利用导数研究含参函数的最值问题

北京市陈经纶中学 陈 旭

一、教学背景

（一）课程标准要求

《义务教育普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》指出：高中生数学课程以学生发展为本，落实“立德树人”根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。高中数学课程面向全体学生，实现：人人都获得良好的数学教育，不同人在数学上得到不同的发展。高中生数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，使其养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。

（二）教学内容分析

函数是现代数学的最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。在高中阶段，函数不仅贯穿高中数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具与基础。

导数是研究函数性质的重要工具，利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的极值和最值，也是解决优化问题的一种通法。教材中给出了对具体函数单调性的求解范例，对含参函数的论述较少（教科书第104页练习题19题）。通过本节的学习学生可以进一步理解掌握利用导数研究含有参数的函数的性质，以及函数最值的确定。因为参数的出现使得很多确定的因素变成了不确定，解决问题时往往需要分类讨论，明确分类的依据、分类点的确定、讨论顺序的清晰等对学生思维提出了较高的要求，同时问题的解决也使学生思维能力得到充分的锻炼和提升，同时学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等学科素养得以提升。

（三）学习任务分析（见图1）

图1 学习任务分析

（四）具体学情分析

在必修第一册中，教科书给出了函数单调性、函数最值的定义，并运用定义研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的单调性和最值，学生对函数的单调性和最值有一定的了解。

在这节课之前，学生也能借助导数研究确定函数，并能确定函数在定区间上的最值，对利用导数研究函数已有初步的认识和尝试。对于含参函数的研究，在前面单调性的研究中，学生有过接触，因为参数的不确定性必然会带来分类讨论，分类讨论需要清晰有序的思维，对学生能力要求较高，学生有一定的基础，但还不够娴熟，对分类的点和清晰有序的描述还存在很大困难。

树立函数思想、构造恰当的函数、利用导数研究函数最值、利用函数最值解决问题也是在本节课的问题解决中学生突破难点需要学习和积累的重要的思想和方法。

二、教学目标

（一）教学目标

1.利用导数研究含参的函数单调性，并能确定函数在定区间上的最值；利用导数研究确定函数在动区间上的最值。能根据问题情境恰当地建立函数关系，并利用导数进一步研究函数的性质，充分体会导数在研究函数中的作用。

2.通过对参数的讨论，进一步明确分类的依据、讨论的顺序，体会分类讨论、数形结合等数学思想方法的运用，在问题解决中感受逻辑推理的有序性、严谨性，从而发展提升思维能力。

3.通过自主探究、小组合作、全班交流的形式，逐步解决问题，树立学生团队协作意识，提升学生自主学习能力，在相互交流合作中，解决问题，激发思维，提升能力，发展素养。

（二）教学重难点及教学策略

1.重点：利用导数研究含参函数的性质从而确定函数的最值。

教学策略： 函数的最值往往根据函数的单调性和定义域区间决定，本节课精选两道例题——含参函数在定区间上的最值、确定函数在动区间上的最值，从两个不同角度让学生通过对参数的讨论理解函数最值确定的本质，以及利用导数研究函数的方法。

2.难点：对含参问题的分类讨论，以及构造函数解决问题的思想方法。

教学策略： 通过自主思考、小组合作、全班讨论的方式不断突破难点，最终让学生明确决定函数最值的因素、导数的作用、分类讨论中分类的依据、讨论点的确定、讨论顺序的清晰，突破难点，锻炼思维，提升素养。

三、教学评价

（一）核心知识评价

能利用导数研究函数的性质和变化规律，理解函数的极值和最值，会求闭区间上的函数的最值。

（二）思想方法评价

能根据具体问题的背景构造函数，能将问题恰当地转化为函数最值问题；能利用导数研究函数的性质，确定函数的最值解决问题；在用导数研究函数(特别是含参函数)的性质过程中，能正确进行分类讨论解决问题。

（三）关键能力评价

能利用导数对函数单调性、极值、最值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用导数有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题。

（四)课堂表现评价

表1 课堂表现评价

四、教学过程安排

表2 教学过程

(续表2）

(续表2）

五、教学反思

（一）精心设计问题，驱动学生思考和探究，理解知识本质，突破问题难点

导数是研究函数最有力的工具，我们常常利用导数符号判断函数的单调性，从而确定函数的极值、最值，进一步解决更多的问题。参数的出现使许多因素变成不确定，而只有对问题本质真正理解才能让我们知道每一步需要什么，字母参数可能取什么值，在不同取值情况下结果如何……含参函数问题的讨论一向是许多学生发怵的地方：为什么讨论？在哪儿讨论？怎么讨论？本节课精心设计了两个问题：一个是确定含参函数在定区间上最值问题，一个是确定确定函数在动区间上的最值问题。两个问题的解决的共同点就是：主体思路都是通过导函数的符号确定函数的单调性，通过极值和定义域区间端点值大小的比较确定函数的最值。不同点则是：第一个问题由于函数含参，导函数也是不确定的，导函数的符号也是不确定的，导函数零点的大小也是不确定的，函数在定义域区间两个端点处的函数值也是不确定的，不确定就要讨论，所以此题更凸显分类讨论思想发法的本质，意在帮助学生通过此题进一步明确分类讨论的依据，讨论点的分类特点，讨论顺序的清晰有序。而第二个问题由于函数是确定的，所以导函数是确定的，但导函数的符号还是无法直接确定，在比较定义域区间两个端点值的大小时也出现了无法比较的情况，但此题无法通过对参数的讨论而解决，而是需要重新构造函数再研究，意在进一步帮学生树立函数思想，掌握利用导数研究函数的方法。这也凸显了看似同样的困难却是不同的解决方式。所以方法的应用、问题的解决还是要引领学生看透问题的本质。

（二）注重探究、对比、提炼，促进学生深度思维，提升分析问题、解决问题的能力

本节课给出的两个问题都是探究函数在闭区间上的最值问题，但仔细比较，第一个是含有参数的不确定的函数在确定的闭区间上的最值问题，第二个则是确定的函数在不确定的闭区间上的最值问题。同时确定函数最值，解决问题的整体思路是一致的，研究函数的导函数的符号，确定函数的单调性，比较极值和定义域区间端点值的大小，确定函数的最值。在整个问题解决过程中学生遇到了两次困难，也看到了两个问题不同的处理方式。

首先是两个问题在确定导函数符号时都出现了无法判断的情况，此时对比会发现第一个问题是由于参数的不确定，带来了导函数的不确定，导函数符号的不确定，分类讨论即可解决；第二个问题中函数是确定的，与参数无关，无须分类讨论，所以采取了更为新颖的方法——重新构造函数再研究，利用导函数的增减性确定其符号，两个问题处理的方式截然不同。

其次是在比较端点值大小的时候，两道题由于函数不确定和区间不确定，都出现了端点值大小不确定的情况。第一个问题的突破，只需要对参数进行讨论比较即可，第二个问题的解决则无法讨论参数，而是采用了作差法，再次构造函数再研究，利用新函数的单调性和最值确定了大小关系。类似的问题、类似的困难，截然不同的处理方式，在思维的障碍处看到不同的处理方式，学生有种豁然开朗的释然和欣喜。

解题是数学学习不可或缺的部分，有时我们的课堂上例题不必多，但要精。同时要引领学生解题后反思、对比、提炼，在相同的地方看到本质，学会通法，在不同的地方看到思维的灵活、解法的多样，我想是对学生能力的提升最好的助力。

（三）加强合作交流，注重动手实践，促进学生深度学习

数学的学习必须有自己独立的思考，但学生思维的打开、能力的提升还需要更多的合作与交流。在解决本节课的两个问题时，学生都遇到了困难：第一个问题有些同学讨论不清，走着走着就乱了，小组的合作中，在同伴的帮扶下捋顺思路走出困境；第二个问题中导数是确定的却无法判断其符号，有的同学通过特殊值试到了函数的零点，但说明两边的符号不严谨，全班交流时很多学生提出了疑问，在思辨的视角下学生找到了更好的方法。

通过小组合作交流可以进一步开拓学生的思维，通过全班的反馈和提炼，也更有利于学生认识问题的本质，让问题有方法突破，让思维更加严谨，让表达更加有序而清晰。所以建立适当的学习共同体，课堂上更多地为学生创设机会，让学生多想、多说、多练，让学生在思维更多的碰撞中开拓视野、树立自信、增长能力是非常重要的。