解三角形的几种构造方法

褚洪访

【摘要】利用解直角三角形解决实际问题的关键是化“斜”为“直”，往往通过作垂线把斜三角形转化为直角三角形，通过解直角三角形达到解斜三角形的目的.

【关键词】解直角三角形；化斜为直；构造直角三角形

利用解直角三角形解决实际问题是每年中考必考内容，解决这类问题的关键是运用“化斜为直”的数学思想方法，即根据题意确定或构造出直角三角形，进而应用解直角三角形的知识解决问题．常见的构造的方法主要有如下几种：

1遇30°，45°，60°作三角形内部垂直

（1）三角形中含有30°，45°，60°特殊角，在三角形内部作垂直，构造直角三角形；

（2）构造“背靠背”型直角三角形，利用特殊角的三角函數值，求出未知线段的长度．

（3）基本图形如图1.

例1如图2，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan40°≈0.84，3≈1.73．

分析通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．

解如图3，过点B作BH⊥CA，垂足为H．

根据题意∠BAC=60°，

∠BCA=40°，CA=257．

在Rt△BAH中，

tan∠BAH=BHAH，

cos∠BAH=AHAB，

所以BH=AHtan60°=3AH，

AB=AHcos60°=2AH．

在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，

所以CH=BHtan40°=3AHtan40°．

又CA=CH+AH，

所以257=3AHtan40°+AH，

可得AH=257tan40°3+tan40°，

所以AB=2×257tan40°3+tan40°

≈2×257×0.841.73+0.84=168．

答：AB的长约为168海里．

点评本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键．

2遇120°，135°，150°反向延长，作垂直

（1）三角形为钝角三角形，且钝角为120°，135°，150°，反向延长作垂直；

（2）构造“母子”型直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．

（3）基本图形如图4.

例2某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

分析如图5，过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC=AB=200海里．再求出CD的距离，最后根据BC=2CD求BC的长．

解过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．

由题意可得∠CAD=60°，

∠CBD=30°=∠DCA，

所以∠BCA=∠CAD-∠CBD

=60°-30°=30°，

即∠BCA=∠CBD，

所以AC=AB=200（海里）．

在Rt△CDA中，

CD=sin∠CAD×AC=32×200

=1003（海里）．

在Rt△CDB中，CB=2CD=2003（海里）．

故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离2003海里．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．

3遇75°，105°将其分解为两个特殊角，作垂直

（1）三角形中含有75°，105°，可分解为30°，45°，60°特殊角；

（2）利用特殊角的三角函数值求解．

（3）基本图形如图6.

例3为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习，如图7，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+303）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）（2020年朝阳）

分析过点B作BD⊥ AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD=AC列出方程问题得解．

解作BD⊥AC于D．

依题意得∠BAE=45°，

∠ABC=105°，∠CAE=15°，

所以∠BAC=30°，

∠ACB=45°．

在Rt△BCD中，

∠BDC=90°，∠ACB=45°，

所以∠CBD=45°，

所以∠CBD=∠DCB，

BD=CD.

设BD=x，则CD=x，

在Rt△ABD中，∠BAC=30°，

所以AB=2BD=2x，tan30°=BDAD，

所以33=xAD，AD=3x.

在Rt△BDC中，

∠BDC=90°，∠DCB=45°，

所以sin∠DCB=BDBC=22，

BC=2x，

因为CD+AD=30+303，

所以x+3x=30+303，

所以x=30，AB=2x=60，

BC=2x=302，

第一組用时：60÷40=1.5（h）；

第二组用时：302÷30=2（h）.

因为2<1.5，

所以第二组先到达目的地.

答：第一组用时1.5小时，第二组用时2小时，第二组先到达目的地．

点评本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．

4遇“组合图形”将其分割为特殊图形与三角形

（1）组合图形可以通过作辅助线，将图形分割成矩形和直角三角形；

（2）利用锐角三角函数求解．

（3）基本图形如图8.

例4时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

分析过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由锐角三角函数定义求出CF≈120（米），DF≈160（米），再证四边形BFDE是矩形，得BF=DE，BE=DF=160米，则AE=AB-BE=300-160=140（米），然后由锐角三角函数定义求出DE≈299.60（米），即可求解．

解过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图9所示.

由题意得∠CDF=37°，CD=200米，

在Rt△CDF中，

sin∠CDF=CFCD=sin37°≈0.60，

cos∠CDF=DFCD=cos37°≈0.80，

所以CF≈200×0.60=120（米），

DF≈200×0.80=160（米），

因为AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，

所以∠B=∠DFB=∠DEB=90°，

所以四边形BFDE是矩形，

所以BF=DE，

BE=DF=160米，

所以AE=AB-BE=300-160

=140（米），

在Rt△ADE中，

tan∠DAE=DEAE=tan65°≈2.14，

所以DE≈AE×2.14=140×2.14

=299.60（米），

所以BF=DE≈299.60（米），

所以BC=BF+CF=299.60+120

≈420（米）.

答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．

点评本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．