R0代数的双极值模糊子代数

姜 曼，刘文娟

(西安交通工程学院 公共课部，陕西 西安 710300)

0 引言

自从模糊集[1]的概念被提出后，模糊集已经应用到生活中的各个方面。模糊集及其扩展在处理不同问题中的不确定性方面取得了较好的结果。在世界范围内，人们对模糊集的应用兴趣正在迅速增长。直觉模糊集[2]、区间值模糊集[3]和双极值模糊集[4]已经得到推广，这些模糊化思想也被应用到其他代数结构中，一系列结论相继出现。近年来在数学领域，学者们分别把模糊集理论与双极值模糊集理论相结合来研究代数结构，现在已经出现了一些成果。例如索南仁欠等[5]研究了双极值模糊集的距离与测度，给出它们的定义并研究其性质，王金英等[6]把双极值模糊集、犹豫模糊集和软集相结合，并在决策中研究它们的一些应用，王丰效[7]在半群中定义了双极值模糊子半群，得到了一些重要的结论。关于双极值模糊集理论的其它结论可见文献[8-12]。

古典逻辑是人类整体知识的核心部分，是一切知识的基础，是绝对性与相对性的统一。演绎逻辑推理是二元逻辑，只有真与假，不确定性推理是人工智能领域的一个重要研究方向，在逻辑框架下研究不确定性推理是一种科学的研究方法。不确定性不仅是真是假，而且有不止一种可能的结果。在讨论了不确定逻辑与经典逻辑的区别后，出于对研究模糊推理的需要，王国俊[13]提出了R0代数的概念，R0代数是比蕴涵格稍强的代数。滤子、理想和子代数作为代数结构中的推理准则，在代数结构的研究中起着重要的作用。R0代数中的∧，∨，→运算的研究，对其它代数结构都有指引意义。现阶段关于R0代数与模糊集拓展相结合的理论已有部分成果，可见文献[14-16]，然而，用双极值模糊集来研究R0代数中子代数的理论并不多见。为了更好地认识R0代数，丰富R0代数中子代数的理论研究，本文将双极值模糊集的原理和运算方法应用于R0代数中，在给出R0代数的双极值模糊子代数定义的基础上，证明了R0代数的双极值模糊子代数的交、同态像和同态逆像等也是R0代数的双极值模糊子代数的结论，本文的研究进一步拓展了双极值模糊集理论的应用范围。

1 预备知识

为了叙述方便，本节给出R0代数和犹豫模糊集的一些理论。

2)1→x=x,x→x=1

3)y→z≤(x→y)→(x→z)

4)x→(y→z)=y→(x→z)

5)x→(y∨z)=(x→y)∨(x→z)

则称R为R0代数。

说明本文中出现的我们均用'表示，并且文中均用R表示R0代数。

性质1[13]设R是R0代数，令x⊗y=(x→y′)′，∀x,y∈R，则以下结论成立：

1)x→y=1当且仅当x≤y

2)x′=x→0,x=x′→0

3)(x→y)∨(y→x)=1

4)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)

5)(R,⊗,1)是以1为单位的交换半群

6)x⊗y≤x∧y

7)x⊗y≤z当且仅当x≤y→z

8)x⊗(y∨z)=(x⊗y)∨(x⊗z)

定义2[4]设X是一个论域,φ+：X→[0,1]和φ_：X→[0,1]是两个映射，称φ={(x,φ-(x),φ+(x))|x∈X}是X上的一个双极值模糊集，简记为φ=(φ-,φ+)。这里正隶属度φ+表示元素x关于双极值模糊集φ对某种性质的满足度，负隶属度φ-表示元素x关于双极值模糊集φ对这种性质的相反性质的满足度。

记X上的全体双极值模糊集为BVF(X)。

定义3[17]设φ=(φ-,φ+)，ψ=(ψ-,ψ+)是X上的两个双极值模糊集，称φ∩ψ为φ和ψ的交集，这里(φ∩ψ)(x)=((φ∩ψ)-(x),(φ∩ψ)+(x))=(φ-(x)∨ψ-(x),φ+(x)∧ψ+(x))，∀x∈X。

设φ=(φ-,φ+)是X上的双极值模糊集，[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，称集合N(φ,s)={x∈X|φ-(x)≤s}为双极值模糊集φ=(φ-,φ+)的负s-截集，集合P(φ,t)={x∈X|φ+(x)≥t}为双极值模糊集φ=(φ-,φ+)的正t-截集。称集合C(φ,[s,t])=N(φ,s)∩P(φ,t)为双极值模糊集φ=(φ-,φ+)的(s,t)-截集。

2 双极值模糊子代数

定义4 设φ=(φ-,φ+)∈BVF(R)，如果∀x,y∈R，下面条件成立：

1)φ+(1)=φ+(0)，φ-(1)=φ-(0)

2)φ+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)

3)φ+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)

则称φ是R的双极值模糊子代数。

记R的全体双极值模糊子代数为BVFS(R)。

定理1 设φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R)，则∀x,y∈R，有

1)φ+(0)=φ+(1)≥φ+(x)，

φ-(0)=φ-(1)≤φ-(x)

2)φ+(x)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(x′)

3)φ+(x∧y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∧y)≤φ-(x)∨φ-(y)

证明1)φ+(0)=φ+(1)=φ+(x→x)≥

φ+(x)∧φ+(x)=φ+(x)，φ-(0)=φ-(1)=φ-(x→x)≤φ-(x)∨φ-(x)=φ-(x)。

2)φ+(x)=φ+(1→x)=φ+(x′→0)≥

φ+(x′)∧φ+(0)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(1→x)=φ-(x′→0)≤φ-(x′)∨φ-(0)=φ-(x′)；

φ+(x′)=φ+(x→0)≥φ+(x)∧φ+(0)=φ+(x)，

φ-(x′)=φ-(x→0)≤φ-(x)∨φ-(0)=φ-(x)。

因此φ+(x)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(x′)。

3)φ+(x∧y)=φ+((x′∨y′)′)=φ+(x′∨y′)≥φ+(x′)∧φ+(y′)=φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∧y)=φ-((x′∨y′)′)=φ-(x′∨y′)≤φ-(x′)∨φ-(y′)=φ-(x)∨φ-(y)。

定理2 设φ=(φ-,φ+)∈BVF(R)，则φ∈BVFS(R)当且仅当对∀[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若N(φ,s)和P(φ,s)非空，则N(φ,s)和P(φ,t)都是R的子代数。

证明假设φ∈BVFS(R)，对于∀[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，N(φ,s)和P(φ,t)非空。如果x,y∈N(φ,s)，则φ-(x)≤s，φ-(y)≤s，则φ-(0)=φ-(1)≤φ-(x)≤s，所以0，1∈N(φ,s)。

φ-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)≤s，所以x∨y∈N(φ,s)；φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)≤s，所以x→y∈N(φ,s)。又因为φ-(x′)=φ-(x)≤s，所以x′∈N(φ,s)。因此,可得N(φ,s)是R的子代数。

如果x,y∈P(φ,t)，则φ+(x)≥t，φ+(y)≥t，

则φ+(0)=φ+(1)≥φ+(x)≥t，所以0，1∈P(φ,t)；

φ+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)≥t，所以x∨y∈P(φ,t)；

φ+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)≥t。

所以x→y∈P(φ,t)。

又因为φ+(x′)=φ+(x)≥t，所以x′∈P(φ,t)。

因此,可得P(φ,t)是R的子代数。

反之，对∀[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若非空集合N(φ,s)和P(φ,t)都是R的子代数。则∀x,y∈R，设φ+(x)∧φ+(y)=t，则x,y∈P(φ,t)。由P(φ,t)是R的子代数可知，x∨y∈P(φ,t)，x→y∈P(φ,t)，因此φ+(x∨y)≥t≥φ+(x)∧φ+(y)，φ+(x→y)≥t≥φ+(x)∧φ+(y)。设φ+(1)≥t1，则P(φ,t1)≠φ，故P(φ,t1)是R的子代数，因此0∈P(φ,t1)，即有φ+(0)≥t1=φ+(1)。同理可得，φ+(1)≥φ+(0)。因此φ+(1)=φ+(0)。

类似地可证φ-(x∨y)≤φ+(x)∨φ+(y)，φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)，φ-(1)=φ-(0)。

即证φ∈BVFS(R)。

定理3 设φ∈BVFS(R)，则∀[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若C(φ,[s,t])非空，则C(φ,[s,t])是R的子代数。

证明略。

定理4 设φ,ω∈BVFS(R)，则φ∩ω∈BVFS(R)。

证明假设φ,ω∈BVFS(R)。对∀x,y∈R，

(φ∩ω)-(1)=φ-(1)∨ω-(1)=φ-(0)∨ω-(0)=(φ∩ω)-(0)，

(φ∩ω)+(1)=φ+(1)∧ω+(1)=φ+(0)∧ω+(0)=(φ∩ω)+(0)；

(φ∩ω)-(x∨y)=φ-(x∨y)∨ω-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)∨ω-(x)∨ω-(y)

=(φ-(x)∨ω-(x))∨(φ-(y)∨ω-(y))

=(φ∩ω)-(x)∨(φ∩ω)-(y)，

(φ∩ω)+(x∨y)=φ+(x∨y)∧ω+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)∧ω+(x)∧ω+(y)

=(φ+(x)∧ω+(x))∧(φ+(y)∧ω+(y))

=(φ∩ω)+(x)∧(φ∩ω)+(y)；

(φ∩ω)-(x→y)=φ-(x→y)∨ω-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)∨ω-(x)∨ω-(y)

=(φ-(x)∨ω-(x))∨(φ-(y)∨ω-(y))

=(φ∩ω)-(x)∨(φ∩ω)-(y)，

(φ∩ω)+(x→y)=φ+(x→y)∧ω+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)∧ω+(x)∧ω+(y)

=(φ+(x)∧ω+(x))∧(φ+(y)∧ω+(y))

=(φ∩ω)+(x)∧(φ∩ω)+(y)。

综上可知φ∩ω∈BVFS(R)。

定理5 设R1,R2是R0代数，f是R1到R2的同态满射，设φ∈BVF(R2)。则φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R2)当且仅当f-1(φ)=(f-1(φ-),f-1(φ+))∈BVFS(R1)。其中f-1(φ-)(x)=φ-(f(x))，f-1(φ+)(x)=φ+(f(x))，x∈R1。

证明必要性 由于f是R1到R2的同态满射，那么f(1)=1，f(0)=0。因此

f-1(φ+)(1)=φ+(f(1))=φ+(1)=φ+(0)=φ+(f(0))=f-1(φ+)(0)

如果φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R2)，∀x1,x2∈R1，那么有

f-1(φ+)(x1∨x2)=φ+(f(x1∨x2))=

φ+(f(x1)∨f(x2))≥φ+(f(x1))∧φ+(f(x2))=f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)。

f-1(φ+)(x1→x2)=φ+(f(x1→x2))=

φ+(f(x1)→f(x2))≥φ+(f(x1))∧φ+(f(x2))

=f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)。

类似地，我们可证：

f-1(φ-)(1)=φ-(f(1))=φ-(1)=φ-(0)

=φ-(f(0))=f-1(φ-)(0)。

对∀x1,x2∈R1，有

f-1(φ-)(x1∨x2)=φ-(f(x1∨x2))=

φ-(f(x1)∨f(x2))

≤φ-(f(x1))∨φ-(f(x2))=f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)。

f-1(φ-)(x1→x2)=φ-(f(x1→x2))=

φ-(f(x1)→f(x2))≤φ-(f(x1))∨φ-(f(x2))=f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)。

综上可得，f-1(φ)∈BVFS(R1)。

充分性 ∀y1,y2∈R2，由于f是R1到R2的同态满射，所以∃x1,x2∈R1，则有f(x1)=y1，f(x2)=y2。若f-1(φ)∈BVFS(R1)，则

φ+(y1∨y2)=φ+(f(x1)∨f(x2))=

φ+(f(x1∨x2))=f-1(φ+)(x1∨x2)≥f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)=φ+(f(x1))∧

φ+(f(x2))=φ+(y1)∧φ+(y2)，

φ+(y1→y2)=φ+(f(x1)→f(x2))=

φ+(f(x1→x2))=f-1(φ+)(x1→x2)≥

f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)=φ+(f(x1))∧

φ+(f(x2))=φ+(y1)∧φ+(y2)，

φ+(0)=φ+(f(0))=f-1(φ+)(0)=

f-1(φ+)(1)=φ+(f(1))=φ+(1)。

φ-(y1∨y2)=φ-(f(x1)∨f(x2))=

φ-(f(x1∨x2))=f-1(φ-)(x1∨x2)≤f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)=φ-(f(x1))∨

φ-(f(x2))=φ-(y1)∨φ-(y2)，

φ-(y1→y2)=φ-(f(x1)→f(x2))=

φ-(f(x1→x2))=f-1(φ-)(x1→x2)≤f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)=φ-(f(x1))∨

φ-(f(x2))=φ-(y1)∨φ-(y2)，

φ-(0)=φ-(f(0))=f-1(φ-)(0)=f-1(φ-)(1)=φ-(f(1))=φ-(1)。

综上可得，φ∈BVFS(R2)。

定理6 设R1,R2是R0代数，f是R1到R2的满同态，φ∈BVF(R1)。若φ∈BVFS(R1)，则f(φ)=((f(φ))-,(f(φ))+)∈BVFS(R2)。

其中(f(φ))-(y)=inf{φ-(x)|f(x)=y}，(f(φ))+(y)=sup{φ+(x)|f(x)=y}。

证明设φ∈BVFS(R1)，∀y1,y2∈R2，因为f是R1到R2的满射，所以∃x1,x2∈R1，f(x1)=y1，f(x2)=y2。

(f(φ))+(y1∨y2)=sup{φ+(x1∨x2)|f(x1∨x2)=y1∨y2}

=sup{φ+(x1∨x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≥sup{φ+(x1)|f(x1)=y1}∧sup{φ+(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))+(y1)∧(f(φ))+(y2)，

(f(φ))-(y1∨y2)=inf{φ-(x1∨x2)|f(x1∨x2)=y1∨y2}

=inf{φ-(x1∨x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≤inf{φ-(x1)|f(x1)=y1}∨inf{φ-(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))-(y1)∨(f(φ))-(y2)；

(f(φ))+(y1→y2)=sup{φ+(x1→x2)|f(x1→x2)=y1→y2}

=sup{φ+(x1→x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≥sup{φ+(x1)|f(x1)=y1}∧sup{φ+(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))+(y1)∧(f(φ))+(y2)，

(f(φ))-(y1→y2)=inf{φ-(x1→x2)|f(x1→x2)=y1→y2}

=inf{φ-(x1→x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≤inf{φ-(x1)|f(x1)=y1}∨inf{φ-(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))-(y1)∨(f(φ))-(y2)；

(f(φ))+(1)=sup{φ+(1)|f(1)=1}=sup{φ+(0)|f(0)=0}=(f(φ))+(0)，

(f(φ))-(1)=inf{φ-(1)|f(1)=1}=inf{φ-(0)|f(0)=0}=(f(φ))-(0)。

综上可得，f(φ)∈BVFS(R2)。

定义5 设φ∈BVF(X)，ψ∈BVF(Y)，定义映射

(φ×ψ)-:X×Y→[-1,0],

(φ×ψ)-(x,y)=φ-(x)∨ψ-(y)，∀x,y∈X×Y

(φ×ψ)+:X×Y→[0,1],

(φ×ψ)+(x,y)=φ+(x)∧ψ+(y)，∀x,y∈X×Y

则φ×ψ=((φ×ψ)-,(φ×ψ)+)是X×Y的 双极值模糊子集，称为φ和ψ的直积，并且对于∀(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y，规定

(x1,y1)∨(x2,y2)=(x1∨x2,y1∨y2)

(x1,y1)→(x2,y2)=(x1→x2,y1→y2)

定理7 设φ∈BVFS(R1)，ψ∈BVFS(R2)，

则直积φ×ψ∈BVFS[R1×R2]。

证明设φ∈BVFS(R1)，ψ∈BVFS(R2)，

∀(x1,y1),(x2,y2)∈R1×R2，有

(φ×ψ)+((x1,y1)∨(x2,y2))=(φ×ψ)+(x1∨x2,y1∨y2)

=φ+(x1∨x2)∧ψ+(y1∨y2)

≥(φ+(x1)∧φ+(x2))∧(ψ+(y1)∧(ψ+(y2))

=(φ+(x1)∧ψ+(y2))∧(φ+(x2)∧ψ+(y2))

=(φ×ψ)+(x1,y1)∧(φ×ψ)+(x2,y2)，

(φ×ψ)+((x1,y1)→(x2,y2))

=(φ×ψ)+(x1→x2,y1→y2)

=φ+(x1→x2)∧ψ+(y1→y2)

≥(φ+(x1)∧φ+(x2))∧(ψ+(y1)∧(ψ+(y2))

=(φ+(x1)∧ψ+(y1))∧(φ+(x2)∧ψ+(y2))

=(φ×ψ)+(x1,y1)∧(φ×ψ)+(x2,y2)，

(φ×ψ)+(1,1)=φ+(1)∧ψ+(1)=φ+(0)∧ψ+(0)=(φ×ψ)+(0,0)。

类似地，对∀(x1,y1),(x2,y2)∈R1×R2，

(φ×ψ)-((x1,y1)∨(x2,y2))≤(φ×ψ)-(x1,y1)∨(φ×ψ)-(x2,y2)

(φ×ψ)-((x1,y1)→(x2,y2))≤(φ×ψ)-(x1,y1)∧(φ×ψ)-(x2,y2)

(φ×ψ)-(1,1)=(φ×ψ)-(0,0)。

综上可得，φ×ψ∈BVFS[R1×R2]。

3 结论

作为模糊集的一个重要分支，双极值模糊集对研究R0代数有非常重要的理论意义。本文将双极值模糊集的原理和运算方法应用于R0代数子结构研究，提出并讨论了R0代数的双极值模糊子代数，获得了若干有价值的结论。这些工作，不但有助于进一步丰富和完善R0代数理论的内容，而且也进一步拓展双极值模糊集的理论的应用范围，我们接下来的工作是用类似的方法研究关于R0代数上的滤子以及理想。