多维探究解三角问题的求解思路

刘银

解三角形问题是高考中的基本题型之一，这几年的全国卷往往以一道选择题（或填空题）和一道解答题的形式出现，占有比较重要的地位，

解三角形问题往往与平面几何、三角函数、平面向量、基本不等式等相关知识交汇，突出对转换与化归思想、数形几何思想、数学建模思想及其应用能力的考查，

解三角形问题的求解关键在于认真审题、合理转化、选择合适的方法、优化计算．

对于只涉及一个三角形的问题，合理利用正余弦定理可解决大多数此类问题．如果问题中涉及多个三角形，如何分析题设条件，寻找各个三角形的内在关系，合理利用所学知识刻画点线位置关系成为解题关键，本文拟例说笔者的认识与思考．

1试题呈现

（广东省佛山市2021届高三上学期教学质量检测卷．18）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，

点评找到a，β的两个关系即可求出两个角．关键在于用平面几何知识找到这两个角的正切有比例关系．此法简单，计算量低，但几何关系不好找，学生不易察觉．

点评问题条件可归结到△ABC，△BDC这两个三角形中，这两个三角形都只有一边一角两个已知条件，利用BC这条公共边以及正弦定理可以得到角a的一个方程，思路清晰，但大部分学生难以想到，计算量也偏大，此法对于学生寻找变量关系以及锻炼数学思维有比较好的价值，

解法3把题目条件集中到△ABC中，利用余弦定理可以得到边角关系．

点评用斜率来表示点坐标，AC⊥BD这个条件转化为直线BD和直线AC的斜率乘积为一1．与解法4一样，此法简洁明了，题目条件转化自然，计算量和思考量偏低，学生容易理解，只是引入的变量不同，学生更习惯解法4的变量引入，

点评 这个方法与上面的方法异曲同工，解法4引入高作为变量表示点坐标，解法5用直线斜率表示点坐标，解法6用角来表示点坐标，这都是坐标法中常用的变量．再利用斜率与倾斜角的关系得到需要的方程进行求解，计算量偏低，是不错的解法，

点评 用向量可以刻画把题目条件中的定比分点和垂直关系．这里还用到了向量处理平面几何问题中的“基底法”．取一组基底CB， CD，把CE， BD用这组基底表示就可以实现问题的解答，思路清晰，但学生不容易想到；计算量不大，对学生思维锻炼价值较大．

3 感悟反思

解四边形的问题，本质上还是解三角形的问题．如何把四边形分割成可以利用的三角形是我们首先要解决的问题，在解法1，2，3中，分割的三角形是需要的三角形，然后需要寻找它们之间的关系，用正弦定理，余弦定理，两角和的正切公式等解三角形，在解法4，5，6中，用坐标来刻画点线的位置关系，分别引入了高、斜率和角作为变量来表示点的坐标，充分展示了坐标法在这类问题中的应用，解法思路简洁，计算量低，体现了用解析法解决平面几何的优点，解法7利用向量，可以方便的表示直线上的定比分点和两条直线的垂直关系，向量是平面几何问题中的解题利器，最新修订的《普通高中数学课程标准》对平面向量与解三角形提出的要求是：会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其其他实际问题；能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题，以上的这些方法都是学生需要掌握的知识和方法．

数学教學中，我们要启发学生寻求一题多解，培养创新意识，充分挖掘题目条件，把题目条件转化成我们熟悉的数学语句，灵活运用所学的数学知识，不断突破思维定势的束缚，在探索比较中寻找解题的最优方法，在高三复习的过程中，不能只注重题海战术，更要引导学生在弄清概念、公式、定理的本质的同时，感悟知识的内在联系，深入拓展，寻求通性通法，教师可以通过这样的例题的讲解，从整理上把握教学内容，加强学法指导，从而提高学生的数学核心素养水平，

参考文献

[l]李英．一道解三角形题的解法探究和思考[J]中学数学月刊，2020（10）：57-58