阎靖峥 (西安交通大学苏州附属初级中学 215000)
苏州园林早已闻名世界,正所谓“江南园林甲天下,苏州园林甲江南”.在历史的长河里,坐落在姑苏古城内的一座座园林熠熠生辉,拙政园、狮子林、留园等都以自己独特的方式散发着属于姑苏城的秀色可餐之景.走近造园大师,我们会惊喜地发现,他们的造景方式大致可以分为:引景—对景—框景—漏景等手法.反观自己的数学教学过程,或许也能够模仿大师们的技艺,努力让自己的教学形成更高效的精品课堂,寻找属于我的数学教学四景.
在美丽的苏州园林里,景色多样,横看成诗侧成画.其实,在造园的时候,园林工匠们早已有意识地为游人的游览设定了特定的路线方式,引导他们更顺畅、更直观地感受园林之美,如图1的藤萝架、图2的鹅卵石小道、图3的别致长廊.游客们可以在特定的路线上感受到园林的婀娜多姿.
图1 图2 图3
在数学复习阶段,很多教师认真地为学生将每一份试卷中的题目逐一进行详细讲解,生怕遗漏了任何一个知识点.这样做,在弥足珍贵的复习时间里显得效率比较低下,而且学生一节课的注意力集中时间也是有限的,既浪费了时间,也很难做到重点突出.我们不妨适当“引景”,在课前下足功夫,将学生的错误进行统计,挑选一些共性的问题进行集中教授,同时更应该走近学生,了解学生错误的真实原因,而非以我们自己的观点去认定学生“不该错”“这么简单还在错”等.
例1将14 400精确到千位约等于.
解析 数14 400的千位为第一个“4”,故答案为1.4万或者14千或者1.4×104.
这是一道很简单的问题,但是一大部分学生在解答时候,给出的答案却是14 000.教师们可能会感到不可思议:为什么这么简单的问题学生都不会呢?笔者所在的班级此题错误率高达56%,随机采访了几位错误的学生,请他们分析自己错误的原因,好几个学生都说自己没有想到后面的几个零不可以加上去,不假思索地写出了错误答案.通过问题的分析,我们不难发现,学生做错的根本原因在于基本概念的理解偏差.所谓“近似值的精确度”,数字的最后一位数所在的真实数位即为该数的精确度.理解了基本概念后,学生可以很快发现自己写的答案14 000的最后一个数“0”是在个位上的,并不满足题目的要求.
例2如图4,某县正在创建全国卫生城市,打算建立污水处理系统,计划在道路l1,l2两旁建立一个污水处理站M,使点M到两条道路l1,l2的距离相等,且AM=BM.(不写作法,保留作图痕迹)
图4 图5
解析 由AM=BM可知,连结线段AB,作线段AB的垂直平分线;由“点M到两条道路l1,l2的距离相等”可知,作l1,l2两条直线夹角的平分线,所作这两条线的交点即为所求.
解题时,很少有学生能够将图象画完整,大部分学生都呈现了如图5的角平分线画法,遗漏了另一种情况.分析后发现,学生都在采用经验解题,条件反射般地画出了l1,l2两条直线所夹锐角的角平分线,却遗漏了所夹钝角的角平分线.我们可以在掌握这一讯息后引导学生做题的时候全方位思考,理解直线的夹角有两个.
以上两个实例都是教师在复习课上精准把握班级学情,准确定位应讲该讲的题目,同时能够了解学生的真实错因,从而在课堂将思维重现,学生可以在教师引的“景”上重新走一遍,发现自己的思维漏洞,领略到别样的精彩,有助于学生数学抽象核心素养的形成.
苏州园林在景致坐落上特别讲究景观的“对”,即通过轴线去确定景观的位置,从而产生秩序、严肃或崇高的人体感受.苏州园林的景观从不讲究对称,每一处亭台楼阁、每一个石凳小桥都与园中的草木互相配合布置,别有洞天,各具特色,少了些刻板,多了些灵动.例如,图6的视角,园林的设计师巧妙地借了北寺塔的景,既解决了园林空间有限的问题,还节省了大量的经费;图7的视角,白色的四叶门与后面的假山融为一体,俨然是一副美丽的风景画;图8的视角下,亭台、水面、假山、荷花呈现一字排开的状态,给人一种和谐的美感.
图6 图7 图8
在复习阶段,题型众多,学生很容易就会陷入题海之中,教师在教学的过程中应当时刻注意题目的变化,引导学生多思考,切忌一味盲目地刷题.在解例3的时候,大部分学生做出来的答案都是38°,属于猜测的范畴.而这个题目的解决关键在于题干中不经意的一句话“点A,B恰好重合于点P处”,透过表象看本质,这个条件是在引导学生使用AD,PD,BD边相等,从而从角的关系出发,落脚点却在边的关系上.解决例3之后,可以转换视角,让学生在熟悉的背景下再进行线段长度的计算.通过例3、例4两个题目,可以让学生养成分析问题、类比的数学学习方式,有助于学生逻辑推理核心素养的形成.
例3如图9,在△ABC中,∠C=90°,∠A=38°,D,E分别为AB,AC上一点,将△BCD,△ADE分别沿CD,DE翻折,点A,B恰好重合于点P处,则∠ACP=.
图9
解析 由“△BCD,△ADE分别沿CD,DE翻折,点A,B恰好重合于点P处”可知AD=PD=BD,故CD是直角△ABC的斜边上的中线,可得CD=BD,故∠B=∠BCD=∠PCD=52°,所以∠ACD=90°-∠BCD=90°-52°=38°,于是∠ACP=∠PCD-∠ACD=52°-38°=14°.
图10
解析 由“点B落在点E处”“点A与点E重合”可知,CD是直角△ABC的斜边上的中线.设AF=EF=x,在Rt△CEF中,利用勾股定理求出x,再在Rt△DCF中,求出DF即可.
俗话说“上山容易下山难”,而几何的学习本身就是一个“逆推”思考和“顺写”答题的过程.如果在教学的过程中,教师能够将题目进行巧妙的设计,使得学生能够从正反两个维度去理解题目,必定可以赢得学生的拍手称赞,帮助他们真正意义上做到举一反三、触类旁通,也一定会铸就一道靓丽的教学风景线.例5、例6也是这样的“一对”.
例5如图11,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,延长BP至点D,使得AD=AP,当AD⊥AB时,过点D作DE⊥AC于E.
图11
(1)求证:∠CBP=∠ABP;(2)若AB-BC=4,AC=8,求AB和DE的长度.
解析 在(1)中,利用“等角的余角相等”即可证得.(2)中首先根据AB-BC=4,利用勾股定理求得BC=6,AB=10.作PF⊥AB于F,可证得△BCP≌△BFP,△PAF≌△ADE,进而求得DE的长.
例6如图12,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,延长BP至点D,使得AD=AP=5,当AD⊥AB时,过D作DE⊥AC于E,若DE=4,则△BCP的面积为.
图12
解析 直接求BC,PC的长度比较困难,△ADE的三边长已知或者可求.过点P作PH⊥AB,可证得△ADE≌△PAH,△PHB≌△PCB,最后在Rt△ABC中,利用勾股定理求得BC,BH的长度,进而求得△BCP的面积.
优秀的摄影者会在园林中拍摄出令人如痴如醉的作品,而园林的设计师又何尝不是顶级的摄影者呢?所谓“框景”,就是设计师们有意识地在园林中设置很多框洞式的结构,引导游览者在特定的位置上通过框洞来观赏美景,更加方便地呈现园林之美.如图13、图14、图15均是摄影爱好者站在既定的位置上拍摄出来的优秀作品,也体现了设计师高超的“框景”技艺.
图13 图14 图15
在教学的过程中,教者也可以学习这样的“框景”手法,在平时的教学过程中努力为学生创设更多的“机位”,让学生能够在教师的引导下获取更加完整、更加美丽的“拍摄视角”,从而产出优秀的作品.比如“线段的最值问题”,一直是学习的难点,对于部分学生来说更是“谈最值色变”,这就需要教师给学生搭建平台,归纳概括出最值的常见解决方案,从而从心理和知识层面分别战胜“最值问题”.面对例7这样的题目,学生往往是茫然的,无从下手,教师应该在平时的教学过程中给学生提供一定的“脚手架”.
例7如图16,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=10,AB=12,△ABC的顶点A,B分别在射线OM,ON上,当点B在ON上运动时,点A随之在OM上运动,△ABC的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的最小距离为.
图16 图17
解析 如图17,取边AB的中点H,连结OH,OC,CH.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得OH=6,由等腰△ABC可求CH=8,在△OCH中,由“三角形的三边关系”可得,CO的最小值为2.
例8如图18,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=5,点P是AC上的动点,连结BP,以BP为边作等边△BPQ,连结CQ,则点P在运动过程中,线段CQ长度的最小值是.
图18 图19
解析 如图19,取边AB的中点E,连结CE,EP.可证△QBC≌△PBE,实现了线段CQ到线段EP的转化,再利用“垂线段最短”来求得线段EP的最小值.
这两个例题有很多的相似之处,都是学生的难点,例7采用的是“三角形的三边关系”模型解题,而例8所采用的是转化条件后的“垂线段最短”手段,方式截然不同.如果平时不注重方法的总结,最容易出现“看起来会,做起来错”的情况,甚至可能没有任何思路.教师为学生选定了两个相近的题目进行辨析解题,有助于学生辩证思维的发展,总结出求线段最值的常用方法:①将军饮马模型;②垂线段最短;③两点之间,线段最短;④三角形三边关系;⑤利用函数模型解题等.当学生再次遇到求线段最值的问题时,可以依次尝试,找到适合的方法.若要实现以上效果,均要求教师能够给学生同时见识不一样的模型,“框”定基本的图象模型,在固定的位置上总结反思解题方法,以期达到巩固提升、“精准打击”的良性循环.同时,这样的培养方式也有利于学生数学抽象、数学建模等核心素养的形成.
您一定欣赏过苏州园林的美丽窗花,她们通过窗芯的弯曲变化形成了不同的图案,精致、典雅,定胜纹、六角景、冰裂纹、鱼鳞纹、古钱纹、海棠花纹等,数不胜数[1].融合了古代士大夫文人文化与民俗民间文化,徜徉在一扇扇窗花的背后,让人不禁感慨吴地人民在长期的文化活动中所积累的璀璨智慧结晶.如图20、图21、图22,都是园林中窗花的杰出代表.她们婀娜多姿的怀抱里透着背后更加美丽的景色,总让人有种欲拒还迎的冲动,令人遐想万千.
图20 图21 图22
特级教师王晓峰说过:“评判一节好课的标准,就是看下课后学生是否久久不愿离座.”是啊,教是为了不教.如果一节课能够激发学生的求知欲望,对于本节课的延伸知识有着渴望的求知欲,这不正是教师们所追求的理想效果吗?在复习课阶段,综合题的解答会层出不穷,学生既有些许畏惧,又有几分期待,如果我们能够在讲解的过程中给学生适当的延伸思考点拨,想必会激发学生的课后思考研究.
例9已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线.
如图23,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=20°,过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠DBC=20°,则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线.
图23 图24
(1)如图24,在△ABC中,若∠A=50°, ∠C=20°.请过顶点B在图24中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D,此时∠ADB=°;
(2)在△ABC中,∠C=26°,若△ABC存在关于点B的奇异分割线,且△ABD为直角三角形,请求出此时∠ABC的度数.
解析 在解决(2)时,学生可以比较轻松地由△ABD为直角三角形进行三种情况的分类:①∠BAD为直角时,∠ABC=64°;②∠ABD为直角时,∠ABC=116°;③∠ADB为直角时,学生会发现△BDC不是等腰三角形,于是会选择舍去这种情况,可是事实上,在这种情况下△ABD既是直角三角形又是等腰三角形,可以灵活地将△BDC看成直角三角形而△ABD看成等腰三角形,依旧是符合“奇异分割线”的概念要求的.
对于这个题目,学生在熟知的三种直角情况分类基础上又衍生出来特殊的情况,教师在讲解的时候可以引导学生去掉条件“且△ABD为直角三角形”,学生定会将这个题目的所有情况有规则地一一讨论出来.这有利于学生辩证思维的发展,同时也有利于学生逻辑推理、数学运算等核心素养的形成[2].
“引景—对景—框景—漏景”,在这些技艺的综合运用之下,苏州园林的美美得不像话,在我的教师生涯里,我也在努力探寻着属于自己的“四景”.“人要往前走,花自向阳开”是少年的状态;而“心守暖阳花自开,正得秋而万宝成”则是中年的状态.“风光不与四时同”,秋是四季里的中年,会让有感觉的动物、有情趣的人类引起深沉、幽远、严厉、萧索的感触来.体味着生命的内敛与深厚,缓慢而认真地前行,生命年轮在经年的旋转中重味温暖.