基于问题学习 发展数学素养——以“三角形的稳定性”的教学为例

江苏省南京市永泰路小学 陈 春

基于问题的学习（Problem-Based Learning，以下简称PBL）是以现实世界的问题为中心、以学生为主体的教学方式。PBL教学注重将数学知识与生活实践相联系，基于实际问题围绕某个较复杂的专题进行问题的提出，让学生以小组讨论的形式主动探究并解决问题。充分发挥PBL的价值，基于PBL理念进行设计与教学，有助于更好地促进学生数学核心素养的发展。

一、课前思考

对于三角形的稳定性，如果没有抓住本质，缺乏探究体验，只是通过联系现实生活举例或做三角形框架拉一拉，学生会片面地理解成坚固性。PBL教学注重联系现实生活情境，在情境中主动发现并提出问题，借助相关的学习支架通过合作探究解决问题，引导学生积极思考、合作交流、质疑表达，深刻理解知识的本质特征，提升学习能力。基于这样的思考，笔者将PBL教学法运用于“三角形的稳定性”一课的教与学。

二、课中实践

（一）创设情境，动手实践，提出问题

1.创设情境

出示问题：学校花坛里的小幼苗非常脆弱，为了保护幼苗，需要在花坛周围扎一段篱笆，如何稳固枝条才能使篱笆结实呢?

2.动手操作

师：请同学们用准备好的材料模拟扎篱笆，比一比哪个小组扎得更结实。学生借助木条和细线进行操作，组内分工合作。

3.提出问题

师：通过操作实践，大家认为扎成三角形更结实，生活中还有哪些地方有类似的现象？为什么这些地方要设计成三角形结构呢？

分析与说明：“问题”是PBL教学的主要载体和媒介。联系学生的现实生活创设问题情境，一方面激发了学生积极思考与动手实践解决问题的兴趣，另一方面使学生在观察、操作、交流等活动中创造出不同的三角形，引出对三角形稳定性的思考与探究。

（二）自主探究，对话质疑，分析问题

1.提出探究话题

师：三角形的稳定性指的是什么？

学生带着思考寻找答案，自学教材“你知道吗？”部分。

2.举例分析

师（出示）：三角形具有稳定性，也就是当一个三角形三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就不会改变。

师（提问）：与你们之前想的一样吗？怎样理解三角形的稳定性呢？

举例：小军和小林都用3厘米、5厘米、7厘米的三根小棒摆了一个三角形，这两个三角形（ ）。

A．形状相同，大小不相等 B.形状相同，大小相等C. 形状不同，大小不相等 D.形状不同，大小相等

3.对话质疑

师：三角形的稳定性这个结论正确吗？

学生小组讨论，全班交流，明确通过操作来验证。

分析与说明：学生在“什么是三角形的稳定性”这一问题的驱动下，主动思考并寻找答案，与自己的理解进行比较。举例中的选择题既是对三角形稳定性概念的进一步分析，又为下面合作验证三角形的稳定性指明了思考的方向，引导学生主动发现问题、分析问题。紧接着，教师抛出问题“这个结论是否正确呢”引发了学生的批判性思考，并尝试通过操作验证来帮助解决问题。

（三）动手操作，合作验证，解决问题

1.学生依托学具进行自主操作

材料一为4厘米、5厘米、6厘米长的小棒各1根；材料二为6厘米、8厘米、10厘米长的小棒各1根；材料三为5厘米、6厘米、10厘米长的小棒各1根。每个学生选择一组材料拼成一个三角形。

2.小组合作，比较辨析

学生在小组内将拼成的三角形进行比较，结合作品说说自己的发现。

3.分类展示，得出结论

（1）以小组为单位进行汇报展示，将每组材料搭成的三角形挂到黑板上展示，同时思考：自己拼的是什么三角形？（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）

（2）比一比，每一类三角形分别有什么共同的特征？（形状相同，大小相等）

（3）用集合图表示所有的三角形，归纳概括，得出结论。

分析与说明：学生先独立操作，再以小组合作的形式进行观察、比较、分析等活动，围绕“三角形的稳定性是否成立”这一问题进行主动探究，不同的操作材料给学生提供了深度自主、合作学习的空间。在展示分享过程中，学生直观地感受到只要三角形三边长度相等，拼成的三角形不仅形状相同，大小也相等。最后，学生通过分类与集合的方法进行归纳，从而验证了三角形的稳定性这一结论的正确性。

（四）再提新问，启发想象，辩论拓展

1.比较辨析，深度理解

（1）出示木条钉成的三角形和四边形框架。

操作：拉一拉木条钉成的三角形和四边形。

提问：你有什么发现？四边形具有稳定性吗？

学生分小组进行操作验证。材料为4厘米、5厘米、8厘米、10厘米长的小棒各1根，拼成一个四边形。然后，学生分组展示，比较后发现：当一个四边形四条边的长度确定后，这个四边形的形状和大小会发生改变，说明四边形不具有稳定性。

（2）出示木条钉成的四边形和钢条焊接成的四边形框架。

操作：拉一拉木条钉成的四边形和钢条焊接成的四边形框架。

提问：通过这两个四边形框架的操作，我们知道钢条焊接成的四边形不容易拉动，是不是说明四边形也具有稳定性呢？

学生思考后全班交流讨论，明确稳定性与坚固性的区别。

（3）出示铰链，了解链式多边形。学生发现除了三角形外，其他多边形都不具有稳定性。

2.解决问题，启发想象

（1）出示问题：小军用8厘米、5厘米、4厘米长的三根小棒摆了一个三角形，如果我们要再摆一个形状和大小都和小军摆的完全相同的三角形，那么，我们设计的三根小棒的长度有什么要求？

教师引导学生根据三角形的稳定性进行判断。

（2）想象：如果想要用8厘米、5厘米、3厘米长的三根小棒摆一个三角形，可以吗？用8厘米、5厘米、2厘米长的三根小棒呢？

让学生先想象，再自由表达自己的想法，发现这样不能摆成三角形，然后利用多媒体进行动画演示。

3.辩论交流，拓展提高

（1）小军的观点：通过研究，我们发现多边形中只有三角形具有稳定性，三角形真是太好了，那我们生活中还用其他多边形干什么呢？干脆都用三角形算了！你的观点呢？

让学生自由表达，说出自己的观点与想法，并联系生活实际举例说明。

（2）出示不同多边形在实际生活中应用的例子。

让学生谈谈自己的体会，教师相机小结：物尽其用，人尽其才。

分析与说明：通过三角形与四边形木条框架的比较，结合操作验证，促进学生深度理解三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性的本质。又通过木条钉成的四边形框架和钢条焊接的四边形框架进行比较，明晰了稳定性与坚固性的区别；结合链式多边形的了解，类推出其他多边形都不具有稳定性。根据形状相同、大小相等的三角形来分析判断三边长度相等，是运用三角形的稳定性来解决问题，又通过变化三角形三边的长度引发学生想象，发展了学生的空间观念。在最后一个小小的辩论环节，让学生体会到三角形和其他多边形在现实生活中不同的地方都分别有着广泛的应用，通过“物尽其用，人尽其才”这句话进行总结与升华，使学生实现了从知识到能力、从能力到素养的提升。

三、课后感悟

上述以基于现实情境提出问题、基于支架的自主实践、基于核心任务的合作探究、基于对话的批判反思为特点的课堂教学实践，着力培养和发展学生的“四基” “四能”及高阶思维能力，从而有效提升了学生的数学学科核心素养。

（一）在实践探究、主动建构的过程中渗透数学基本思想，积累活动经验

学生自主选择不同的学习材料进行操作实践，将拼成的三角形分别进行展示与比较，从而通过分类与集合、归纳与概括，验证了三角形的稳定性。又通过“小军用8厘米、5厘米、4厘米长的三根小棒摆了一个三角形，如果我们要再摆一个形状和大小都和小军摆的完全相同的三角形，那么我们对三根小棒的长度有什么要求？”用这样一道练习题及其变式题，让学生进行思考与判断，这既是对三角形的稳定性的进一步理解与应用，又培养了学生的想象力与推理能力。在探究三角形稳定性的一系列活动中，学生带着问题与思考去操作实践，在操作与实践中主动思考，逐步深刻理解了知识本质，积累了探究与思考的活动经验，同时也渗透了数学思想方法。

（二）在经历发现与提出问题、分析与解决问题的过程中提升“四能”水平

课的开始在创设现实情境中让学生进行动手实践，引发学生对问题“三角形的稳定性”的思考；紧接着通过自主探究，对“什么是三角形的稳定性”进行举例分析、质疑反思；然后利用多样化的操作材料，通过动手操作、合作交流来验证三角形稳定性的结论是正确的；最后提问“四边形也具有稳定性吗？”让学生在操作与比较、想象与辩论的过程中深刻理解三角形的稳定性、四边形不具有稳定性的本质。整个探究学习过程紧紧围绕“什么是三角形的稳定性”这个核心主题，让学生充分且完整地经历了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程。在探究过程中，以情境为源泉，以问题为纽带，以思考为主线，引领学生主动思考、合作交流、自主建构，促进了学生“四能”水平的提升。

（三）在批判性思考、协作对话的过程中深度理解本质，发展高阶思维能力

发展高阶思维能力是培养学生关键能力的核心，也是发展学生数学核心素养的重要组成部分。深度理解与分析、深度批判与建构、深度迁移与创造是高阶思维能力的重要特征。教师基于PBL的数学教学特性，从现实的生活原型出发，联系具体的教学内容，创设了为保护幼苗怎样用枝条扎篱笆更结实的问题情境。学生在真实情境中积极动手实践，从而引发了对三角形稳定性的思考。这时，学生对于三角形的稳定性只是一个肤浅的感知，教师通过“三角形的稳定性是什么”这一问题引领学生主动去寻找答案，并让学生通过一道选择题进一步分析，并与自己的理解进行比较。同时，教师提问质疑，引导学生进行批判性思考。最后，学生通过操作三角形与四边形木条框架、木条钉成的四边形框架和钢条焊接的四边形框架，在操作的过程中有了深刻的体验，在不同角度的对比中有了深入的辨析，从而促进了对三角形稳定性的本质的深度理解，同时迁移类推出其他多边形都不具有稳定性，并且在辩论中联系生活实际，切实感受到三角形和多边形的用途，将“物尽其用，人尽其才”的道理铭记于心。在深刻理解三角形稳定性的过程中，教师以问题促进学生的批判性思考，加强了师生、生生之间的深度对话交流，以具有高阶思维导向的挑战性任务进一步拓展了学生的思维，促进了学生对三角形的深度认识与建构。