高等数学课程教学中创新能力培养的实践探索——以引入分数阶微积分为例

曹建雄

兰州理工大学理学院 甘肃兰州 730050

根据教育部2019年制定出台的《关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》，教师应该在本科教学过程中贯彻“科研反哺教学”的理念，要在科研工作过程中体现育人功能，让最新的研究成果转变为课堂教学内容，激发学生的学习兴趣。教师要利用科研创新训练课程等多种方式，对学生的科研活动进行指导。学校应该加大科研实践平台的建设，推动各类科研基地开放共享，支持学生早进教授课题组、早进实验室、早进团队，推动学生创新和实践能力的培养。教育部出台的指导意见对新时代高校教师的教学工作提出了更高的要求，这就需要高校教师学会科教融合，在讲授已经非常成熟的基础课程过程时，时刻融入最新的科研成果，让科研反哺教学，激发学生认真学习基础课程的积极性，同时也能激发学生继续深造学习的兴趣，某种程度上缓解就业压力。

笔者从事大学公共数学课程，例如高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础课程的教学研究工作，科学研究方面从事分数阶微分方程建模和数值计算的科研工作。在近些年的课堂教学活动中，经常思考如何将科研成果反哺教学，实现科研育人功能。本文以引入分数阶微积分为例，介绍笔者在高等数学课堂教学中培养学生创新能力的实践探索，可为教师在课堂教学中培养学生的创新能力提供一点参考。

一、高等数学课程中科研反哺教学的实践

众所周知，大学阶段的学习生活在每个人的一生中发挥着至关重要的作用，一个人的“人生观、世界观、价值观”往往是在这一时期形成的。大学生在学习生活中不断探索自我、定义自我，为今后的自我定位引导方向。本科阶段的学习以学为主，通过四年的学习，学生要掌握本学科的基础知识，为进一步攻读研究生奠定扎实的基础。此外，本科阶段的学习是全面的、系统的学习，要求学生学会已有知识，包括熟练掌握公共基础课和专业必修课的知识。

微积分是高等数学课程的核心内容，是理工科专业学生必须掌握的数学基础内容。微分学和积分学在日常生活、科学研究、工程应用等领域都有广泛的应用，微积分的地位可见一斑。笔者从事分数阶微积分相关科研工作，具有在高等数学教学活动中为学生引入分数阶微积分的良好基础。下面，我们从引入的意义和具体实践过程两方面来叙述。

(一)在讲授微积分的内容时拓展介绍分数阶微积分的意义

数学是一切科学的基础，高等数学是高等院校理工类专业、财经类专业学生的一门必修基础课程，也是工科、理科类研究生入学考试的基础科目。良好的高等数学知识可为学生毕业后的工作和科学研究提供可靠的数学基础保障。

自从17世纪60年代牛顿和莱布尼茨创立微积分以来，微积分学逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，它不仅成为其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域都获得了十分广泛的应用。高等数学是大学数学的必修课程，通过这门课程的学习，学生获得向量代数与空间解析几何、微积分的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方法。教师要注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，从而使学生获得解决实际问题的能力，为学习后继课程奠定必要的数学基础。

分数阶微积分是指将高等数学课程中所学的经典微分和积分推广到任意阶微分和积分，进而研究任意阶微积分理论体系及应用的数学理论。分数阶微积分和整数阶微积分有同样漫长的发展史，其起源最早可追溯到1695年，德国数学家莱布尼茨给洛必达的回信，在信中首先讨论了0.5阶导数的问题。此后，欧拉、阿贝尔、傅里叶等著名数学家直接或间接地对分数阶微积分做出了贡献。然而，由于分数阶微积分没有完全、可接受的几何或物理解释以及应用，分数阶微积分在很长一段时间内没有引起足够的重视，分数阶微积分的研究只停留在纯数学理论研究阶段。到了20世纪60年代，分数阶微积分的思想引起了工程师们的兴趣。1974年，第一届分数阶微积分国际会议在美国召开，分数阶微积分逐渐应用到工程科学的各个领域。如今，分数阶微分方程已成为描述复杂过程和反常扩散现象等问题的重要数学工具。

近年来，分数阶微积分在理科和工科研究的众多领域(如分数阶微分方程的求解、分数阶动力系统分析、黏弹性流体流动、溶质输运、地下水污染、图像处理、金融等)都有广泛的应用。笔者所在单位是一所理工科院校，许多学生本科毕业后选择了材料、建筑、电气等行业或者继续攻读研究生。既然分数阶微积分在理工科的许多领域都有着非常多的应用，就有必要在本科阶段学习。如何学习，这就需要教师和学生发挥主观能动性，充分利用有限的课堂学习时间学习最新知识。因此，在本科阶段的数学课堂中为学生介绍分数阶微积分很有必要，不仅可以让学生学到新知识，还可以激发学生探索未知的兴趣，促进创新能力的培养，为本科毕业继续攻读研究生打好基础。陈安等[3]对分数阶微积分在数值分析课程中的融合进行了探索。

(二)分数阶微积分引入的具体实践

微分和积分是高等数学的两大核心内容，在整个课程中占的比例最大。在同济大学数学系编的《高等数学第七版》[1]教材中，导数和微分的内容分为第二章的《导数与微分》和第三章《微分中值定理与导数的应用》。积分的内容分为第四章《不定积分》、第五章《定积分》、第六章《定积分的应用》、第十章《重积分》和第十一章《曲线积分与曲面积分》。

这些关于微分和积分的定义及运算都指整数阶形式，即函数关于自变量的一阶导数、二阶导数、…、n阶导数；函数在区间上的一重积分、二重积分、…、n重积分。而分数阶微积分就是常见经典整数阶的微积分运算推广到非整数阶的微分和非整数阶的积分。如何在学习完微积分的内容后，拓展学习分数阶微积分的一些知识呢？

笔者在教学实践中采取探索式、启发式的方法引导学生循序渐进推广学习。下面，我们通过例子来说明介绍分数阶微积分的过程。

在学生学完《高等数学》上册的导数和积分的内容后，提出问题，函数的0.5阶积分和0.5阶导数分别等于多少？例如：

(1)

一开始，学生可能感到一头雾水，不知怎样计算，如何回答。

接着，采用循序渐进的教学方式，以一元函数f(x)=eax的一阶、二阶、三阶导数为例，引导学生展开思考，按照所学的知识分组进行讨论，在掌握一阶导数、二阶导数和三阶导数的基础上，能否分析推测出函数f(x)=eax的r(r>0)阶导数是多少，即通过计算下列导数：

能否发散思维，可以合理定义：

当r>0时，表示对函数f(x)求r阶导数;当r<0时，表示函数f(x)的r阶积分。

等到学生有了这样的直观感觉后，笔者结合自己的科研工作，用一节课的时间介绍两种常见的分数阶微积分定义[2]，即Riemann-Liouville(RL)型和Caputo型的定义。同时，再介绍一些分数阶微积分的历史和发展现状，并举例说明在学生未来工作或者科学研究中的一些应用。最后，通过复习Gamma函数和Betta函数回答提出的问题。

首先，通过提问的方式回顾Gamma函数、Beta函数的定义和性质，即：

Gamma函数和Beta函数的几个重要性质如下：

(1)Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)

(2)Γ(s)→+∞，s→0+

在高等数学教材中，对函数f(x)求n(n∈N)重积分可以表示为:

将上式中的n推广到非整数情形，用Gamma函数的定义和性质给出RL型分数阶积分的定义。

定义1[2]:设函数f(x)在区间(a，b)上有定义，r>0，则函数f(x)的r阶RL型分数阶积分定义为:

定义2[2]:设函数f(x)在区间(a，b)上有定义，n-1≤α

定义3[2]:Caputo分数阶导数。设函数f(x)在区间(a，b)上有定义，n-1<α≤n，n为正整数，则f(x)的α阶Caputo型分数阶导数定义为:

接下来，回到问题(1)，让学生利用所学知识和分数阶微积分的定义计算函数f(x)=x的0.5阶RL型积分和0.5阶Caputo型导数。大部分学生能够计算得到：

最后，让学生利用定义2、3分组讨论计算常数的RL型和Caputo型分数阶导数，从而得出RL型和Caputo型分数阶导数的一个重要区别，即常数的Caputo型导数为0，而常数的RL型分数阶导数不等于0。这个结论与学生现有知识储备相悖，这个过程不仅使他们加深认识了“常数的导数是0”这一高等数学课程中学到的重要结论，而且激发了学生研究RL型和Caputo型分数阶导数区别和联系的兴趣。

笔者在实践过程中发现，有些学生还想继续学习分数阶微积分的知识，并且能够把学到的知识应用到数学建模竞赛、“互联网+”等竞赛中。这样的课堂教学改革不仅会活跃课堂学习氛围，也会让本科生接触前沿研究成果，激发他们对科学研究的兴趣。

二、结论

众所周知，本科阶段的课程学习为学生未来的工作或者科研打基础，不管是科研创新能力的培养还是工作创新能力的积累，都离不开本科阶段基础课程的学习。高等数学和线性代数这两门公共数学课程给很多学生留下了深刻印象。本文以在微积分内容的课堂教学中引入分数阶微积分概念为例，介绍了在高等数学课程教学中科研反哺教学的一种探索，为培养学生的创新能力提供指导。在后续的教学活动中，将结合学生必须掌握的基础知识，把最新科研成果转化为教学内容，激发学生专业学习兴趣。