垂径定理的应用

陈伟斌 张启兆

【摘要】由垂径定理知，过圆心垂直于弦的垂线段、过弦一端点的半径和弦的一半这三条线段构成一个直角三角形.半径、弦长、弦心距的长、弓形高，已知其中的任何两个量，可求得其余两个量，即“知二可求二”.

【关键词】垂径定理；“四量”关系；“知二可求二”

如图1，AE是⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，AE⊥BC于点D.根据垂径定理，可得BD=DC，AB=AC，于是AB=AC，即△ABC为等腰三角形.

设⊙O的半径为r，弦心距OD的长为d，弦BC（即底边）的长为a，BAC的弓形高AD为h，则可得等量关系式

h-d=r，d2+a22=r2.

在上述关系式中，每组式子都涉及a，h，d，r四个量.

不难看出，已知其中的任何两个量，可求得其余两个量，即“知二可求二”.

1连接圆心与弧的中点

当题目中出现弧的中点时，可尝试连接圆心与弧的中点，根据垂径定理的逆定理进行解题.

例1筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图2．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图3．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）

（A）1米.（B）（4-7）米.

（C）2米.（D）（4+7）米.

分析连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝12AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．

解连接OC交AB于D，连接OA，如图3.

因为点C为运行轨道的最低点，

所以OC⊥AB，

所以AD＝12AB＝3（米），

在Rt△OAD中，

OD=OA2-AD2=7（米），

所以点C到弦AB所在直线的距离

CD＝OC-OD＝（4-7）（米），

故选（B）．

注在这里己知发现弧的中点，运用垂径定理的逆定理“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦”.发现点C是ACB的中点是解题的关键.

2连接圆心与弦（非直径）的中点

例2

小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图4）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝16cm，AB＝64cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．

分析先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图4，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R-1.6）cm，利用勾股定理得到（R-1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．

解设圆心为O，

因为C点AB的中点，CD⊥AB，

所以CD过圆心O，

AD＝BD＝12AB＝12×6.4＝3.2（cm）.

连接OA，如图4，设⊙O的半径为Rcm，

则OD＝（R-1.6）cm，

在Rt△OAD中，（R-1.6）2+3.22=R2，

解得R=4（cm），

所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．

注本例用到了垂径定理的逆定理：弦（不是直径）的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，和方程思想.

3作弦的弦心距

遇到圆中弦的问题，作该弦的弦心距为常用的辅助线，该弦心距所在的直线就是圆的一条对称轴.

例3

如图5，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距離是．

分析过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图5，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．

解过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图5，则CH＝DH＝12CD＝4，

在Rt△OCH中，OH＝52-42＝3，

所以CD与AB之间的距离是3．

注 由垂径定理知，过圆心垂直于弦的垂线段、过弦一端点的半径和弦的一半这三条线段构成一个直角三角形.求圆心到弦的垂线段长、弦长和半径，都要抓住这个直角三角形.