对一道联考试题的探究

蔡洪洪

湖北省十一校2021届高三第二次联考试题第21题是：已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线v=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两条切线QA，QB，其中A，B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标，

本题的答案是：（1）点P的轨迹C的方程为x2= 4v；（2）直线AB恒过定点（2，4）．

通过分析该题，我们不禁要问：对于一般的抛物线C：X2= 2py（p>0）和定直线y=kx+n（与抛物线C相离），直线AB是否恒过某一个定点？由此可引发一系列的探究．

1纵向探究

经探究，可得：

结论1已知抛物线C：x2= 2py（p>0），点Q是

以上通过对一道联考试题的纵向、逆向及横向探究，得到了圆锥曲线的极点和极线的配极性质，揭示了试题的深刻背景．这虽然不是什么新的发现，但是对学生来说却是全新的课题，这对训练和提升学生的探究能力以及创新思维能力，发展学生的学科核心素养无疑是有益的，正如著名数学教育家G．波利亚所说的：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域，”从一些典型的试题中挖掘数学探究课题引导学生进行探究，提出有意义的数学问题，探究适当的结论或规律，这有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，体验创造的激情，建立严谨的态度和不怕困难的科学精神；有助于學生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生提出问题、解决问题的能力；有助于发展学生的创新意识和创造能力，培养和提升学生的数学学科核心素养，

参考文献

[1]G．波利亚．怎样解题——数学思维的新方法[M]．上海：上海科技教育出版社，2017

[2]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017