例谈平行线分线段成比例定理的应用

苏国东

【摘要】 学生在运用平行线分线段成比例定理时，常常会出现列错比例式的情形，原因在于对定理和推论的本质理解不清.要做到正确运用，关键在于借助图形和符号语言理解本质，正确识别图形中的对应线段，并借助口诀准确列出比例式.

【关键词】 平行线分线段成比例；相似三角形；对应线段；比例式

平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，要正确理解和运用平行线分线段成比例定理及推论，关键是借助图形和符号语言理解定理和推论的本质，正确识别图形中的对应线段，并借助口诀准确列出比例式.

1 定理及其应用

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

符号语言：如图1，若a∥b∥c，则有A1A2A2A3=B1B2B2B3，A1A2A1A3=B1B2B1B3，

A2A3A1A3=B2B3B1B3，……

记忆口诀：上下=上下，上全=上全，下全=下全，……

例1 如图2，已知l1∥l2∥l3，判断下列比例式是否正确：

①ACCE=BDDF；

②CEAE=DFBF；

③AEBF=ACBD；

④ABCD=CDEF.

分析 ①属于上下=上下，②属于下全=下全，④通过比例式性质可变为AEAC=BFBD，属于全上=全上，而④中的线段不属于对应那段，故正确的是①②③.

如图3，把图1中的直线B1B3左右平移任意距离后，这些对应线段依然成比例.

例2 如图4，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE的值.

分析 正确识别图中的对应线段，因为

AB∥CD∥EF，

所以BCCE=ADDF=2+15=35.

2 推论及其应用

保留图3中的“A字形”和“X字形”，移除其余线条，定理仍然成立，即得到了以下推论.

平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

符号语言：如图5，图6，若DE∥BC，则有

ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，DBAB=ECAC，……

例3  如图7，在△ABC中，EF∥BC.

（1）若AE=BE=7，FC=4，求AF；

（2）若AB=10，AE=6，AF=5，求FC.

分析 根据题目所求选用合适的比例式.

（1）因為EF∥BC，所以AFFC=AEEB，代入数据求得AF=4.由此得到一个熟悉的结论：已知点E为AB中点，EF∥BC，则有点F为AC的中点；

（2）BE=10-6=4，因为EF∥BC，所以FCAF=BEAE，代入数据求得FC=103.

例4 如，DE∥FG∥BC.

（1）AEAC=25，则ADAB=；

（2）AGCG=2，则AFAB=；

（3）若AD=3，AF=4，BF=2，AG=6，求EC.图8

分析 正确识别图中的“A字形”和“X字形”，找出对应线段.

（1）因为DE∥BC，

所以ADAB=AEAC=25；

（2）因为FG∥BC，

所以AFAB=AGAC=22+1=23；

（3）BD=3+4+2=9，

因为DE∥FG∥BC，

根据已知数据选用合适的比例式ECAG=DBAF，代入数据求得EC=272.

3 综合提升

通过两组线段比例之间的转换，可以解决更多综合性问题.

例5 如图9，DE∥BC，EF∥CD，求证：ADAB=AFAD.

分析 因为DE∥BC，

所以ADAB=AEAC，

因为EF∥CD，

所以AFAD=AEAC，

因此有ADAB=AFAD.

例6 如图10，四边形ABCD是菱形，AE=5，AF=4，求菱形的边长.

分析 在菱形ABCD中，BC∥AF，CD∥AE，

则有EBEA=ECEF，ADAF=ECEF，

所以EBEA=ADAF.

设菱形的边长为x，则有

5-x5=x4，解得x=209.