构造向量求数列的和

215600 江苏省梁丰高级中学

江苏省张家港市罗建宇名教师工作室 赵颖颖

向量是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础[1].在中学教学实践中，向量常作为工具来解决几何问题，也能解决一些代数问题，向量的运用多见于等式、不等式、函数等问题(参见文[2]-文[9]).笔者构造向量求几类典型数列的和，作为向量在解决代数问题中的补充，用以倡导在高中数学知识间进行相互论证，发展数学学力.

一、 构造向量推导等差数列前n项和公式

问题1设数列{an}是公差为d的等差数列,求数列{an}的前n项和.

解析：当d=0时，易得.下面推导当d≠0时的求和公式.

评注：从向量的视角看，等差数列对应向量的加减法运算，问题1的解决是在构造向量的基础上，结合向量的模的计算得以推导等差数列前n项和公式.类似地，利用上述对向量的模的计算方法，可以求数列{nm}(m∈N*)的前n项和，简析如下.

二、 构造向量推导等比数列前n项和公式

问题2设数列{an}是公比为q的等差数列,求数列{an}的前n项和.

解析：当q=1时，易得.下面推导当q≠1时的求和公式.

三、 构造向量求“等差×等比”数列前n项和

问题3设数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和.

解析：同上，这里只需解析当q≠1时的求和.

评注：问题3的解决常用经典的“错位相减法”求和，这里是在构造向量的基础上综合运用有关向量的线性表示，结合向量数量积运算求得“等差×等比”数列的前n项和公式.