基于二次谐波的对称波纹板早期损伤检测

2022-11-03 06:21孙晓强

河北工业大学学报 2022年5期

孙晓强，胡宁

（1.重庆工业职业技术学院通识教育学院，重庆401120；2.河北工业大学可靠性与智能化电气装备国家重点实验室，天津 300130）

0 引言

在材料的生产和服役过程中，位错、空位、晶界和微裂纹等总是无可避免的引起材料早期损伤，导致材料性能退化。材料早期损伤潜伏期长，如材料服役寿命的绝大部分均由早期损伤占据[1]；材料早期损伤隐蔽性强，如液体渗透、磁粉、涡流、X射线和线性超声波等传统的检测技术对早期损伤敏感程度低[2]；材料早期损伤危害性大，如微裂纹易聚集成长扩展形成宏观裂纹进而引起材料失效，造成极大的安全隐患。

为了克服传统检测技术对材料早期损伤不敏感的瓶颈，人们提出了非线性超声检测技术。随着材料早期损伤程度的加剧，材料应力应变关系的非线性程度增强，通常人们采用朗道超弹性本构模型理论[3]来描述这种材料非线性。固体材料早期损伤引起材料微观结构发生变化，导致材料本构关系非线性化，即材料微观力场不均匀非线性化。有限幅值超声波通过不均衡非线性变化的力场之后，必然出现超声波的波形畸变。波形畸变意味着信号中出现了新的频率成分，一般地，这些成分包括和差频[4-5]、倍频[6]和零频[7]。针对常常采用的时域有限宽超声波脉冲激励，载波频率为零的零频成分（又被称为静态位移分量或者直流分量[8-9]）使原本关于时间轴对称的脉冲失去对称性，倍频与和差频等成分使原本光滑的波形变成锯齿状。利用这些产生的与材料早期损伤相关的新频率成分来检测材料早期损伤的技术，即非线性超声检测技术。

体波问题相对简单，人们率先研究了体波非线性超声检测技术相关原理。经过多年的研究和发展，体波非线性超声检测技术可大致分为体波零频分量检测技术、体波混合波检测技术和体波高次谐波检测技术。3种非线性波分量均由相同的本构模型导出，对应的3种技术具有一些共性。人们采用了相似的方法，即用非线性波信号的幅值与基波幅值平方[10]（混合波为两基波幅值乘积[11]）之比作为超声非线性系数，来衡量材料的非线性。由于3种非线性波分量具体产生的方式和机制的差异，对应的3种技术也具有一些区别。混合波只在混合区域产生，这使得该技术具有被称道的损伤定位和抗干扰能力[4]。但混合波技术操控复杂，工程应用存在一些困难。体波无色散，基波激发的二次谐波不存在相速匹配条件的限制，零频分量和二次谐波分量对应的超声非线性系数，随着基波传播距离增加均线性增加，都能快速检测基波传播路径上早期损伤的平均水平。但零频和二次谐波检测技术的损伤定位和抗干扰能力，还需要进一步的研究和提升。

由于板材被广泛采用，为确保生产生活安全，板材早期损伤检测问题日益受到人们重视。由于薄板中的超声导波具有衰减小、传播距离远、检测效率高等优势，人们将体波非线性超声检测技术推广应用于板材早期损伤检测，形成了与体波相应检测技术类似的非线性兰姆波超声检测技术。板材上下两个自由面边界条件，使得兰姆波具有复杂的色散和多模态属性，导致非线性兰姆波理论研究具有一定的复杂性。现在，基于二次材料弱非线性假设，采用微扰摄动和模态展开法，人们建立了自洽的非线性兰姆波理论体系，明晰了相关检测技术的原理[2，6，12-16]。非线性兰姆波超声检测技术也可分为非线性兰姆波混合波检测技术[4-5]、非线性兰姆波零频分量检测技术[12，17]和非线性兰姆波高次谐波检测技术[6，16]，非线性兰姆波超声检测技术的损伤因子与非线性体波超声检测技术相应的损伤因子形式上保持一致。关于这3种技术的特点和比较，笔者在文献[2]中进行了详细叙述，不再赘述。为拓展非线性兰姆波二次谐波检测技术的检测能力和应用范围，本文主要聚焦非线性兰姆波二次谐波检测技术。

人们对非线性兰姆波二次谐波展开了大量理论仿真和实验研究，提出了著名的相速匹配条件[6，16]。相速度匹配条件，要求二次谐波与基波的相速度相等，这使非线性兰姆波二次谐波的传播变化规律和非线性体波二次谐波的传播变化规律区别开来。一旦相速度匹配条件不能满足，二次谐波将随基波传播距离增加发生正余弦函数周期振荡变化[18]，不再像体波二次谐波传播变化规律那样随基波传播距离增加而线性增长。这是因为兰姆波具有色散属性，除少部分有限的频率对之外，二次谐波和基波的相速度通常是不相等的。那么，在兰姆波基波传播过程中，新产生的二次谐波将会和先前产生的二次谐波发生波的干涉，进而导致在波传播路径上，形成二次谐波周期变化的现象。针对非线性兰姆波，相速失配是常态。此时只能利用二次谐波周期变化的第一个周期中的上升部分来测量材料的非线性，这意味着检测距离最大为二次谐波变化空间周期长度的一半，这极大地限制了二次谐波的应用。为了使二次谐波随基波传播距离增加而线性增长，获得更长的检测距离，人们提出了模态对和低频S0模态波检测方法[18]以期克服相速匹配条件的制约。

在兰姆波相速度色散图上，存在一些相速度相等的模态对，这些模态对中的高频项频率正好是低频项频率的二倍。以其中的低频模态作为基波，能够激发相应模态的倍频。由于事先选择的模态对满足相速匹配条件，二次谐波能量随基波传播能够持续线性累积。该方法巧妙地利用了兰姆波的色散和多模态属性，为非线性兰姆波二次谐波检测技术的实际应用奠定了一定基础。为了弥补频率模态对分散、数量少、技术操作难度大、检测效率低等缺点，Wan等[18]提出了低频S0模态波方法。低频S0模态色散相对较弱，相速匹配条件近似满足，能够获得较大的二次谐波可持续线性累积的距离。该方法鲁棒性好，信号处理简单，近年来，低频S0模态非线性兰姆波二次谐波检测技术得到了研究者的广泛关注和研究。低频S0模态波方法，极大地增强了非线性兰姆波二次谐波的检测能力。然而，低频S0模态波方法的基波频率可选择的频率宽度是狭窄的，二次谐波可持续线性累积的最大距离随着基波频率增加迅速下降，依据理论计算或者文献[18]提供的数据，当基波频率为300 kHz时，二次谐波线性累积最大距离为162 mm；当基波频率为500 kHz时，二次谐波线性累积最大距离为16 mm，可以说此时该方法已几乎失效；要获得半米的线性检测距离，基波频率必须低于200 kHz。脉冲周波数一定时，基波频率越低，脉冲波包长度就越长。实际采用的板材一般不是无限大的，低频脉冲更容易导致基波和边界的反射回波混叠在一起。幅值一定时，频率越低，超声波所含能量越少，频率太低可能不利于材料非线性的检测。另外传统的兰姆波二次谐波检测技术，主要针对的是厚度均匀的薄板，对于厚度不均匀的板材，如厚度周期变化的对称波纹板，未见报道。

本文通过理论和仿真研究，将非线性兰姆波二次谐波检测技术，推广应用于对称波纹板结构的早期损伤检测。第1小节构建结构准相位匹配理论，第2小节建立有限元仿真程序验证结构准相位匹配理论，第3小节基于结构准相位匹配理论，提出波纹板结构早期损伤二次谐波检测技术，并实施基于二次谐波的波纹板早期损伤检测。

1 结构准相位匹配理论

设薄板厚度为2h，参与波动的质点在x1-x3平面内运动，设兰姆导波传播方向沿着x1方向，x3方向指向板面法向。由文献[2，6，13-14，16]易知，相位失配时，非线性兰姆波二次谐波解可写为

式中：x1为基波传播的距离；an(x1)为二次谐波第n阶传播模态的速度场幅值；k和分别为基波和二次谐波第n阶传播模态的波矢；Pnn表示存在二次谐波第n阶传播模态；分别为从薄板表面和内部流入二次谐波第n阶传播模态的能量流。的表达式繁杂，一般不给出其显式表达式。式（1）给出了二次谐波变化的空间周期距离为二次谐波可累积的最大空间距离为

考虑如图1所示波纹板周期结构，材料为各向同性均匀材料，波纹板上表面满足函数x3(U)=h-Asin((2π∕Λ)x1)，下表面满足函数x3(L)=Asin((2π∕Λ)x1)-h，其中，2h为波纹板的平均厚度（与厚度均匀的薄板的厚度保持一致），A为正弦函数的幅值，Λ为波纹板表面形貌轮廓的空间周期长度，Ln为厚度为2h均匀板中兰姆波二次谐波周期变化的空间周期长度。模型中，针对结构准相位匹配，设置Λ=Ln（与Ln相近的数均可以考虑作为Λ的值），A＜h。

图1 结构准相位匹配波纹板周期结构示意图Fig.1 Geometry of the periodically undulated plate for structure quasi-phase-matching(SQPM)

为了简便，假设基波能量不衰减。以S0模态兰姆波为例，能量流fn与波纹板厚度有关。设厚度为2h的厚度均匀的薄板中的能量流为f0，则波纹板中能量流为

式中，h(x1)为波纹板的厚度函数。将式（4）代入式（3）得

式中，xΛ=[x1∕Λ]·Λ∈[0,Λ]表示基波激励位置在波纹板一个周期单元中的相对位置坐标（本例中xΛ=0）。定义：

对厚度为2h的均匀薄板，在波传播距离Λ=Ln内，Δk(x1,xΛ)=Δk保持不变，易知，此时有：而对空间周期为Λ=Ln的波纹板，Δk(x1,xΛ)为Λ和xΛ的函数

式（7）意味着当基波在波纹板中传播距离为Ln时，二次谐波幅值并不会像其在均匀厚度板中那样减小到最小值。由于兰姆波复杂的色散关系，期望得到波纹板中ΔΦ(Λ,xΛ)的显式表达式是不切实际的，幸运的是这个函数的具体表达式并没有那么重要。

如图1所示，波纹板可以看成是完全相同的空间长度为Λ=Ln的周期单元组成，于是可设ΔΦ(Λ=Ln,xΛ=0)=ΔΦ。第2个单元产生的二次谐波，将与第1个单元产生的二次谐波相互干涉，这种波纹板中的二次谐波干涉叠加规律与厚度均匀薄板二次谐波干涉叠加的规律类似。于是，式（5）可以写为

式中，g1(Λ,xΛ)和g2(Λ,xΛ)为2个与Λ和xΛ相关的可调常数，由于兰姆波复杂的色散特性，和通常的做法一样，不给出其具体的显式表达式。于是，二次谐波能量可写为

式中，E表示二次谐波的能量，如果Λ≈Ln，用ΔΦ(Λ,xΛ)代替ΔΦ，式（9）可写为更为一般的形式：

由式（9）和式（10）可知，波纹板中二次谐波能量空间周期变化的长度为

方程（13）意味着，当Λ取得合适的值时，可以使等式 |ΔΦ(Λ,xΛ)|=0成立，这时二次谐波能量随波传播距离以二次函数形式增长，增长过程中伴随着振荡。

对于结构准相位匹配，二次谐波变化空间周期Ln是比较重要的参数。在结构准相位匹配中，波纹板的空间周期长度Λ在Ln附近取值，推荐调整参数Λ，xΛ和A以获得足够小的 |ΔΦ(Λ,xΛ)|，最理想的情况是使得 |ΔΦ(Λ,xΛ)|为零，以使二次谐波能量随波传播距离以二次函数形式增长。

2 有限元仿真

采用商业软件COMSOL[18，20]来验证材料准相位匹配理论（ABAQUS的仿真计算结果类似），为了计算的效率和精确性，采用二阶矩形单元，根据文献[18]，最大的单元尺寸和时间步按照下面两式计算：

式中：ΔI为单元尺寸（0.2 mm）；Δt为时间步（5×10-8s）；λmin和fmax分别为最短的波长和最高频率。

显然，针对结构准相位匹配，应考虑足够多的空间周期单元。如果基波频率仍为较低频率，比如200 kHz，对应的周期单元长度约为1 400 mm，那么整个模型的长度就会过长，导致计算时间过长，导致计算结果文件过大。所以应提高基波频率，以减少周期单元的长度，从而减小模型长度。以500 kHz激励频率为例，对应的基波和二次谐波相速度分别为5 314.8 m∕s和4 709.9 m∕s，由文献[18]或者通过式（2）计算得到周期单元长度大约为Λ=Ln=41mm。具体模型如图2所示，模型长度为900 mm，包含22个重复周期单元，作为示例，第1个单元展示于图2中的上半部分，模型左端边界施加位移激励：x(t)=0.5Psin(2πft)(1-cos(2πft∕N))，f(=500 kHz)为中心频率，N(=10)为脉冲周波数，P(=10 MPa)为脉冲幅值，模型左端边界处的加载正好使xΛ=0。模型平均厚度为2 mm，边界轮廓的形貌函数幅值A设置为0.7 mm，从x1=0 mm至x1=680 mm，每间隔1 mm设置一个信号提取点，信号提取点总个数为681个。网格尺寸大小为0.2 mm，整个模型的材料参数列于表1。模型右端边界施加低反射边界条件以消除反射波和模型刚性位移，模型上下表面为自由表面。

图2 结构准相位匹配二维波纹板周期结构仿真模型Fig.2 Schematic of the simulation model of a 2D periodically undulated plate element for SQPM

表1 铝板材料参数Tab.1 The material parameters of aluminum plate

理论解析解和模拟结果如图3所示。其中，图3a）和图3b）分别为未使用结构准相位匹配的理论结果和仿真结果，仿真和理论结果符合的较好，均与前人的相关研究结果保持一致，二次谐波能量随基波传播距离增加呈周期性变化，且变化的空间周期长度约为41 mm。图3c）和图3d）分别为使用结构准相位匹配的理论结果和仿真结果，可见仿真结果和模拟结果符合的很好，且易知通过结构准相位匹配，将二次谐波能量的最大累积距离从20.5 mm提高到了175 mm，将二次谐波能量幅值提高了一个数量级。

图3 二次谐波能量随波传播距离变化关系图(xΛ=0 mm,Λ=41 mm)Fig.3 Energy of the second harmonic plotted as a function of wave propagation distance(xΛ=0 mm,Λ=41 mm)

|ΔΦ(Λ,xΛ)|的值越小，二次谐波能量可累积的距离就越大。为了获得更大的累积距离，在范围[35,45]mm内，以间距1 mm修改模型的周期单元长度Λ，经过多次有限元模拟计算，发现38 mm为该模型（A=0.7 mm，10周期500 kHz汉宁窗脉冲激励，单元周期长度扫描区间为[35,45]mm，扫描间距为1 mm）的最佳周期单元长度。图4a）和图4b）分别展示了对应模型的理论解和模拟结果，显然模拟结果与理论解符合。与前面周期单元长度为41 mm的模型相比，二次谐波能量可累积距离从175 mm提高到了503 mm，同时有更多的能量从基波流向了二次谐波（更小的 |ΔΦ(Λ,xΛ)|）。显然，可以通过结构准相位匹配，使二次谐波获得更长的可累积距离和更多的能量。通过大量的模拟，发现A在范围[0.5,0.9]mm内取值时，相应模拟结果趋势大同小异。当A较小时，模拟结果和2h均匀厚度板区别不大，当A较大时，将出现明显的反射波现象。理想的情况是调节参数Λ，xΛ和A以使 |ΔΦ(Λ,xΛ)|的值为零，由于仿真的网格不可能无限小，通过仿真实现理想情况以使 |ΔΦ(Λ,xΛ)|的值为零是繁琐的，为了简便，通过理论直接给出结果。假设基波能量不衰减，图5给出了 |ΔΦ(Λ,xΛ)|为零时，二次谐波能量随基波传播距离增加的变化关系图，易知二次谐波能量随基波传播距离增加出现二次函数形式的增长，过程伴有周期振荡。需要提及的是，由于兰姆波复杂的色散特性，模拟中不同的参数（如A,Λ,h,f），将导致g1(Λ,xΛ)，g2(Λ,xΛ)和 |ΔΦ(Λ,xΛ)|取不同的值。

图4 二次谐波能量随波传播距离变化关系图(xΛ=0 mm,Λ=38 mm)。Fig.4 Energy of the second harmonic plotted as a function of wave propagation distance(xΛ=0 mm,Λ=38 mm)

图5 |ΔΦ(Λ,xΛ)|为零时二次谐波能量随基波传播距离增加以二次函数震荡增长（理论解）Fig.5 Energy of the second harmonic plotted as fluctuating increase in quadratic function with wave propagation distance when |ΔΦ(Λ,xΛ)|equals zero(theoretical results)

3 基于二次谐波的对称波纹板早期损伤检测

第2节中，通过结构准相位匹配，提高了兰姆波二次谐波的累积距离和最大累积能量值。在结构准相位匹配原理指导下，能够实施基于二次谐波的对称波纹板早期损伤无损检测。依据结构准相位匹配原理，针对边界变化的空间周期波长为Λ的波纹板，确定二次谐波随基波传播距离增加的周期变化空间距离Ln(Λ=Ln)，进而依据Ln和公式（2）确定基波的频率，即实现待测波纹板的选频。然后为确保探测到的二次谐波信号能量随基波传播近似线性增长，易知布置的探头之间的间距需约为ln（或为ln的整数倍），即实现信号检测的探头布置。最后按照非线性超声检测的传统做法，依据检测信号点拟合直线的斜率大小，判断检测材料的早期损伤的损伤程度大小，即实现了波纹板早期损伤检测。

以图2给出的波纹板为例，演示波纹板早期损伤检测过程。波纹板周期单元长度Λ大约为41 mm，由此可以确定二次谐波随基波传播距离增加的周期变化空间距离Ln大约为41 mm，由于波纹板平均厚度为2 mm，由公式（2）可以选定基波频率大约为500 kHz，进一步可选定检测探头之间的间距约为20 mm。为了模拟不同程度的早期损伤，建立3个有限元仿真模型，3个模型的三阶弹性常数分别设定为表1中相应参数的1倍（记为1TOE）、5倍（记为5TOE）和10倍（记为10TOE）。模拟结果如图6所示，易知二次谐波能量随基波传播距离增加而线性增加；当材料非线性程度增大（TOE增大）时，测得的二次谐波变化曲线的斜率增大；二次谐波线性累积距离由与波纹板对应的平板相应的二次谐波线性累积距离20 mm提高到了160 mm，检测效率得到了提高：即实现了基于二次谐波的对称波纹板早期损伤的高效检测。

图6 二次谐波能量随波传播距离增加而线性增长Fig.6 Energy of the second harmonic plotted as linear function with wave propagation distance

4 结论与讨论

本文提出了结构准相位匹配原理，通过理论和模拟论证了当相速匹配条件不满足时，可通过结构准相位匹配，使二次谐波克服相速失配的限制，增大二次谐波累积的效率，实现二次谐波能量的可持续累积。理论上针对任意频率，均存在合适的波纹板结构满足结构准相位匹配。以结构准相位匹配原理为指导，可以实施基于二次谐波的对称波纹板早期损伤的高效检测。依据待测波纹板的空间周期和平均厚度确定的频率和探头分布间距，不可能也不需要完全满足理论的理想情况，这使得基波频率和探头布置间距参数的确定具有较大的灵活性，即相应检测技术的可行性和实用性得到了保障。实际应用中，为了方便，当检测到的二次谐波数据出现下降的趋势时，即可确定检测的最大距离为该曲线的拐点对应的距离，而这个最大距离可以依据结构准相位匹配原理通过调频来满足检测的长程性需求，即相应检测技术的检测效率得到了保证。依据拐点前的数据进行直线拟合，根据拟合直线斜率的变化即可实现波纹板早期损伤程度变化的监测。当然，需要注意的是，检测探头分布间距确认后最好是保持不变，即相应检测技术特别适合实时在线监测；如果探头间距和位置变化不大，也是可以接受的，即相应检测技术也适合线下检测。

基于本文的结构准相位匹配理论和仿真研究基础，未来针对性地开展相关实验研究是方便的。通过结构准相位匹配能够提高二次谐波的转换效率，由于材料非线性通常是微弱的，二次谐波转换的效率仍然较低，开发基于结构准相位匹配的频率转换器，仍然存在诸多问题需要研究和克服。