混凝土圆形构件等效矩形应力参数的计算分析

章胜平，陈 旭，楚秀娟

(1.昆明理工大学 建筑工程学院，云南 昆明 650504；2.昆明学院 建筑工程学院, 云南 昆明 650214)

0 引 言

钢筋混凝土圆形截面受压构件常用于桥墩、钻孔灌注桩等结构，设计中需要计算其压弯承载力[1-2]。GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》(后简称《规范》)等相关规范中压弯承载力计算均采用混凝土矩形受压区等效矩形应力模型。在美国ACI协会规范中，等效矩形应力模型参数基于实验数据确定[3]。L.F.KHAN等[4]对非矩形受压区参数进行了实验研究。等效矩形应力模型参数与材料性能有关，一种新材料出现后需做新的实验获得新的参数，因此针对不同材料(如高强、高性能混凝土)，大量实验研究相继开展，H.C.MERTOLD等[5]基于21个试件提出了一套适用于高强混凝土的参数；J.PENG等[6]基于实验分析了应变梯度对参数的影响。尽管如此，确定参数时实验数据还是无法充分。

因此，等效矩形应力模型参数基于材料本构关系理论模型，以理论推导方式确定更为合理[7]。M.K.AL-KAMAL[8]基于高强混凝土本构特性提出等效三角形应力理论模型；F.YUAN等[9]推导了FRP约束混凝土参数理论模型。在《规范》等效矩形应力模型中，对C50及以下强度等级混凝土，参数α1和β1取为定值，其推导过程中有两个重要假定。其一，假定截面为矩形。《规范》指出参数β1用于圆形截面会带来一定误差。腾智明[10]、E.COZENZA等[11]、R.D.LAORA等[12]推导圆形截面压弯简化计算公式过程中，采用了矩形截面的参数取值(β1=0.8)。圆形与矩形比较，材料分布差异大，如果假定合力位置相同，将高估圆形截面抵抗弯矩，偏于不安全。其二，假定混凝土受压边缘应变εc1为定值(等于压弯极限应变εcu=-3.3‰)这符合大偏心受压破坏力学特性，但不符合小偏心受压破坏，如在C50及以下混凝土的轴压情况下，应变偏差为39%。因此α1和β1与受力有关，受力大时应变大受力小时应变小。受力对矩形和圆形影响程度不同，圆形是否可与矩形一样忽略此影响[13]？圆形桥墩柱在轴压或小偏心受压工况破坏时脆性大，将此情况处理为大偏心受压矩形截面，从理论上说不合理也不安全。

圆形截面存在宽度方向变化非线性，解析公式冗长复杂推导难度大，通常用条带法[14]。笔者采用解析法，考虑所有可能受力(考虑εc1≠εcu)情况，推导圆形截面等效矩形应力模型参数解析解，通过条带法数值解验证解析解，通过数值分析给出α1和β1建议值，以期为我国规范修编提供理论参考。

1 公式推导

1.1 等效矩形应力模型

混凝土结构应用较多是在C50及以下强度等级混凝土。基于构件的压弯承载力设计采用混凝土单轴本构关系。《规范》给出了C50及以下混凝土的受压应力-应变为抛物线-矩形关系(不考虑抗拉强度)。假设应力、应变以受拉为正，受压为负，则C50及以下混凝土本构关系计算公式为：

(1)

式中：σ为应力；ε为应变；fc为混凝土轴心抗压强度设计值；ε0为轴压极限应变，ε0=-2‰；εcu为压弯极限应变(极限点)，εcu=-3.3‰。

抛物线-矩形关系是基于实验数据得出的经验模型，虽然该简化模型数学形式已较简单，但用于压弯承载力计算仍有不便，因此《规范》在压弯承载力简化计算公式中对它做了进一步简化。假定截面为矩形，将抛物线-矩形等效处理为矩形，即混凝土应力为常量(α1fc)，等效应力块高度对真实受压区高度折减系数为β1，α1和β1为《规范》等效矩形应力模型参数，如图1。混凝土应力等效矩形模型是多数国家规范采用的处理方法，精度取决于参数α1、β1。对C50及以下混凝土，在较多规范中α1和β1被假定为定值。

图1 等效矩形模型

从单向受弯力学性能看，圆形截面与矩形截面相比，圆形截面处于劣势，这是因为材料分布由内(形心轴)向外减小。在合力相同条件下，圆形截面对形心轴力臂小于矩形，抵抗弯矩圆形截面小于矩形截面。如果假定两者受压区等效矩形应力高度折减系数相同，将高估圆形截面弯矩承载力，偏于不安全。

1.2 等效矩形应力模型参数解析解

按照本构关系，由应变计算得到应力，如图2。假设截面受压边缘混凝土应变为εc1，混凝土受压区高度为x，则高度方向任意位置应变ε与其角度坐标θ关系为：

(2)

式中：z为高度方向坐标，以截面受压边缘为原点；r为截面半径；角度坐标θ以顺时针方向为正。图2中θx为受压区高度x对应的角度。

图2 计算简图

在如图2的等效矩形应力分布模型中，假设α为应力饱满系数，β为合力位置系数，混凝土截面内力(轴力Nc和弯矩Mc)为：

(3)

式中：b(·)为截面宽度函数。

为消除变量混凝土强度等级和截面半径影响，采用轴力Nc和弯矩Mc无量纲形式[15]，无量纲轴力νc和弯矩μc为：

(4)

则有：

(5)

按照等效前应力分布(抛物线或抛物线-矩形)，轴力和弯矩计算为：

(6)

式中：σc(·)为混凝土应力。

式(5)和式(6)分别是轴力和弯矩按照等效矩形模型和应力-应变本构关系的计算公式。联立式(5)、式(6)，代入本构方程式(1)，去掉积分推导获得α和β解析解。本构方程中混凝土应力是分段函数，因此解析解推导须分段进行，分为抛物线应力和抛物线-矩形应力两种情况。

1.2.1 抛物线应力

在小偏心受拉、纯弯和大偏心受压(轴力较小时)破坏情况下，混凝土应力曲线为抛物线。由式(1)第一项、式(2)～式(6)，可推导出等效矩形模型参数α和β解析解为：

(7)

(8)

求解式(7)、式(8)，化简整理得到C50及以下强度等级混凝土圆形截面抛物线应力状态等效矩形应力模型参数解析解为：

(9)

(10)

从式(9)和(10)可以看出，α和β的解析解不是定值，与本构方程[式(1)]、受压区高度(x)和应变(εc1)有关。

1.2.2 抛物线-矩形应力

在大偏心受压(临界点区域)、小偏心受压破坏情况下，混凝土应力曲线为抛物线-矩形。由式(1)～式(6)，可推导等效矩形模型参数α和β。解析解为：

(11)

(12)

式中：塑化点对应角度θ0计算公式为：

(13)

求解式(11)、式(12)，化简整理得到C50及以下强度等级混凝土圆形截面抛物线-矩形应力状态等效矩形应力模型参数解析解为：

(14)

(15)

从式(14)、式(15)可以看出，α和β不是定值，与本构方程[式(1)]、受压区高度(x)和应变(εc1)有关。

需要说明的是，在推导过程中，笔者采用纤维条带数值积分法[16]自编程序[式(7)、式(8)、式(11)和式(12)]验证解析法公式，结果表明解析法公式[式(9)、式(10)、式(14)和式(15)]与条带法完全吻合。

另外，图2等效矩形应力分布模型按照真实受压区高度(x)计算，图1按照折减受压区高度(x1)计算，两套系数之间的换算关系是：

(16)

式中:θx1为受压区高度x1对应的角度。

2 数值计算与分析

由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)可知，α和β解析解自变量为应变，如果知道偏心受力(拉弯、纯弯或压弯)破坏各种情况可能的应变，则得到所有可能的α和β。钢筋混凝土构件偏心受力破坏有3种可能，即受拉钢筋屈服(受拉边缘钢筋应变εs1=受拉钢筋屈服应变εy)、混凝土受压边缘应变εc1达到压弯极限应变εcu和旋转点混凝土应变εr达到轴压极限应变ε0。承载能力极限状态轴力与应变具有对应关系[17]，如果按照轴力由轴拉极限至轴压极限变化，则应变分别按照图3(c)中的5个区域变化(用区域①、②、③、④和⑤表示)。其中，应变AB是大、小偏心受压临界状态(A点为受拉边缘钢筋屈服点，B点为受压边缘混凝土压碎点)，C点为旋转点。εr和εc2计算公式为:

图3 承载力极限状态应变分布

(17)

由式(3)可知，α和β仅与混凝土截面抗力有关，与钢筋抗力无关。基于应变法计算正截面承载力，混凝土截面抗力与钢筋抗力之间没有耦合关系，即满足叠加原理。因此α和β计算公式推导过程中，不考虑钢筋内力。钢筋对应变图有两个地方的影响，其一，受拉边缘钢筋位置定义了图3(c)中A点高度位置；其二，受拉钢筋屈服应变εy定义了图3(c)中区域③和区域④的分界点。但通过数值分析可知，这两个地方对α和β的结果几乎没有影响。

圆形截面弓形混凝土受压区应变按照区域②、③、④和⑤变化，受压边缘混凝土应变εc1由0变化至εcu，受拉边缘钢筋应变εs1由1%变化至e0，由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)计算α和β，由式(5)计算无量纲轴力νc和弯矩μc，计算流程如图4。图4中，i为计数变量，Δ为应变增量(笔者取Δ=-0.05‰)。

图4 计算过程

C50及以下强度混凝土圆形截面按照图4计算流程，得到α和β曲线，如图5(a)。为了比较，在图5(b)同时给出了C50及以下强度混凝土矩形截面α和β曲线。

图5 α和β曲线

比较图5的圆形和矩形截面，可知：

1)《规范》建议的定α和β按照矩形截面区域③、④分析得到，即图5(b)中“α=0.798，β=0.412”，换算为《规范》参数有 “α1=0.969，β1=0.824”。从图5(a)可见圆形与矩形截面不同，圆形截面区域③、④中α和β不是定值，α从0.731增加至0.837，β从0.494减小至0.440。

2)无论矩形或圆形截面，α曲线从0变化至1，反映了混凝土截面应力从0变化至轴压的过程。虽然区域②中α变化幅度大但应力小，因此将区域②中α取值假定为区域③具有合理性。

3)β曲线变化幅度小，圆形与矩形比较β曲线变化幅度更小，圆形β趋近于0.5(即β1=1.0)，表明圆形截面混凝土合力位置趋近于形心轴；虽然“β=0.5”与“β=0.4”在数值上相差不大，但加之圆形宽度方向变化非线性，轴力-弯矩偏差较大。

由此可见，对于α和β解析解，圆形截面与矩形截面差别大。那么对于混凝土抗力，按照α和β解析解计算，与按照《规范》定值参数“α1=1.0，β1=0.8”计算，结果如何？为此，基于应变法，分别按照α和β解析和定值参数计算圆形和矩形截面混凝土抗力，结果见图6。

图6 轴力和弯矩曲线

图6中，矩形截面无量纲混凝土轴力-弯矩为：

(17)

式中：b为截面宽度；h为截面高度。

由图6可以做出以下分析：

1)《规范》中“α1=1.0，β1=0.8”应用于圆形截面时，在小偏心受压区域会高估压弯承载力〔图6(a)〕，由图6(b)可见矩形截面偏差小于圆形。经过比较分析，建议可将等效矩形应力定值参数修正为“α1=0.954，β1=0.829”，修正之后曲线位于解析解内侧偏于安全，且偏差较小。

2)按照修正参数“α1=0.8，β1=1.0”计算得到的曲线与解析解在大偏心受压区几乎重叠，表明在大偏心受压区，圆形截面仍然能够与矩形截面一样采用定值等效矩形应力模型参数，采用笔者定值修正参数能够较好估计圆形截面压弯承载力；虽然按照修正参数在小偏心受压区略低估压弯承载力，但低估轴力增加了安全度，与设计原则“控制轴压比，避免小偏心受压脆性破坏”相一致。

3 结 论

等效矩形应力模型由国内外相关规范普遍采用，模型定值参数由矩形截面假定按照实验结果反算或理论推导方式确定。圆形截面宽度变化非线性，材料分布集中于形心轴，如果套用矩形截面等效矩形应力模型定值参数，会造成压弯承载力结果偏差较大。利用圆形截面微元面积和力臂三角函数表达式，按照轴向-弯曲承载力极限状态所有可能的应变分布，涵盖大、小偏心受压区域，推导圆形截面等效矩形应力图参数应力饱满系数和合力位置系数解析解，给出弓形混凝土受压区压弯承载力解析解计算流程。通过解析解开展数值分析，可以获得下列结论：

1)参数α和β解析解不是定值，与本构关系和受力有关。圆形截面中β变化幅度小，趋近于0.5，混凝土合力位置趋近于形心轴。在大小偏压临界点，矩形截面α和β是定值，圆形截面α和β不是定值。

2)相比矩形截面，《规范》中“α1=1.0，β1=0.8”用于圆形截面压弯计算偏差更大，作者建议可将圆形截面定值参数修正为“α1=0.954，β1=0.829”。