在轨迹的概念教学中培养逻辑思维能力——以沪教版八年级教材“19.6(1) 轨迹”的教学为例

200030 上海市徐汇中学 仇 霞

《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》对于逻辑推理能力有如下说明：“通过义务教育阶段的数学学习，学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点

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”在初中数学教学中，教师需要结合基础知识教学培养学生逻辑思维能力，“轨迹的概念”这一教学内容恰好是一个很好的载体

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根据沪教版八年级上学期教材的内容安排，在广度上，学习轨迹之前，以平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识的运用为载体，学生学习了基本的逻辑术语和演绎推理的基本思路

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研究轨迹的概念时，以角的平分线、线段的垂直平分线和圆这三条基本轨迹为载体，感悟轨迹概念中所含有的“纯粹性”和“完备性”的要求

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通过这部分的学习，学生体会到利用圆、线段的垂直平分线、角的平分线(或者平行线)证明点点等距、点线等距和线线等距是常用的方法，知道轨迹是具有某种特征性质的点的集合，为今后的学习(如几何证明和高中的轨迹方程等)打下基础

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在深度上，轨迹是对角的平分线和线段的垂直平分线等一般的抽象

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例如，教材中对角的平分线概念及其性质进行了三个层次的抽象

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层次一，用定理“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”和逆定理“在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”表述；层次二，角的平分线上的点是符合在角的内部(包括顶点)到角的两边的距离相等的点的集合；层次三，在说明了轨迹的含义之后，在角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线

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轨迹的概念教学内容是对基本轨迹的抽象、概括，在基本轨迹的基础上，通过分析、推理等思维活动对大脑中的概念进行更高层次的整合，在感悟概念背后的集合意义的过程中，逐渐掌握概念的本质

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笔者探索在轨迹的概念教学中如何有效培养学生的逻辑思维能力

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1 课前思考

在本节课之前，学生常将直线、圆等几何图形看作相对静止的对象来研究其所具有的性质，本节课则将几何图形看作点的运动，用运动的观点来认识图形的性质

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轨迹的概念包含集合思想，必须具备纯粹性和完备性的双重性质

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在此之前，学生常借助直观形象去理解几何概念，学生第一次接触这一较为抽象的定义形式后，感到没有“如此反复”的必要，在应用中仍然会只顾“完备”而忽视“纯粹”

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所以，笔者将本节课的第一个教学重点确定为了解轨迹的意义

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接下来的轨迹学习涉及用交轨法进行基本的作图，学生必须对基本轨迹足够熟悉才能够作图，以三条基本轨迹为载体也能够帮助学生理解轨迹的意义，所以知道“线段的垂直平分线”“角的平分线”和“圆”三条基本轨迹是本节课的第二个教学重点

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图形运动时会产生复杂的几何问题，而在复杂的变化中抓住不变的本质有利于学生之后解决更加高难度的问题，并且之后集合问题的探究和解决对学生的推理论证能力和空间想象能力等要求越来越高，所以将本节课的教学难点确定为会用三条基本轨迹解释简单的轨迹问题，并用图形语言表示

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2 基于波利亚数学教育理论的课堂实践例说

数学教育家波利亚认为数学有两个侧面

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一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程的数学看起来更像是一门试验的归纳科学

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波利亚提出学习过程的三原则，即主动学习、最佳动机和循序阶段，并且可以把学习的阶段划分为探索阶段、阐明阶段、吸收阶段

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波利亚的学习原则给人以如下启示

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第一，主动学习要求学生的思维活动起来，而不是仅仅处在模仿水平和记忆水平上

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第二，学习任何知识最好的途径就是去发现

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第三，要依据学生的发展水平和动机状态等按照最佳顺序呈现教学内容

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所以，波利亚认为数学的教学目标是必须教会学生猜想，并教会学生去证明自己的猜想，即合情推理与论证推理，发展学生解决问题的能力，这也与初中课标中逻辑推理能力的培养要求不谋而合

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2.1 探索阶段：提前渗透轨迹概念，经历概念的生成过程

在本节课之前，学生就已经学过了圆、角的平分线和线段的垂直平分线，已经有了相关的知识基础，所以可以在之前的数学教学中，初步讲述“点的集合”的含义，有意向学生渗透轨迹的思想

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例如，提出“在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等，那是否只有角平分线上的点到这个角的两边的距离相等呢？”的问题，为轨迹概念中的完备性和纯粹性埋下伏笔，为轨迹概念的探索做准备，并且这样的渗透可以随着年级的提高逐渐加强

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概念形成的一个重要条件是学生必须能从许多事物、事件或情境中认识或抽象出它们的共同特征，以便进行概括

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而对于高度抽象化的数学概念的引入，一定要从真实事物出发，所以需要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程和来龙去脉，尽可能努力创设情境让学生去探索，通过自身的努力去建构新知识，让他们的思维水平不仅仅停留在模仿和记忆水平上

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在轨迹的概念教学中，从知识发生的过程设计问题，融入归纳、类比、概括等合情推理的方法，不是简单的“一次归纳”，而是教师与学生反复经历“提问—探索—讨论—质疑—再提问”的过程

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轨迹是一个抽象性较强的概念，初中生习惯于借助直观形象和常见数学模型理解数学概念，他们对轨迹的定义常感到抽象、别扭和空洞，不能正确地形成轨迹的概念，同时教材中又将轨迹、点的轨迹和符合条件的点的轨迹三个概念作为一个概念

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所以，在本节课中，教师将首先提供直观材料，帮助学生形成表象认识，从具体的生活情境到抽象的数学情境，从动态的曲线到静态的点的集合进行问题设计，铺设问题台阶，了解轨迹的意义

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(如表1所示)

片段：概念引入部分

以表1情境1中的钟摆问题为例，引导学生归纳总结钟摆的运动路线是一段弧之后，提出问题：如何刻画不存在的这段曲线？将钟摆(抽象成点)运动过程中经过的每一个位置看作一个点，那么所有点的集合就形成了曲线

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表1 概念引入部分问题设计

具体抽象情境1:钟摆问题情境2:投篮问题①物体在做什么样的运动?它的运动路线是什么?(沿着曲线运动)②这样的曲线是真实存在的吗?如何刻画这样的曲线?①总结:我们把这些曲线看作符合条件的点的集合②轨迹的定义:符合条件的所有的点的集合③你能再举出一些轨迹的例子吗?生活 → 数学

2.2 阐释阶段：分步感受轨迹意义

轨迹是符合某些条件的所有点的集合，其中涉及“集合”的认识和对“某些条件”的具体化，而集合必须具备“纯粹性”和“完备性”，这对学生而言很难理解

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根据循序阶段原则，学生形成良好的数学认知结构比获得零散的数学知识更加重要，为突破这个难点，笔者设计了三个具体例子(即三个基本轨迹)让学生逐渐感悟轨迹上的点必须满足条件(纯粹性)，而不在轨迹上的点一定不满足条件(完备性)，体会轨迹概念中所蕴含的“双重性”意义

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片段：概念剖析部分

例题1

在同一平面内，求到定点

A

的距离等于1cm的点的轨迹

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例题2

在同一平面内，求到定点

A

、

B

距离相等的点的轨迹

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例题3

在同一平面内，求在∠

AOB

的内部(包括顶点)，到角两边距离相等的点的轨迹

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(如表2所示)

表2 例题的设置与讲解

例题1例题2例题3教学层次教师讲解为主学生讲解为辅学生讲解为主教师讲解为辅学生讲解符合条件的点轨迹上的点都应该满足什么条件?符合条件的点的集合你可以画多少个这样符合条件的点?无数个符合条件的点组成了什么样的图形?轨迹我们可以发现图形上的点都满足条件,反过来,是不是所有符合条件的点都在该图形上呢?图形语言以点A为圆心,1cm为半径的圆A即为所求点的轨迹直线PQ即为所求点的轨迹射线OP即为所求点的轨迹基本轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个点为圆心、定长为半径的圆到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线在一个角的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线

在处理例题1时，学生会产生困惑：要我找圆的什么？是不是要我画一个圆？这是学生初学轨迹问题的常见心理定势现象，所以笔者按照学生的认知水平设计不同层次的问题，帮助学生理解轨迹

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以例题1中“圆”的基本轨迹为例，笔者设计了如下问题

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问题1

轨迹上的点都应该满足什么条件？(到点

A

的距离为1cm)——符合条件的点

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问题2

你可以画多少个这样符合条件的点？(无数个)

问题3

无数个符合条件的点组成了什么样的图形？(圆)——符合条件的集合(初步显现动点概念)

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问题4

我们可以发现圆上的点都满足条件(纯粹性)，反过来，是不是所有符合条件的点都在圆上呢(完备性)？(圆内的点到定点

A

的距离<1cm，圆外的点到定点

A

的距离>1cm)——轨迹.通过以上问题，学生感受轨迹的生成过程，在三道包含基本轨迹的例题中体会轨迹上的点必须都满足条件，而满足条件的点都在轨迹上，最后总结出对应的基本轨迹

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2.3 吸收阶段：化归解决轨迹问题

改变点的条件，基本不改变点的轨迹结果，对应三条基本轨迹对例题进行变式(如表3所示)，突出三条基本轨迹的本质属性，在变化中认清本质，重视剖析轨迹满足的条件，转化为基本轨迹，并用文字语言和图形语言表示，从而达到强化重点的目的

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在绘制轨迹的过程中，将轨迹上的点应符合的几何条件转化为图形语言来表达，感悟“描点法”这一从特殊到一般的常用轨迹绘制方法

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同时，对于绘制的每一个图形，检查它的“完备性”和“纯粹性”，体现轨迹概念的严密性

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表3 应用三条基本轨迹解决简单轨迹问题设计

例题变式图形语言例题1圆在同一平面内,过点A且半径为1cm的圆的圆心O的轨迹以点A为圆心,1cm为半径的圆A即为所求点的轨迹例题2线段的垂直平分线(1)在同一平面内,以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹直线PQ(点Q除外)即为所求点的轨迹(2)在同一平面内,经过定点A,B的圆的圆心的轨迹直线PQ即为所求点的轨迹例题3角平分线(1)在同一平面内,与两条相交的定直线m和n距离相等的点的轨迹直线OP和直线OQ即为所求点的轨迹(其中OP平分∠BOC及其对顶角,OQ平分∠COD及其对顶角)(2)在同一平面内,与直线AB的距离为1cm的点的轨迹直线m和直线n即为所求点的轨迹(3)在同一平面内,与平行直线m,n的距离相等的点的轨迹直线l即为所求点的轨迹(其中l为两条定直线的公垂线的垂直平分线)

实际教学中，学生虽然有意识地将新的轨迹问题转化为三条基本轨迹，但是对具体转化为哪一条感到茫然，回顾本节课的应用概念部分，笔者虽然对每道例题进行了相关的变式，获得几乎和例题相同的轨迹，但是并没有引导学生感悟变式和例题之中不变的关系

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笔者认为，数学教学强调的不仅是提高学生的解题能力，还意在培养学生对知识有完整的、成体系的理解和掌握

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基于此，对教材中应用概念部分进行调整，在分析过程中渗透化归法

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将三条基本轨迹总结为以下三个方面，即点点定距可以化归为圆；点点等距可以化归为线段的垂直平分线；线线等距可以化归为角的平分线(或者平行线)

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片段：应用概念部分

在例题2的变式(1)中，学生很容易认为直线

PQ

就是所求点的轨迹，仿照例题的思考方式提出问题：直线

PQ

上的点都满足条件吗？可以发现

Q

点虽然满足

QA

=

QB

，但此时等腰三角形却不成立，所以直线

PQ

不是所求点的轨迹

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而在例题3的变式(1)中，学生易将直线

OP

当作所求点的轨迹，仿照例题的思考方式提出问题：虽然直线

OP

上的点都满足条件，反过来，是不是所有符合条件的点都在直线

OP

上呢？所以直线

OP

也不是所求点的轨迹

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当学生回答问题出现错误时，教师不仅要指出他们的错误，还要对学生的答题思路进行梳理，帮助他们找到不合逻辑的地方，进一步培养他们的逻辑思维能力

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3 结语

数学逻辑推理是由数学核心素养引发的，对于学生发展具有十分重要的意义，其培养是一个长期的过程

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所以，在教学过程中，要将数学逻辑推理和教学实践相融合

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在轨迹概念的教学中，结合波利亚提出的三大学习原则和学习阶段理论，在概念探索阶段，重视情境创设，从生活到数学，从具体到抽象，从特殊到一般，借助合情推理逐步归纳出轨迹的概念；在概念阐释阶段，从三条基本轨迹中分步感受轨迹概念中的“完备性”和“纯粹性”，注重突破学生逻辑推理时的难点；在概念吸收阶段，巧用几何概念的非标准变式，化归成点点、点线等，借助演绎推理解决问题

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本节课的学习帮助学生更深刻地理解轨迹的意义，提升学生的空间想象能力、推理论证能力和数学表达能力，培养学生的逻辑推理能力和良好的思维习惯

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