多元化思维在中职数学解题中的有效应用

福建省三明工贸学校 肖青华

多元化思维是与单一化思维相对的一种思维方式，强调引导学习者从不同角度、不同方面分析问题，让学习者可以探索出更多有效的解题思路，进而从中选择最优解题方案。中职数学教师要将问题教学活动作为多元化思维强化训练的主阵地，根据数学问题属性，有目的性地指导学生运用多种数学思想方法分析和解决数学问题，促使学生碰撞出数学解题学习的思维火花，提高学生数学知识理解应用的深刻性和综合性，进而优化学生数学学科学习效果，推动学生数学学科多元思维能力成长发展。

一、逆向思维，启动生本思维引擎

逆向思维是指学生从问题的相反面探索数学知识本质属性和数学问题解决方案。教师要组织开展求异分析活动及逆向联想活动，引导学生从正向、逆向两个思维路径展开问题分析，激活学生数学课堂主动思维，启动生本思维引擎。

（一）组织求异分析活动

逆向思维是求异思维的一种，需要学生从常规思维走出，按照与习惯性思维相反的方向进行思考。教师组织求异分析学习活动，依托典型性较强的数学例题，启迪学生运用逆向解题思维寻求解题路径，培养学生逆向思考的学习意识。教师加强求异分析教学资源发掘，整合更多与数学知识相关的反例素材，引导学生运用所学知识展开逆向思考，对数学知识进行反向推理，在锻炼学生逆向思维应用能力的同时，也能让学生更加深刻地理解所学数学知识。

“命题与逻辑联结词”章节教学涉及的概念内容较多，需要教师针对性引导学生正确辨析不同逻辑词的使用方法，明确命题逻辑脉络。教师按部就班完成命题、真命题、假命题等概念解释及例题分析后，可以搜集一些数学反例进行展示，组织求异分析活动。如，命题p：5＞7；命题q：6=2+3。要求学生构建“非q”“p或q”等形式的复合命题，判断其真假。命题本身的正误分析并不具备思考难度，教师以此作为求异分析素材，可以让学生将更多思维关注点放在数学概念知识巩固和逆向思维解题分析中，提高学生概念认知的准确性，有助于学生逆向思维意识形成。

（二）设计逆向联想活动

学生在日常生活和学科学习中，惯用的思维方式都是正向思维，这也使得很多学生在解决数学问题时常常出现思维受限的情况，容易陷入解题分析的“死胡同”。教师搭建多种类型的逆向联想学习活动，在新知导入、合作探究、成果展评、课堂训练等多个环节，有意识地引导学生从惯用思维相反的方向进行思考，增加学生逆向思维实践应用的学习机会，使学生养成主动运用正向、逆向两种思维方式分析问题的解题习惯，提高学生数学解题效率。

“同底数幂的乘法”新知授课的巩固训练环节，教师投放典型例题“am=16，an=32，求a（m+n）的值”，要求学生思考解题方法，说理计算过程。学生第一反应多是按照正向思维模式，分别求出a、m、n的值，但思考过后会发现求解难度较大。此时，教师启发学生回顾课堂学习的同底数幂乘法运算法则，运用逆向思维分析a（m+n）的求值方法。在教师启发诱导下，学生顺利找到逆向联想的思维切入点，利用课堂学习知识，将a（m+n）转化为am×an，代入数据后得出正确答案为512。通过逆向联想活动，学生能真切感受到逆向思维在分析和解决数学问题时的实用价值，掌握运用逆向思维进行解题的操作方法。

二、转化思维，拓宽生本思维维度

数学解题学习中运用转化思维方法，可以实现数学问题形式的相互转换，帮助学生绕开解题思维障碍，厘清数学解题思维脉络。教师将数学旧知、生活元素等作为学生转化思维展开的落脚点，指导学生探索归纳简便运算方法及解题思路，拓宽生本思维域度。

（一）探索生活应用方法

数学学科教学内容具有鲜明的生活性特点，很多数学知识都能在生活中找到对应的数学原型和应用场景，脱离生活的数学教学，会放大数学知识的抽象性，增加数学问题分析难度。教师对接生活化教学资源，引导学生探索数学知识在生活中的应用方法，把抽象难懂的数学问题转化为直观具体的生活问题，既能简化数学问题的解答难度，让学生感受转化思想的解题优势，又能培养学生生活实践应用意识，增强学生数学学科学习情感。

揭示指数函数的增长规律时，教师引入“迅速传播的谣言”生活故事问题：假定某人听到一则谣言后，一个小时内会说给另外两人听，并在之后不再传给他人，而这两人同样在一小时内分别将谣言说给另外两人，之后也不再传给别人。如此下去，一天后这则谣言会传遍一千万人以上的大都市吗？由于每个人只会把谣言传播给两个人，学生凭直觉判断，认为一天时间内谣言是无法传遍千万人口的大都市的。但待学生动笔计算后发现，仅仅第24小时的谣言传播，就会传给224，即16777216人，人数远超一千万。教师引导学生思考其中的数学算理，和学生一起探索指数函数的运算方法，能够收到事半功倍的教学效果。

（二）归结简便运算方法

运算知识在中职数学学科教学内容中占据较大比重，只有不断深化学生数学运算知识理解，强化学生数学运算能力，才能有效提升学生数学解题效率，确保学生解题的准确度。教师除了做好数学运算知识的常规教学外，还要引导学生在这些一般解题方法中提炼、归结简便运算方法，教会学生化复杂为简单的运算技巧，帮助学生克服复杂运算解题的畏难心理，培养学生高效化的数学运算习惯，使学生逐步摆脱对电子计算设备的依赖。

简便运算方法归结教学中，教师向学生提供数学典型例题，丰富学生运算知识应用的感性认知素材，引导学生构建更多简便运算方法的表象认知。如，“等差数列的通项公式”推导学习时，教师展示“1，2，3，…，9，10”“a1，a1+n，a1+2n，…，a1+8n，a1+9n”两种形式的等差数列，组织学生思考an的通项公式表示方法，分析等差数列的求和公式，并与小组成员交流讨论，共同归结等差数列的通项公式。学生已经具备相关数学知识学习经验，对等差数列的数学性质有了较为全面的理解，能够在数学问题驱动下，深度探索an的通项公式及等差数列求和公式，在交流讨论的思维碰撞下，顺利归结相关公式，掌握计算an和等差数列求和的一般方法。

三、逻辑思维，强化生本思维体验

数学解题需要学生采取观察、比较、分析、推理、抽象等多种思维手段，离不开学生逻辑思维的有效支撑。教师借助数学问题教学，指导学生有序展开逻辑思维，科学梳理章节知识体系，优化解题程序体系，强化生本思维体验，提高学生数学逻辑思维的条理性。

（一）梳理章节知识体系

中职数学教材编排体现出很强的系统性、逻辑性特点，不仅每个章节内的各课时教学内容联系密切，各章节之间也存在千丝万缕的数学联系。教师将数学问题作为梳理章节知识体系的教学抓手，在阶段性教学结束后，投放一些总领性较强的数学问题素材，启发学生紧密围绕章节教学主题，细致梳理与之相关的数学知识内容，促使学生构建系统完整的数学知识网络；也可以设置多章节联系的问题内容，触发学生数学知识深度学习。

结束了“集合及其表示”章节教学后，教师设置“绘制本章节思维导图”的训练任务，要求学生将“集合”作为关键词，梳理与之相关的知识内容。这样的训练任务设计具有很强的教学针对性，学生紧密围绕“集合”主题梳理知识线索，选定集合的概念、表示方法、运算、集合间的关系及简易逻辑作为次要关键词，并在其中填入相关知识内容，完成整个章节教学内容的系统梳理。教师把学生制作完成的思维导图作为“再学习”的起点，选取其中的内容进行提问，设置多维度数学思考问题。如：如何用图示法表示集合？交集的运算方法是怎样的？借助数学问题，强化学生数学逻辑思维的条理性，引导学生深入探索数学知识的本质属性。

（二）优化解题程序体系

优化学生数学解题程序体系，才能帮助学生有层次、有条理地展开问题分析，促使学生高质量地完成数学解题任务。数学问题的一般解题程序为“审题—探索解题方法—阐述解答—验证反思”，每个解题程序环节又可分为多个小环节，教师应具备动态教学意识，立足数学问题考查特点和解题难度，根据学生解题表现灵活调整解题程序指导的重点，有针对性地补强学生逻辑思维的薄弱环节，让每个学生都能构建适合自己的数学解题程序体系。

中职学生的数学学习能力参差不齐，对解题程序的掌握和应用情况各有不同，教师要制定个性化的解题指导方案，适应学生逻辑思维特点差异。如，针对学生乱用数学概念、数学公式的问题，主要原因是学生审题时没有抓住题干的关键信息，解题切入点选择错误。对此，教师引导学生从分析题目的已知事项、未知事项、结构特征三个维度入手，厘清数学问题条件和目标之间的可能联系，为学生准确解题打好基础。针对学生解答表述混乱的问题，教师要做好多种类型数学问题的解题示范讲解，指导学生用准确、清晰、简洁的数学语言进行解题阐述，提高学生数学解题语言表述的合理性、规范性。

四、发散思维，促进生本思维内化

发散思维是学生进行学习思考时呈现的扩散状态的思维模式，主要表现为学生思维视野广阔，能够从更广维度思考和解决问题。教师针对发散思维特点，推出一题多解、变式训练的学习活动，助力学生学习思维充分发散，推动学生思维认知有效内化。

（一）推出一题多解学习

大部分学生对数学问题的认识都是把“解决问题，得出答案”作为最终目标，缺少主动发散解题思维、探索数学问题更多解法的学习意识，一定程度上限制了数学问题的训练价值。教师推出一题多解学习活动，整合投放开放性较强的数学问题，鼓励学生积极探索一道数学习题的多种解题方案，能够锻炼学生数学学科多维思考的能力，拓宽学生数学解题思维广度，提高学生数学知识应用的思维灵活性，使学生的解题思路更加多元。

证明两条直线平行的相关问题教学时，中职数学学习的很多知识都可以作为证明依据，教师可走出教材内容框架，设置一题多解学习活动，启发学生灵活运用已学数学知识进行多维分析。大部分学生最先想到的都是运用数形结合思想方法，对两条直线的斜率进行几何分析完成证明；也有学生想到方程解析的方法，构建两条直线方程组进行求解完成证明。这两组证明后，尽管学生解题思维仍处于发散状态，但想到的知识内容都不适合该问题的证明。教师应适时启迪学生思维，引导学生将代数知识与几何知识相融合，从向量角度展开思考和证明，帮助学生找到两条平行的直线向量共线的证明方法，进一步延展学生数学解题发散思维，丰富学生数学解题方法。

（二）对接变式训练学习

除一题多解学习活动外，围绕数学问题展开变式训练，也是问题教学开放化处理的重要方式，对学生数学解题思维发散有着积极引导作用。教师要具备较强的数学习题处理能力，观照学生数学认知基础、解题能力，由易到难地设置多梯度数学问题变式内容，适应不同层次学生的学力特点，保持问题难度对学生解题思维能力的挑战性，提高学生数学变式训练学习参与效度，推动学生解题技巧、解题能力的个性成长。

“圆的标准方程”相关知识教学中，教师以数学问题“已知圆的标准方程为x2+y2=16，求圆心和半径”为原型，设计多个变式训练问题素材。变式（1）：圆的标准方程为（x+2）2+（y-1）2=16，求圆心和半径；变式（2）：求圆心为（0，0）、半径为4的圆的标准方程；变式（3）：求圆心为（3，-3）、半径为1的圆的标准方程。变式问题设计始终围绕课堂教学重点知识，能够通过变化条件与结论的结构，引导学生从不同思维角度认识、应用圆的标准方程，强化学生相关概念认知的同时，也拓展了学生数学解题思维的广度。

五、创新思维，培养生本思维能力

创新思维应用可以帮助学生以新颖、独特的方法分析问题，促使学生突破思维定式，尝试更多突破常规的创新解题手段。教师尊重学生解题学习主体地位，以自行设计训练任务、布设课题研究任务等方式，留白学生创新学习思维空间，历练学生数学学科思维能力。

（一）自行设计训练任务

中职数学学科教学中，让学生自行设计训练任务，不仅能考查学生数学知识掌握的熟练度、数学问题的认知理解深度，还能强化训练学生数学学科综合思维，让学生在更具自主性、开放性的创造性学习平台中形成更多创新思维学习成果。教师注重学生数学问题学习主观能动性的发挥，根据数学学科教学进度，穿插阶段性自主设计问题内容的训练活动，及时有效巩固学生数学新知学习印象，指导学生通过问题设计，深刻理解不同数学知识的应用方法、应用场景，提升学生数学学科学习品质。

学习了不同空间几何体的表面积和体积计算方法后，教师组织学生围绕课堂教学重点知识，自行设计训练任务，设计完成后，同桌之间交换习题进行解答。学生自行设计空间几何体的表面积和体积计算问题时，需要设定清楚必要的图形要素长度条件，并完成空间图形的绘制，既能加深学生对不同空间几何体图形特点的认知和理解，强化学生对各类计算公式的掌握应用，还能锻炼学生数学动手能力和空间想象能力，发展学生空间观念核心素养。学生为了“难倒对方”，设置的问题都具有一定的巧妙性和挑战性，无形中也对学生数学发散思维能力和创新能力起到促进作用，实现了一举多得的训练目的。

（二）布设课题研究任务

教师立足中职数学学科教学内容体系性强、涵盖面广的特点，布设课题研究学习任务，以主题鲜明、目标明确的数学课题为引领，组织学生深度探究数学知识形成过程、本质属性、思维内涵、应用方法等学科内容，充分训练学生数学多维思维能力。教师合理把控数学课题研究任务难度，对知识内容较少、难度较低的课题活动，可要求学生利用教辅资料和信息网络自主完成；对涉及知识较多、难度较高的数学课题，要引导学生组建学习共同体，发挥学生合作学习力量，弥补学生自主思考存在的思维片面性。

以“空间几何体”章节教学为例，教师布设课题研究任务时，可根据实际教学进度灵活展开教学应对。如，“棱柱、棱锥”“圆柱、圆锥、球”等小节知识教学后，教师设置的课题研究任务紧密围绕小节教学核心知识，引领学生梳理回顾相关概念知识，并要求学生利用互联网搜集更多相关数学信息，拓宽学生数学学习知识面，辅助学生更加深入地理解掌握课堂教学关键知识，学习活动以自主学习为主。整个章节教学后，教师设置的课题研究任务更具系统性，组织学生以学习共同体为单位，系统梳理知识体系，并围绕这些数学知识的生活应用展开实践探索，促进学生数学知识内化，提高学生创造性学习的学科能力。

强化学生数学学科关键技能，发展学生数学多元思维能力，这是中职数学学科教学的重要目标。为扭转中职数学解题教学中学生多元化思维参与不足的困境，教师需加快解题教学观念转变，注重学生学习思维活力激发，指导学生合理运用逆向思维、转化思维、逻辑思维、发散思维、创新思维等多元思维方式参与数学问题的分析与解答，丰富学生数学思维实践应用经验，强化学生数学多元思维能力，不断提升学生数学解题思维的综合性和灵活性。