一道2022年福建省高三联考试题赏析

福建省福清三山中学 (350318) 念 杰福建省福清第三中学 (350315) 何文昌

数列的交汇试题常以压轴题的形式出现．试题可以涉及函数、方程、不等式，三角函数与解三角形，解析几何与立体几何等知识，主要考查学生对数学知识的灵活应用、融合与迁移，考查学生数学视野的广度、思维的深度和进一步学习数学的潜能．本文就一道福建省部分地市2022届高三毕业班诊断性联考12题为例，分析其求解与改编历程，与同仁交流．

一、试题呈现

A．{S2n}是递增数列 B．{S2n-1}是递减数列

C．{bn-cn}存在最大项 D．{bn-cn}存在最小项

命题立意：本题主要考查数列的递推公式、通项公式和前n项和、数列的单调性，三角形和圆等基础知识；考查抽象概括与推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、化归与转化思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性、综合性与创新性．

二、解法探究

∴(b2n+2-c2n+2)-(b2n-c2n)>0，∴{b2n-c2n}是递增数列，故{bn-cn}的最小项是b2-c2，D正确．同理，{b2n-1-c2n-1}是递减数列，故{bn-cn}的最大项是b1-c1，C正确．故选A、C、D．

图1

三、试题溯源

A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D．{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

本题内涵丰富，新颖独特，解题入口宽，路径多，有较强的选拔功能，正是福建省2022届高三毕业班诊断性联考12题的源流．高考题的几何背景是椭圆，福建省联考题的背景是圆.

四、试题改编

把以上两题的几何背景换成双曲线，得到改编题1．

题1 (多选题)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,周长为ln(n=1,2,3,…),内切圆半径为rn,若a1=b1=4，c1=2，an+1=an，bn+1=cn+an，cn+1=bn+an，则( ).

A．{bn-cn}为常数列 B．{ln}为等差数列

C．{rn}存在最小项

D．{rn}既不可能为等差数列，也不可能为等比数列

把几何背景换成抛物线，得到改编题2．

参考答案题1：B、C、D;题2：3；(n-1)2n+1+2.