小学数学教学中数学推理的理论和实践

朱 莹

(江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校 江苏 宿迁 223800)

数学推理是数学学习的核心，然而对推理的定义和数学推理的形式有许多不同的看法。首先分析了理解数学推理的4种不同视角，涵盖结果视角、过程视角、结构视角、模仿与创造视角。在此基础上，以小学阶段代数、比例和空间3个内容为例，对数学推理能力在其中的具体体现和相关的推理教学进行了分析。教师可通过在教学中设计创造性的推理任务以及鼓励学生解释与表达等方式促进数学推理在课堂教学中的落实。

1.理解数学推理

什么是推理。推理是人们学习和生活中经常使用的思维方式，也是数学的基本思维方式。不同学者对推理有不同的看法，总的来说，推理与论证、推断、思考有紧密的联系但又有不同。这里借鉴哲学家图尔与教育心理学家莫什曼的观点，来辨析这些与推理相似的概念，希望能为广大研究者理解课堂中的推理教学，特别是数学推理提供一些参照。图尔明认为推理的重要特点在于其社会性。具体而言，个体本身及其所处环境的差异会造成观点与判断标准的不同，某一群体中“不证自明”的观点并非适用于另一个群体，而推理便是人们在交流中为支持与维护某个主张而批判地检验与筛选观点的过程。图尔明关于推理的定义主要强调个人在推理活动中所处的情境和人际间的互动，注重考虑逻辑结构的完整性和正确性，对学科知识的正确性涉及较少，其论证模式常常被用作分析学生论证的评价标准。教育心理学家莫什曼则从认知心理学的视角对发展推理所需要的能力进行探讨，他认为推断和思考是推理能力发展的前提。推断是最为基本与普遍的行为之一，例如婴儿时期根据声音推断物体的位置、从成人的面部表情推断其情感，在日常的对话、阅读等活动中都离不开推断。思考则是有意识、有目的地运用推断解决问题、做出决定、判断与计划等，是个体认识与控制自己认知过程的能力，即原认知能力的体现。在具备推断与思考能力的基础上，个体进行推理还要能够将推论与意图同适当的推论准则相结合，莫什曼称之为知识认知、认知心理学视角对推理的理解，凸显个体的认知能力，以及程序与规则在推理中的必要性。以上从哲学和心理学层面关于推理的分析，指出了推理的内涵和特点。这些观点既重视推理的主要成分和逻辑结构，也强调个体在推理活动中的心理历程。课堂教学是涉及人的活动，师生与学生间互动和交流是培养推理的重要方面，它不仅仅是具有个人特质的行为，更是由一系列集体性的实践和准则所构成的活动。因此，数学课堂中进行推理的教学，需要了解推理中涉及与学科知识相关的主张或结论、资料，以及理由或论据，在关注学生个体的心理历程前提下，多鼓励学生进行推断和思考，同时也考虑推理过程中逻辑结构的完整性和正确性。下面结合数学学科的具体内容分析数学推理的特点。

2.理解数学推理的3种视角

在现有关于数学推理的研究中，存在多种类别的划分方式，而不同类别与表述的背后所反映出来的实际是研究者对数学推理不同方面的关注。例如，在课堂教学中应将推理视为数学学习结果还是学习过程本身？推理教学应着重于不同推理结构的理解，还是关注推理策略得到的方式？下面将结合前文中提出的逻辑结构与心理特征两个方面对数学推理的界定从3个不同的视角进行分析和总结。

视角1：结果视角，这一视角更关注推理中的逻辑结构，着重推理所产出的结果，将推理视为在任务解决过程中形成主张并得出结论的一系列想法，强调推理所产生的新知识与新成果。这种看法并非否定推理的过程性，更多是出于对观察与分析便利的考虑，从结果的视角来定义数学推理，看重学生思考分析、解决问题的结果。

视角2：结构性视角，侧重在推理中如何从主张走向结论，着重描述构成推理逻辑结构的各个要素及其相互关系，据此也有公认的3种推理形式，它们是演绎)推理、归纳(inductive)推理和溯因推理。演绎推理和归纳推理是较为熟悉的类型。中国《义务教育数学课程标准(2011年版)》将数学推理是划分为合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等手段推断某些结果；演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。最新修订的《普通高中课程标准》中进一步指出，逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。演绎推理被视为唯一一类能够得到确定结论的推理，也是数学教学中常常涉及的一种推理形式。而归纳推理在实践中更多表现为对规律的找寻，通过猜想、寻找模式等提出一个具有一般性的结果。

视角3：模仿和创造性推理。较之前3种视角，利特纳提出的模仿与创造性推理更加聚焦于推理策略得到的方式，也就是更关注推理中个体经历的心理过程。模仿推理是指通过回想或效仿某些既定程序而进行的机械推理，主要包括记忆推理和算法推理两类。当学生进行记忆推理时，问题解决策略的选择是基于对一个完整答案的回忆，而策略的实施仅仅是将回忆出的答案抄写下来。此类推理在数学教学中也十分常见：学生将背诵的证明或解题步骤套用于新问题中；也会因“之前的题目有(没有)这样的答案”等理由而选择(拒绝)某种作法。模仿推理中另一类是算法推理，这里的算法并非仅指计算中的步骤或方法，而是泛指一切预先制定的程序。学生在进行算法推理时，会对全部已知的策略进行筛选，在预测不同策略的可能结果后作出选择，策略的实施等其余推理环节对于推理者则不太重要，除非由于粗心所造成的计算错误，否则一定会得到正确答案。换而言之，识别与选择合适的程序是算法推理中的关键与主要任务。不同于传统的演绎推理和归纳推理划分，着重于推理逻辑结构的各个要素及其相互关系，利特纳所提出的推理类型更关注学生个体在推理中的心理历程，为理解数学推理提供了新的视角，特别是帮助理解学生数学问题解决的过程，比如透过分析学生的推理过程，可以知道学生在问题解决过程中的策略和答案究竟是来源于对问题内容的分析、比较等，还是仅仅是基于回忆与猜测。总的来说，尽管研究中存在对数学推理的不同理解，但还是脱离不开图尔明提到的推理结构中的各个要素及其相互关系。不同视角下的推理类型只是更强调这一逻辑结构的某些部分，这些不同的理解会有助于研究者从不同角度培养学生的数学推理能力。例如，重视过程视角的数学推理促使教师关注推理所包含的具体环节，重视结构视角的数学推理为教师设计与选择教学任务提供依据，重视模仿与创造性推理，则能帮助教师对教学活动中学生的数学推理进行诊断和分析。

3.小学数学教学中数学推理的体现

从理论层面对推理的概念进行分析后，不难发现，数学推理作为一种思维方式贯穿于数学学习活动的全过程。因此，教师并非只有在特定的数学内容或特定的教学环节才适合培养学生的数学推理能力。不过也应看到，对于不同的学习内容，数学推理的表现形式确有不同。故此，结合国内外的相关研究，对学校数学教学中的代数推理、比例推理和空间推理3种常见的数学推理的特点进行介绍，并结合具体的例子为教师如何进行数学推理教学提供参考。

3.1 代数推理。代数推理往往涉及到对数学结构的探索，而这是进行一切数学思考的基础，而且代数推理也渗透于日常生活的方方面面，诸如购物中对商品的比较，驾车时对行驶时间的估计，等等。另外，从小学数学学习到中学的一个明显转变就是正式开始代数学习，这一转换对于大多数学生而言往往是十分困难的．研究表明，在小学阶段有意识地培养学生代数推理能力能够为学生实现这一转换提供相应的支持。代数推理可以视作是对具体的数字与计算进行概括，将所得到的结论用有意义的数学符号进行表达，并对所得到的模式进行探索。简而言之，寻找、识别概括与运用潜在的数学结构构成了代数推理的几个重要方面。其中，数学结构既可以指代广义的群、环、域等课题，也包括由具体运算所抽象出的结构、规则和一般化的算理等。这里主要基于后者对数学结构的定义对小学阶段的代数推理进行分析。小学阶段的代数推理主要体现在理解符号的意义与数字的不同属性，明晰加减乘除运算中的算理等。代数推理的核心是用符号表示出概括的结构，但在正式的学习中，代数通常是以预定的规则语法和符号语言呈现，供学生记忆，学生几乎没有对符号意义及其规则进行探索与表达的机会。那么要如何渗透代数推理？举例来说，在早期数学学习中，教师可采用实物或鼓励学生使用自己“创造”的非正式符号表示算术属性，如“★+★=2×★”，并对其中的关系进行陈述与解释。同样，教师也可通过引导学生考虑奇数、偶数不同组合相加后所得结果的奇偶性，以促使学生从关注“和”的多少，到对“和”的不同属性进行代数思考。类似的例子还包括探索加法交换律与乘法交换律等。学生在这一过程中进行猜想、比较与归纳等，在形成意义理解的同时也提高升了推理能力。再如教学8的乘法口诀，如果只是简单引入口诀，然后请学生通过背的方式记忆口诀再应用到问题解决中，那么学生就只是在应用简单的模仿推理。而如果将教学的过程丰富起来，引导学生思考并交流讨论，提出诸如“八八六十四”这句口诀是怎么来的这样的问题，学生就可能提出：(1)8×4=32(4个8相加)，那么8×8=64(8个8相加，就是4个8相加的翻倍)；(2)8×3=24(3个8相加)，8×5=40(5个8相加)，合起来就是8×8=64(8个8相加)等不同的思路，如果从过程的角度来看待这段教学，学生就是在经历“通过与自我对话或与他人进行对话，而从一个数学观点推断出另一个数学观点的过程”，这一过程中恰恰可以体现学生对内容的“比较与分析”，创造性地解决问题。此外，“找规律”的形数问题也是代数领域推理能力的体现。小学阶段可通过提供有一定规律的视觉图片为学生提供探索与建立数量间的关系的机会。例如，图4左边是一种重复变化模式，为低年级学生创造了一种简单的递归模式，体验初步的模式分析与预测的推理过程；图4右边则属增长变化模式，可以用以引导学生从关注“每次增加2浅灰色砖”的数量变化到提炼出图形序号同砖块数之间的关系，并对任何序号下的砖块数量进行预测。这一过程也能为将来中学阶段的函数思想的形成奠定基础。

3.2 巧妙转化数学语言，完善学生推理能力。启发性教学，不仅仅是思维的启发，还在于语言的启发。考虑到这一点，教师可以有效地将数学问题和知识点转化为数学语言，融入课堂课程，激发学生在练习后进行语言表达。例如，在传授“三角形的面积”内容时，老师在课上提出的第一个问题是：“我怎样才能找到平行四边形面积的公式？”还要记住平行四边形面积的公式。之后，老师利用多媒体将两个大小相同的三角形分成了一个平行四边形。通过这个，学生们讨论了“这两个三角形之间的关系”，这是平行四边形的基础。而地球的高和高与三角形的高低又是什么关系呢？“区域公式是什么？”在反思的过程中，学生将图形知识用语言表达出来，在演示的过程中，自主推理出三角形的面积公式。

3.3 猜想求证培养学生推理能力。由于小学生推理能力的发展不是一蹴而就的，因此教师在教授推理能力时必须要有耐心，让学生有足够的时间和空间去思考和提高。此外，教师应注重实施教学方法和策略。可以将学生组织成小组，实施公开的小组教学方式，让小学生大胆预测，敢于掌控小组合作的意识形态。并进行讨论，不断改进。例如，老师研究学生的一门课：“如果三角形的一边长5厘米，另一边长6厘米，那么第三边是多少厘米？”这道题目的学习时，就可以让学生结合教材中所学的“三角形任意两条边的边长之和大于第三边、任意两条边之差小于第三边”的定理进行合理推算。然后，老师将学生带到教室里，让小组分享和测试他们的假设。进而让学生能够在思维碰撞和多向交流中对三角形的相关知识有深入的了解。