述现实世界的故事。数学模型描述的是规律性的、必然性的那些东西，是构建数学与现实世界的桥梁[7]。孔凡哲给数学模型的定义是：“数学模型指根据问题实际和研究对象的特点，为了描述和研究客观现象的运动变化规律，运用数学抽象、概括等方法而形成的，用以反映其内部因素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式，包括数学公式、逻辑准则、具体算法和数学概念。数学模型是数学抽象、概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。”[8]上述专家学者对数学模型的定义虽然切入点不同，但都指出了数学模型的一些基本特征。如数学化的语言、抽象概括的思考方法、指向事物规律和关系的研究、基于现实世界的问题、形成数学式的结构等。

为了有所区分，一般学者还会从广义和狭义两方面对数学模型做出解释。如有学者认为：“从狭义上说，在高等数学中，我们可根据数学的不同分支来对数学模型进行分类。此时，数学模型可分为规划模型、图论、优化模型、概率模型、常微分方程等。事实上，义务教育阶段的数学模型很难以数学分支进行分类。从广义上说，数、方程、空间几何体都可以视为数学模型。”[9]还有学者认为，广义上说，数学中的许多重要概念(如方程、函数等)都可称之为数学模型，正如张奠宙教授指出的，“加、减、乘、除”都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。狭义地说，只有反映特定问题和特定具体事物系统的数学关系结构，方可以构成数学模型，而且这类数学模型大致可分为两类：一类是描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等；另一类是描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。也就是说，按通行的、比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定具体事物系统和数学关系的结构，才叫作数学模型。模型是联系现实世界与数学世界、数学与其他学科之间的一座必不可少的桥梁和纽带[10]。

但笔者并不赞同将数学模型进行广义与狭义的划分，一方面这种划分难以清楚划定“界限”；另一方面，各种划分也是不一而足，容易造成混淆，特别是不利于中小学教师对数学模型的认识与把握。但笔者赞同将数学模型对应于不同学段进行描述性定义。如史宁中教授认为，在小学阶段，数学模型则是“根据已有的实际问题，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，以及各种图表、图形等都是数学模型，即我们所说的数学模型是与实际问题紧密联系的”[11]。

基于对“数学模型”相关文献的学习，结合自身教学实践中的思考，笔者认为，正如模型的本质就是一种抽象，数学模型的本质就应该是一种抽象的数学结构。“数学模型”须是经历数学的抽象、数学的推理、采用数学的符号，解决数学化了的问题。因此，“数学模型”也就是数学化的模拟再现或数学化的表达形式。所谓“数学化”，即采用数学特有的语言(数与符号、式与图形等形式)，对数学视角的客观世界(本质、特征、规律、关系等)，进行数学式的探究(通过直观、抽象、推理或数量刻画、数据分析等方法)，形成数学化的表达(抽象概念，数学定义、定理，关系式、图式结构等)，从而解决相应的实际问题，并能便捷地运用到类似问题的解决中，且为数学本身的发展提供成果和动力。

(三)什么是模型思想

史宁中教授认为，模型思想是用数学的概念和原理描述现实世界过程中所依赖的那些思想[12]，即“能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想”。掌握模型思想就是，把握现实世界中一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型。简而言之，模型思想就是用数学的语言讲述现实世界的故事；数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，借助数学模型使数学回归于现实世界[13]。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中明确要求“要使学生初步形成模型思想”，并指出：“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”[14]。新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》[15]中，则以“三会”的表述形式揭示“数学思想”的重要意义和价值，并根据不同学段分别作以表述。模型思想落在小学阶段的任务与表现即为“模型意识”，初中阶段则为“模型观念”，高中阶段就是“建模能力”。“分段表述”充分体现出核心素养导向下学生模型思想的获得与发展的一致性、阶段性与整体性。

笔者认为，模型思想虽立足于“模型”，但侧重在“思想”，“数学的模型”是“壳”，“模型的思想”才是“灵魂”。因此，笔者所理解的模型思想，应是能动地运用或创造“模型”去探究客观世界并解决实际问题的意识、观念与能力的综合性的主观体现。所运用或创造的“模型”并不局限于数学模型，但作为抽象化反映客观现实世界的“数学模型”显然是最能完美刻画对象且广受人们青睐的“模型”。“模型思想”作为思想的荟萃，不可能局限于一种形态，它既是一种观察、认识、反映并改造客观世界的方法和手段，也是经由这种方法和手段认识并改造客观世界的最终成果；既是数学学科大厦建构赖以支撑的思想根基，也是学生数学学习所必需的知识和能力；既是解决数学问题的成功手段与参考案例，又是解决现实生活问题的科学且高效的不二法门；既是教师教学中所秉持的育人理念，也是学生核心素养的主要体现。其所彰显的特性，是知识性的，更是思想性的；是应用性的，更是创造性的；是历史性的，更是面向未来的！

二、模型思想的教育价值

每一处数学知识的教学其实都是对一种“模型”的探究与感悟。“模型思想”在中小学具有极其重要的育人价值和深远教育意义。

(一)坚定落实立德树人根本任务

新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》所遵循的课程理念是：“以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务。”模型思想方法的教学要落实立德树人根本任务必须要让教育过程呈现出勃勃生机，要能在对模型思想本质探究以及知识论、方法论、认识论等多种视角全面辨析的基础上深入扎实开展教育教学活动，力求能在学生的心中播下“创新精神、应用精神、理性精神”的种子，培育学生树立起面向未来的人生观、价值观，为探索未来世界积蓄力量。

(二)形成和发展数学核心素养

《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确提出：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。”义务教育阶段数学新课标将课程总目标定位为落实核心素养导向的“三会”。史宁中教授认为，在数学的教学中，让学生了解数学模型特别是了解数学模型的形成过程是非常重要的，因为在这个过程中，可以让学生体会如何通过数学的“眼睛”来观察和分析现实世界中的一些事情，利用数学的“语言”来描述和分析这些事情[16]。而且模型构造的过程也必然经历了“用数学的思维思考”。由此可见，模型思想的教学能够也必然要肩负着落实“三会”的数学核心素养培育的重任。正如曹培英所指出：“数学基本思想承载了独特的、鲜明的学科育人价值，可教、可学，是名副其实的学科核心素养。”[17]

(三)培育面向未来的数学能力

很难想象人类社会发展史上如果缺少“数学”这一主要推动力量会是怎样，科学家考特(N.A.Court)这样赞誉数学的贡献，“数学是人类智慧王冠上的明珠”[18]。纵观数学发展史、科技发展史都可以充分地说明这一点。进入21世纪，数学新思潮更是不断涌现。数学思想方法几乎渗透到社会生活的方方面面，文化、教育、医疗，甚至饮食与天气等无不有数学工具的应用在发挥着关键作用。金融、互联网、大数据、人工智能、航空航天等领域中的复杂模型系统和全新建模分析更是俯拾皆是。正如数学家布克(R.C.Buck)所指出的，“模型是所有数学应用的心脏，也是某些最抽象的纯数学的核心”[19]。

数学漫长的发展历程结出了难以想象的丰厚的智慧成果，但是，今天的数学教育决不能只是面向数学过去的辉煌，只是竭尽全力地要学习掌握前人的思想成果，这既办不到也没必要。当然也不能仅仅面向当下，一味地“走进生活去应用”，却忘记了数学的高贵之处来自其“脱离”生活表面现象的“抽象”的魅力。数学，数学人，数学教育必须旗帜鲜明地面向未来。“我们必须留心数学明日会是什么，数学对未来的渗透力不仅具有广度，而且具有深度。科学和技术的巨大发展主要的是由于数学的当下的发展。”[20]而面向未来的数学教育要担起“立德树人”、发展数学核心素养的根本任务，也要当仁不让地担负起培养学生面向未来的关键能力。“模型思想”教学则在培养学生“直观洞察能力、发散想象能力、猜想验证能力、抽象推理能力、综合应用能力”等方面具备得天独厚的优势。

1.直观洞察能力。“数学模型”绝不会凭空而现，它一定是基于人对生活的有意识有方法的、全面的观察与深入的理解。引导学生“发现问题与提出问题”就是在培养学生直观洞察能力，促进学生洞察事物本质、抓住事物间主要关系的思维发展，学会用数学的眼光观察世界。

2.发散想象能力。无论是生活中观察到的“现象”，或是人类自身创造的“情境”，都不会是简单的“表面”现象所能涵盖，它们有着太多丰富的隐含“密码”，需要我们自由大胆地想象，并尽可能地将思维广度与深度进行“发散”，在充分的想象与发散的过程中抓住那一闪即逝的“灵感和直觉”，获得打开智慧大门的钥匙。

3.猜想验证能力。没有猜想就没有一切，没有验证就没有真实的一切。数学家说，“让我们教猜想吧”。前文“提出问题、问题具化”的模型构造环节就是指向“猜想”。只有产生“猜想和假设”才算开启“模型构造”的真正历程。尽管这些“猜想和假设”大部分没有开花结果，但“猜想”本身已是弥足珍贵。试问有哪一个伟大的数学思想不是由看似不起眼的“猜想”的种子奋力生长而至成为枝繁叶茂的思想大树？在这奋力成长的过程中，必然缺少不了不断地“检验与修正”，正是这一次次地验证和不断地调整，才能为“真理”的生成保驾护航。

4.抽象推理能力。模型在本质上就是抽象。模型构造的过程中，抽象模拟、一一对应、分类列举、数量刻画、多元表征都是抽象思考的具体体现。没有抽象，生活只是生活；有了抽象，生活现象就得到了数学的升华。推理是进一步的抽象，是抽象的组合与关联。模型构造中问题的提出、关系的分析、规律的探究、逻辑的验证都是推理的过程。没有推理，猜想只是猜想，问题依然是问题。有了推理，猜想就有了验证的途径，问题就有了解决的办法。模型是更深入的抽象，也是模式化的推理，抽象和推理如果不以模型做成果，还有什么可让其充满“生命力”呢？数学模型蕴含着抽象与推理所彰显的数学理性，更诠释真善美的追求的统一。模型思想的教学，就是在润物细无声地培育着学生抽象与推理的能力。

5.综合应用能力。“综合”是模型思想的重要特征之一，无论是其形成阶段或是应用阶段，都充分体现了广泛的综合性。而现实“应用”则是模型思想的使命和归宿。史宁中教授指出，数学模型的价值取向不是数学本身，而是描述现实世界所期待的作用。数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事[21]。数学模型广泛应用于科学研究和社会生活各个领域。模型方法是集理论研究、自然研究、社会研究各种领域的综合性的研究方法。顾泠沅与邵光华等学者指出：“通过数学模型方法的学习能够促进学生了解数学与其他学科及日常生活的相互联系，深刻领悟数学的应用价值，培养数学应用意识和能力；激发学习兴趣，形成良好情感态度以及全面的数学价值观。”[22]

6.创新创造能力。有研究者认为：“数学模型就是在数学的帮助下解决复杂而现实的问题”[23]。而“复杂”问题的解决方法和途径往往是创新的思想和创造的手段。创新创造能力是不折不扣的面向未来的能力，更是改造世界推进人类发展的最关键的动力。模型思想的教学虽然少不了要学习前人的数学模型成果，但其根本宗旨却一定不是为了向这些已有的“成果”膜拜，而是学习并积蓄创建新思路、创造新模型的强大力量。也正因此，笔者特别强调在数学教学中尤其要注重模型建构“前”的“创生”的过程。相比完美的模型“成品”，模型构建前的思考和工作更有价值。要让学生清楚，解决问题不是宗旨，试图能够找到让别人也能够解决同类问题的通用的方法才有价值，如果在解决问题时创造出新的思路、方法、模型，那价值必然更高，而在探索的历程中培育了创新意识、树立了创新思想、扎根了创新精神则最为可贵！

数学家考特说：“数学不但给了人类以利用自然的技术工具，不仅提供了一个伟大的、无与伦比的、充满了智慧美与享受的宝库，而且它还使人类对其自身及其命运充满信心，给人类以希望。鼓励其进一步斗争，争取更好的、更高尚的和更加美的生活。”[24]模型思想的教学也应立足于担当促进人类进步的使命，遵循教育教学规律，落实核心素养。在落实素养过程中要注重整体性、一致性、阶段性。其中小学阶段注重“模型意识”的培养，初中阶段注重“模型观念”的形成，高中阶段注重“数学建模”能力的培养。而无论哪个学段，都应明确：数学模型思想的教学需要教授模型知识与建模技能，但教学目标绝不仅仅是为了掌握模型知识技能；我们还需要通过模型知识技能的传授习得模型思考方法和策略，更需要在模型方法和策略的实践中获得创新创造的能力。最终，我们要能够使学生获得良好的数学核心素养，深植必需的数学模型思想，树立科学理性精神，帮助学生发展成为人格完善的全面和谐发展的人。