立足代数思维，学习《简易方程》

徐斌

算术思维与代数思维有很大的差异，代数思维具有形式化、关系化、结构化的特点。布鲁纳说：“如果一门学科有明确的特征概念可以代表它，那么对这些概念的全面理解也就相当于对整个学科知识的理解。如果一门学科的知识根据某种固定的模式进行组织，那么充分理解这些模式会使适合学科设计的主要特定要素更清晰。”同样地，掌握代数的思维方式，对小学生学习方程及今后系统学习代数知识，发展代数思维，具有战略性的作用。因此，在《简易方程》的学习过程中，要让学生充分感受并学会用关系化思想分析问题，促进其思维从具体运算向形式运算过渡和适应。

一、认识方程：重构方程意义，直抵关系本质

什么是方程？教材给出的形式化定义：含有未知数的等式叫方程。很明显，这样的表述并没有体现方程的价值与本质。因此，在课堂教学中需要引导学生通过反思，去体会方程的本质，重构对方程的理解，对概念的理解从“教学的数学”走向“学科的数学”。

在教授方程的概念时，教师就可引导学生感知方程的价值。如通过对列方程解决问题过程的反思，教师引导学生对方程重新认识与定义。除了及时组织学生对用算术方法解决问题与用方程解决问题进行比较，让学生感悟到“未知数是否参与运算” “是否顺着题目的意思列式子”等，还要让学生结合解决问题的经历，引导学生反思：列方程的依据是什么？方程能直接求出未知数吗？你能用自己的话说说什么是方程吗。这样，对方程的理解与解决具体问题联系起来。学生在反思中感悟到方程只是在表达关系，将题目中的数量关系用含有未知数的等式表达出来就行了，而不需要计算出结果。弗赖登塔尔认为，儿童的思维发展是跳跃性的，没有内省，学生思维就不能实现跳跃而达到一个新的高度。对方程意义的重构，在于重新建立属于学生自己的对方程的认识，以本质去代替形式，对方程的认识达到一个新的高度，思维方式也在发生着改变。

二、解方程：强化运作特质，走向形式运算

（一）抽象模型，反思运作意义

解方程的过程是形式化运作，分别把等号的两边看成对象，这与算术思维不同。很多学生由于受算术思维的影响，不习惯这样的运作。“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这也是学校应当教学生的东西。”只有学生意识到每一次运作的目标与意义，他才能理解这样的操作，而不是一種机械行为。反思就是把较低水平的活动看成较高水平活动的分析对象。在教学时，一要引导学生反思对比，解方程的过程与之前的计算过程中等号作用的不同之处，丰富学生对等号作用的认识。二是在进行方程的复习时，在对具体方程模式化表达的基础上，对解法抽象分析从而达到一般化程度，有利于学生的认识与思维更上一个层次。

在复习课上，笔者让学生小组内说一说：对解方程，你有哪些经验值得与同伴分享？笔者让学生举例说出会解哪几种类型的方程？再引导学生通过分类，将所学的方程分为简单的方程与稍复杂的方程两大类。接着引导学生抽象出这些方程的模型。

师：如果用字母表示这些数字，用x表示未知数，你能把这些方程表示出来吗？

学生分别用字母概括出各类方程。

师：像这样的方程，x±a=b，是如何解的？

生：两边同时加a或减a。

师：为什么要同加时或同时减a？

生：抵消，然后x就解出来了。

师：其他的简单方程你会解吗？

生：形如ax±b=c的方程，是在两边同时加或减b，把b消去，转化为基本方程。

生：形如ax±bx=c的方程，是利用分配律进行合并，转化为基本方程的。

师：是的，复杂的方程转化为基本的方程，但是在具体转化方法上面有所区别。

模型的深刻概括性本身对学习就具有数学意义，有利于学生思维水平的提升。而利用模型，进行方法的抽象总结，通过关键性问题：为什么要同时加或减或乘或除a？学生感悟到运作的意义是为了抵消，这样直接说出了解方程的本质。通过比较，发现复杂方程都可以转化成基本方程解决的，强调了转化的方法，突出了运作思维。

（二）顺势而为，体会思维差异

苏教版教材中有意回避了未知数在减数位置和除数位置的方程，因为利用等式的性质解决这两类方程，涉及负数的运算，而小学又不涉及负数的运算，在教学中并不需要刻意回避。当学生在解决问题的过程中用到这样的方程时，因势利导，通过比较，让学生发现异同，从而自己发现错误。在探讨正确的解法时，有的学生提出，可以根据“减数等于被减数减差”直接求出未知数，实际上这是一种“倒过来想”的思路，其本质是算术思维。还有学生想出可以通过两边同加x，转化成加法方程来求解。在对两种方法进行比较的过程中，发现第二种方法其实是巧妙利用了等式的性质，转化为加法方程，这样让学生进一步体会解方程运算的思维特点，把左右两边各看作一个对象，方程表示两个对象的等价，解方程是通过运作进行转化求出未知数，从而体会解方程运作的特点。

三、解决问题：价值引领，基本模型提升能力

（一）数形结合，感受基本模型的魅力

方程的背后是数量关系。只有让学生掌握了从具体情境中抽取概括数量关系，才能列出方程。因此，抽取数量关系的能力，直接影响学生列方程的能力，也是学生思维水平的体现。如何找题中的数量关系？有的教师让学生根据题目中的关键句寻找数量关系，如根据一些提示性语句（ ）比（ ）多（少）多少，（ ）和（ ）共多少，（ ）是（ ）的多少倍等。且不说一旦题目没有这样的“套路”表达，学生会一筹莫展，就算有这样的语句，学生直接根据这些语句把握数量关系是有困难的，因为这些文字表达，与算术问题的表达没有异样，学生在面对这些文字时，受长期以来算术思维的影响，不自觉地就启用算术思维方式，想到的是“是多少”的问题，即问题如何求解，如何求得答案等，而不是数量关系。因此，需要改变的是学生的思维方式，即建立结构化的思维，这样才能让学生的思维聚焦关系而非结果。

数量关系是实际问题的数学化表达，其实质是加、减、乘、除四则运算意义的运用。而学生在解决实际问题过程中，难以发现数量关系的原因就是因为无法透过情境，用思维把相关数学信息进行关联并根据运算意义表达出来。教学中可以把这种基本的模型结构以一种恰当的方式，整体呈现在学生面前，当知识以整体进入学生的知识结构中时，其解决问题调用的也是整体而非部分。所谓整体，就是最简的也是最本质的知识。在这里就是基本的数量关系模型，让学生的认识通过基本模型，透过表面，直抵本质。如何才能发现众多数量关系中的内在一致性而又利于学生接受呢？一是要去情境化，二是要具体化。两者结合的最佳路径便是直观表达。直观图去掉了情境，直达本质，同时又直观，又具体，符合儿童的思维特点。方程就是数量关系的符号化表达，而数量关系是半具体半抽象的，直观模型则具有抽象与直观的并存。

如通过不同类型的题目，引导学生画出线段图。

题目1：学校里买了18个篮球和20个足球，共付了492元，每个篮球14元，每个足球多少元？

题目2：一幢19层的楼房高57.8米。它的一楼是临街店铺，高为3.8米。其余18层平均每层高多少米？

题目3：两辆车同时从同一地点向相反的方向开出，一辆车每小时行驶45千米，另一辆车每小时行驶50千米，几小时后两车相距237.5千米？

在隐去具体细节与情境后，如图1所示。

在此基础上，引导学生进行反思：为什么这些题目各不相同，画出来的图却是一样的？学生在讨论中感悟：其实这些题目都只不过在说一件事，即部分与整体之间的关系。这种直观表达学生很容易发现三个量之间的三个不同的数量关系。在此基础上，让学生再回到现实，这样的图还可以表示哪些数学故事？从抽象到具体，用具体情境丰富对模型的认识，模型在学生思维中丰富，成為一种解决问题的工具。再如，加法模型的另一种表达，如图2所示。

需要说明的是，模型的解释是从抽象到具体的过程，这一过程非常重要。儿童的思维发展走向形式化并不是说要完全脱离具体，把形式化的东西具体化，把具体的东西形式化，只有当两者均能自由实现时，才能说明学生的理解程度，这样才能促进学生思维水平的发展，并且形式化的过程也不是一蹴而就的，而是一个反复的过程，不断需要半抽象半具体表象支撑这一过程的发展。

（二）体验价值，提升运用方程的内需

刚刚学习解方程，最大的矛盾是学生没有用方程的需求，不能体会到列方程解决问题的价值。因为题目思考比较简单，用方程要写设未知数，书写反而麻烦。所以，学生是排斥方程的，除非题目明确要求列方程解答之外，学生一般不选择用方程。如何摆脱这一困境？笔者认为，要充分让学生体会方程解决问题的思维特点，从而体现方程的实用价值。教学中要有意识地不露痕迹地引导学生用方程解决问题，有时也可以逼迫学生“就范”，主动用方程。

一是复杂问题悟关系。教学中可让学生用方程解决一些复杂问题，从而让学生体会到方程能达到算术方法所不能及的简单。需要注意的是，对这样的题目，并不是要让学生会做，重要的是让学生感受方程的价值，这是一种思维方式的启迪与熏陶，让学生体会方程在解决问题时的优势。因此，在教学时，可以在学生一筹莫展时，出示方程，然后让学生去悟出其中的数量关系，从而感受方程思路之简，突出方程的价值。这可以作为一种数学欣赏、一种熏陶。

二是体会方程思维的乐趣。这种体验不是外在的刺激，而是一种深层次的对智力活动的惊奇，进行思维的探究之旅。如特级教师任卫兵老师团队开发的数学故事课程“方程的故事”一课，通过《丟番图巧设未知数》的故事：丟番图的学生帕普斯要解决问题“有四个数，把其中每三个相加，其和分别为20、22、24、27。求这四个数” 。从帕普斯设四个未知数列方程组开始，到丟番图一反常规，只设一个未知数，最后学生受到启发，不断优化方法，列出更简洁的方程。学生在活动中不断感受到方程的魅力，感受到方程解决问题之巧妙。实践证明，这种形式学生能在轻松的氛围中进行高效、深入的数学思考，代数思维得以有效培养。当学生形成了运用方程的意识后，说明其代数思维有了进一步的发展。

代数思维与算术思维是两种不同的思维方式，学习一种方式，并不意味着对另一种方式的否定。因此，教学中还需要通过比较，进一步感受两种思维的特点，让学生能根据现实情境选择合适的方法解决问题。总的来说，小学生算术思维向代数思维的跃升，并非是一蹴而就的，而是连续性与非连续的结合，代数思维的可持续发展，需要学生在解决问题的过程中，提升把握关系的能力，在反思中感受方程的价值，形成结构化的思维方式。

（基金项目：本文系江苏省“十三五”立项课题“促进理解的小学数学结构化学习的实践研究”（编号：D/2020/02/138）的研究成果）