概念教学中基于“问题提出”的情境设计——以“加权平均数”新授课为例

200235 上海市徐汇区教育学院 徐晓燕

200030 上海市徐汇中学 朱元苑

一、 研究背景

(一)“问题提出”及其教学价值

爱因斯坦曾说：提出一个问题比解决一个问题更重要

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“问题提出”是一个发现和产生数学问题的过程，师生基于问题情境衍生出新问题，表达新问题的活动和任务

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在教学活动中，通过对问题情境中数学对象的基本构成要素的分析与思考，挖掘关系和矛盾，进行质疑与猜想，提出新问题

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因而，围绕情境的“问题提出”便是把一个问题情境变成一个新的问题情境从而形成问题链的过程

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学习过程就是围绕情境提出的问题链进行新知建构、内容的巩固理解和新情境中的迁移应用的活动历程，而好的情境则能激发学生自主提出问题，促使学生成为更好的问题解决者

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近年，“问题提出”开始作为一种教学方法被关注

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学者张丹的“问题提出”教学模式包括情境体验、问题产生、问题解决和反思总结阶段，形成了一个循环的闭环(如图1所示)

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如果教师营造的氛围好，不仅在问题情境中会产生问题，而且在问题解决、反思总结的过程中都可能产生新的问题，整个教学过程就是学生在情境中不断思考形成问题链，围绕问题链进行活动实践与合作交流的学习过程

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图1

(二)“问题提出”与“情境创设”

问题情境决定了“问题提出”发生的基本场域，是“问题提出”得以发生的活动背景和资源条件

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正如学者郑培珺所说，要关注问题情境的创设，好的问题情境能够揭示数学知识内部的矛盾和联系，激发学生的内在动力

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情境化教学理论提出，在数学新知学习中要调动学生现实生活情境中的经历，增加学生理解和建构数学的能力；在知识运用中通过创设复杂真实的情境，让学生克服情境干扰、剥离情境，增强把数学应用到新情境中的能力，从而形成“情境化—去情境化—再情境化”的教学路径(如图2所示)

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章建跃教授则在中国教育学会第十二届初中青年教师课例展示活动中指出：“在数学对象引入阶段，创设蕴含数学对象的现实原型的生活情境，激发兴趣便于问题展开，而在新知发生发展过程中要创设数学问题情境，从数学内部特殊化、一般化或者类比进行问题提出与思考

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”上海市教育发展研究院研究员杨玉东则形象地把新知建构中的情境创设比喻为“搭设新知建构的脚手架”，新知应用中的情境则是促进知识迁移的“绊脚石”

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图2

二、 课例呈现

加权平均数是对平均数算法的推广，它的本质是从数据的“大小”与数据的“多少”两个维度揭示它对一组数据的平均值的影响力

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平均数与加权平均数的计算公式都是总量除以数据的个数，但为什么要变形处理？这背后到底有什么意义？权是什么？为什么要加权？如何用好权并合理赋权？本节课的基本任务就是通过这些问题揭示“加权平均数”概念引入的必要性、概念定义的合理性及其在生活中的应用

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因此，情境创设的基本思路是运用学生熟悉的情境和问题创设矛盾冲突，引发学生对熟悉的平均数计算公式的再认识与再思考

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(一)概念导入——熟悉情境，以旧引新孕育“权”

问题情境

关注青少年的身高问题

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已知某班级男生平均身高为170厘米，女生平均身高为160厘米，能否算出全班同学的平均身高？

设计意图：

在学生熟悉的身高情境中创设条件不完备的问题情境，引起错误的前概念

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有学生求出结果为165厘米，诱发其他学生质疑“缺人数的条件，因为全班同学的平均身高等于班级所有同学身高总和除以人数”，自然过渡到“添加人数”进行平均值计算的活动，孕育权的雏形．

(二)概念形成——情境变式，估值验证感知“权”

情境变式1

情境设定为班级总人数50不变，控制男生和女生人数变量

.

(如表1所示)

表1

男生平均身高女生平均身高总人数男生人数女生人数全班同学的平均身高1班170厘米160厘米50人30人20人30×170+20×16050=166(厘米)2班170厘米160厘米50人20人30人20×170+30×16050=164(厘米)3班170厘米160厘米50人25人25人25×170+25×16050=165(厘米)

思考1

已知男生人数、女生人数，先不计算，请你估计结果更偏向于170还是160

.

思考2

计算结果，判断是否符合你的估计

.

它的大小和人数有关系吗？

设计意图：

采取控制变量的方法，班级总人数50不变，男生、女生的平均身高不变，通过控制男女生人数的变化达到变化权的目，让学生初步感知权的存在

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通过估值再计算验证的方式，让学生经历定性感知到定量计算的过程

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在课堂中，学生得到的事实也是估计谁的人数多，结果就偏向于谁

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而当人数相同时，均值则恰好是160与170的平均数，也就是说学生通过熟悉的生活情境已经初步进行概念的建构

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情境变式2

情境变换为年级人数和学校人数，引发估值验证活动

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(如表2所示)

思考3

到底是什么量影响了平均数？是人数吗？学生对计算结果进行观察与比对分析，发现平均值没有发生改变，产生了认知冲突，进而发现尽管总人数发生了改变，但是男生人数和女生人数之比没有发生改变，初步感知影响平均值的并不是数据出现的次数，而是数据出现的频数与总数据的个数之比

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设计意图：

通过表2中人数的同比例放大，创设观察与对比的情境，引发学生提出“到底是什么影响了平均数的值？”的问题

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学生提出“占比”才是影响平均值的关键，用这个占比来体现数据出现的次数对平均数的影响，自然过渡到对平均数公式进行代数式变形

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表2

男生平均身高女生平均身高总人数男生人数女生人数所有同学的平均身高某班级170厘米160厘米50人30人20人30×170+20×16050=166(厘米)某年级170厘米160厘米400人240人160人240×170+160×160400=166(厘米)某学校170厘米160厘米1500人900人600人900×170+600×1601500=166(厘米)

思考4

如何对平均值的列式计算进行变形，从数学的角度体现出这个影响因素？

思考5

如何从理性视角说明男生人数为30人，女生人数为20人时，平均数偏向男生的平均身高？(如表3所示)

表3

所有同学的平均身高30×170+20×16050=3050×170+2050×160=35×170+25×160=166(厘米)240×170+160×160400=240400×170+160400×160=35×170+25×160=166(厘米)900×170+600×1601500=9001500×170+6001500×160=35×170+25×160=166(厘米)

设计意图：

在探究平均身高的活动中，人数从无到有，从有到变，在对平均数公式变形进行数学化表达的阶段中，学生感受权

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思考5引发学生观察170和160两个数据在前面的占比，深刻体会“数据的多与少”对身高平均值的影响力

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(三)概念对象——数学抽象，多元表征明晰“权”

创设数学问题情境，从数学内部提出问题与思考，从特殊到一般，从两个数据到多个数据，剥离平均身高的情境进行数学抽象概括与提炼

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1

.

从特殊到一般，初步归纳与概括

.

若男生和女生人数分别为

a

人和

b

人，请用含

a

，

b

的式子表示结果

.

(数据170和160的权分别为

2

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介绍孟子在《孟子·梁惠王上》中对权的解释，了解权在古代的释义，增加对概念定义的认同感

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孟子提出：“权，然后知轻重；度，然后知长短

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物皆然，心为甚

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”意思是物用秤称一称，才知道轻重，用尺量一量，才知道长短

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什么东西都是这样，人的心更需要这样

.

3

.

数据个数从两个变为多个，提出对权进行数学化定义与数学表达

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一组数据

x

，

x

，…，

x

出现的次数分别为

f

，

f

，…，

f

， 则把概念结构化概括为数据及其权两个要素

.

设则也叫做这

k

个数的加权平均数(weighted mean)．其中

m

，

m

，…，

m

叫做权(weight)，它体现了

x

，

x

，…，

x

对平均数所产生的影响

.

设计意图：

从具体实际问题到抽象化的符号表达，从特殊到一般，从简单到复杂，通过名人名言创设古今对话的情境，在感知概念属性的基础上顺其自然地给出定义

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让学生感受定义的必要性与合理性，体会概念在有限的文字背后所隐含的丰富内涵、价值观和文化

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(四)概念辨析——情境变换，交流表达理解“权”

问题1

保护视力、爱护眼睛的重要性使得 “控制青少年上网时长”成为近期热点话题

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已知A网站和B网站的用户日人均上网时间分别为2小时和3小时，A网站用户数为7万人，B网站用户数为3万人，求这两家网站所有用户的日人均上网时间

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(1)在不计算的前提下，你能大致估计这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？说说你的理由

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(2)请尝试列式解决问题

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设计意图：

通过问题1初步进行概念巩固，体会实际问题中“人数较多”即数学意义上“数据的权较大”，体会“权重”，初步理解概念内涵

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学生直接根据数据2和3的权的大小，估计结果更加靠近2小时，并运用加权平均数计算

问题2

如图3，对于“须控制青少年上网时长”这一热点话题，通过抽样调查，已知A网站和B网站认为“这个话题重要”的用户所占百分比分别为74%和62%，A网站和B网站参与评价的用户数分别为

a

人和

b

人

.

求这两家网站所有客户中认为“这个话题重要”的客户所占比例

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图3

设计意图：

问题2创设与问题1进行对比的情境，通过纠正的错误结果，学生理解数据本身可以是数，也可以是百分数，理解概念的外延

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思考6

回顾平均身高问题，回答以下问题

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(1)计算所有同学的平均身高一定需要添加具体的人数吗？

(2)男生、女生人数均为25人时，数据170和160的权分别是多少？你有什么发现？

设计意图：

通过思考6的回顾与反思，学生理解求平均身高不需要知道具体的人数，只需要知道男生人数与女生人数之比或比例或百分比，体会权的多种呈现形式，并理解各数据的权之和为1，当各个数据的权相等时，加权平均数从一般到特殊即为算术平均数，即当

k

个数据的权相等时，每个数据的权为从而

(五)概念应用——综合情境，关联应用深化“权”

概念的真正理解，不仅在于学生在简单情境中的模仿，更重要的是在真实复杂情境中进行知识的关联理解、迁移和应用，理性思考权的作用，并能根据需要合理赋权．

热点话题

许海峰在1984年奥运会上为我国获得首金

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2021年奥运会，我国杨倩同样在射击项目上获得本届奥运会首金，掀起射击训练热潮

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问题3

小明学习射击3个月，教练通过30次射击训练来了解他目前的水平

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(1)如图4，你能根据图中提供的信息估计小明本次训练的平均成绩吗？

图4

(2)请计算小明本次训练的平均成绩，并与你的估计比较

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设计意图：

首先通过“奥运首金”这一热点话题创设情境，增强学生民族自豪感，培养爱国主义情怀

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其次通过预估结果(在8-9之间)和计算出的平均值7

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84存在较大差异创设矛盾冲突，让学生从多个数据的维度理解每个数据以及它的权对平均数计算结果有共同影响，蕴含“截尾平均数”的雏形，并使学生意识到对事物的判断需要将定性感知和精确的定量计算相结合，建立理性的数据观

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问题4

某网站想招聘一名网络维护员，人事部门从创新能力、计算机能力和沟通能力三方面考察候选人的综合能力

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A、B、C三名候选人的测试成绩(百分制)如表4所示

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表4

候选人创新能力计算机能力沟通能力A807088B699055C878067

(1)如果你是人事主管，你会选谁？为什么？ (讨论与交流)

(2)以下方案均让计算机能力权重最大，会得到什么样的结果？(比对分析)

引发问题

根据不同的方案设计求出综合评分

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(如表5所示)

表5

候选人创新能力计算机能力沟通能力综合评分方案一方案二方案三方案四A80708878.476.675.674.6B69905573.276.778.880.9C87806778.279.578.878.1

方案1

三项能力成绩分别按照 3∶4∶3 计入综合评分

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方案2

三项能力成绩分别按照 3∶5∶2 计入综合评分

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方案3

三项能力成绩分别占综合评分的 20%，60%和20%.

方案4

三项能力成绩分别占综合评分的 10%，70%和20%.

设计意图：

问题4的小问(1)创设了结论开放的“选拔人才”的问题情境，激发学生讨论交流，引发学生提出问题“到底如何赋权才能体现出公平性和合理性？”自然过渡到问题4小问(2)中的四个方案设计，通过对数据赋权的过程感悟权的价值，学生体会到数据的权重带有设计者的个人观点，不同的权背后折射出设计者不同的核心理念与价值观．引导学生用理性的观点对待数据，以免被表象误导

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课堂教学中，对于小问(1)，部分学生认为应该选择B, 因为他的计算机能力最强.也有学生持不同观点，认为B的沟通能力不行，应该选择C，因为他的计算机能力较强且其他方面也不错.少部分学生认为应该选择A，因为他沟通和创新能力较强.学生各说各的理，最后达成共识，不管选谁，都应该对计算机能力赋予最大的权.

对于小问(2)，学生感受到尽管四种方案都是赋予计算机能力最大的权，但是最终的结果还是不尽相同

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通过比对，学生分析体会赋权背后的价值取向，并理解在实际问题中赋权需要进行多方面考量，并事先赋权，这样才能体现合理性和公正性

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(六)概念小结——本原性问题情境，追根溯源，建立概念图式

什么是权？为什么要学加权平均数？通过创设“为什么？是什么？怎么学？学了有什么用？”这样的本原性问题情境，引发学生的深度思考，回顾和反思本节课的学习过程和问题解决过程，形成如图5所示的概念图，并发挥学生的主观能动性，提升归纳和总结能力，让学生感受概念在有限的文字背后所蕴含的丰富的内涵、思想方法、数学文化

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图5

三、 情境设计策略

(一)核心素养视角下概念教学的基本任务与过程

数学概念教学的任务不是“讲概念”，而是让学生在问题情境中“悟概念”

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每个数学概念都包含着一些人甚至是人类在一段时空里的探索、质疑、研究和发现，包含着思辨或实证，内蕴着价值与信念，而这些努力和过程最终凝练、沉淀为概念

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教师要让学生在问题情境中感受概念引入的必要性，体验概念抽象的过程性，体会数学概念定义的合理性

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让学生在观察与实验、分析与综合、归纳与概括中经历概念的抽象过程，通过素材加工与情境的设计，带领学生走入概念呈现的有限文字背后所蕴含的数学文化

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数学核心素养视角下的概念学习要经历形象感知、建立表象、数学抽象等概念建构的基本过程，用数学的眼光看世界，夯实基本的思维素养，用推理或计算分析解决问题

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而当概念成为数学对象后，要在数学或现实世界进行应用，回归“抽象、表象、形象”，用推理或计算分析解决问题，从中感悟方法，体会数学在现实世界的工具作用，形成观念、提升意志力和品格

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(如图6所示)

图6 概念学习的基本认知过程

(二)策略

当下教师都关注创设情境让学生经历概念的形成过程，但是常常出现情境与数学对象之间没有关系，情境不利于教学问题的展开等情况

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笔者认为，教师可运用以下策略来创设问题情境

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1

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基于概念本质，创设“概念原型”的情境以提出问题数学概念的产生主要是源于现实世界的抽象或数学内部的逻辑构造

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教师要先厘清概念本质和基本要素，才能创设好的问题情境

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设计问题情境时可以从以下方面思考：如何引发兴趣和冲突、找到现实世界中的概念原型、基于概念本质找到新旧概念间的逻辑与关联，基于概念框架和联系视角整体考虑情境的可变性和问题的发展性

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例如，平均数是加权平均数的“源头”，而加权平均数的两个构成要素是数据(数的大小)和数据的权(数的多少)

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所以导入概念时，通过问题1的身高情境提出条件不完备的问题，唤醒和引发原有的前概念和错误概念，隐含新概念的原型，为引入的必要性创设合情合理的情境，并有序进行后续发展

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再如，平面直角坐标系概念的本质是设置一个参照点，从方向和大小两个维度确定和表达平面内的另一个位置，它在现实世界中有着丰富的概念原型，所以这类概念的问题情境的创设应该是运用丰富的现实素材(如电影院找位置、问路、象棋或五子棋)，引发基本问题“如何确定平面中点的位置？如何用数学的语言表达平面中点的位置？”以基本问题为中心，调动数轴的学习经验，从一维的直线到二维的平面进行逻辑构造，让学生将生活经验和知识基础融合，通过问题驱动，在真实的情境中建立概念和概念联系

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2

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基于概念形成，情境变式问题链引发概念进阶建构教师要对概念构成要素进行概念学习进阶的结构分解和重组，根据学情进行结构化、系列化的情境问题链设计，不断诱导学生在解决问题中合理衍生新问题，从而实现概念的进阶建构的思维路径

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值得一提的是，创设的问题与情境要处于学生的最近发展区，分解为合适的概念进阶，这样学生才能在概念起点的基础上实现概念的获得

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在加权平均数的课例中，围绕平均身高问题的情境，运用控制变量的方法，在男生、女生平均身高保持不变的前提下，让“人数”这一数据“从无到有”“从有到变”，不断自然地衍生出新问题

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人数是如何影响平均数的？到底是什么影响了平均数的值？如何将平均数计算公式进行变形才能体现出权？计算平均身高一定需要添加具体的人数吗？通过基于情境提出的问题链，学生形成孕育“权”、感知“权”、明晰“权”、理解“权”的概念学习进阶

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问题环环相扣，理解层层递进，从定性感知数据出现的次数对平均数结果的影响力大小，形成加权平均数的数学化定义，进行定量的符号表达

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3

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基于概念理解，“诱错性”情境引发质疑思辨概念的建构与理解是一个教师为主导、学生为主体的双向互动的过程，通过教师有目的的情境创设与引导，学生不断反省和抽象，祛除遮蔽、消除误解、达成共识、揭示本质，大量隐性知识在课堂充分的交流、活动和互动中逐渐显性化、清晰化，学生建立情境中的现象与数学对象的基本要素的联系，逐步建构概念对象

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加权平均数教学中，问题2的情境将权以“百分数”的方式呈现，进行诱错

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而问题3为帮助学生脱离“数据控制不变，感受权”的情境，设计两个到多个数据，运用条形统计图的表征方式进行情境的创设，设计先估值再计算验证的活动，通过数值差异造成强烈的认知冲突，让学生在试错中不断进行概念辨析，理解概念的本质内涵与外延

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4

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基于概念应用，创设交流互动的开放问题情境概念成为一个数学对象后，要通过迁移应用来进行数学概念和模型的强化和泛化

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此时问题情境应当是现实的、有趣的和富有挑战的，教师运用情境的目的更多是扩展概念的应用性理解

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这类情境最好有一定程度的“情境干扰”，让学生在现实世界的问题解决中反思和评估方法的复杂优劣性、实际可行性和可操作性，多角度提出问题

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许多现实问题可能不一定有标准答案，“求同存异，和而不同”，学生在交流互动中获得用数学解决现实问题的通透感和愉悦感

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面对问题4，学生在“选拔人才”的情境中思辨性地进行赋权活动和任务，充分表达与交流，互相质疑与评价，不断将“问题提出”中内隐的交流过程外显化，通过定性感知与定量计算相结合，越辩越清晰，思考赋权背后的价值取向，体会如何让数据说话，让数据说真话，初步建立理性的数据观

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5

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基于概念图式，创设综合情境，拓展时空延展问题概念具有过程与结果的两重性，概念的理解是逐步螺旋式上升的

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一方面，笔者通过小结图式化建立概念的联系，揭示本质

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另一方面，课堂的时间是有限的，可以运用信息技术手段，通过视频方式进行数学史的分享，追溯历史，联系古今，也可以介绍现实世界中概念的应用与发展，布置查阅资料等课后长作业，引导学生探索未来，从概念体系和概念图式的视角理解和探索概念，体会概念背后的思想方法和文化

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四、 结语

有效的情境不仅要有丰富的内涵，更重要的是要具有“问题”的诱导性、发展性和探索性．在教学中，厘清概念的构成要素，寻找现实的概念原型，将两者有效结合，精心创设问题情境，基于学习进阶设计问题链，引导学生建立情境和数学对象之间的关联，提出有意义的数学问题并予以解决，以情境建立数学对象与学习者的关联，以问题驱动思考，以任务与活动促成能力，以知识结构关联与迁移运用促成素养形成

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“教是为了不教”，基于情境提出的问题要自然、本原、可模仿，这样才能早日实现从教师的“问题引导学习，激发学生思维”过渡到“学生自主提问，展开创新学习”

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