“变”中找“不变”转化单位“1”——自编教材《转化单位“1”》教学例谈

文|钱定娟 蒋明玉（特级教师）

【教学过程】

一、回忆策略，唤醒“转化”

师：同学们，我们学习了很多解决问题的策略：从条件想起、从问题想起、列表策略、画图策略、列举策略、转化策略、假设策略（课件相应演示每个例题图）。五年级下学期学习的转化策略，你还记得吗？

生：通过平移、旋转等方法，把不规则图形转化成规则图形。

师：不直接相加，而是用1 减去空白部分，把繁琐的分数连加转化为相对简单的分数减法。有人说，数学学习就是不断学会转化，把复杂的转化为简单的，把未知的转化为已知的，把陌生的转化为熟悉的。

【设计意图：小学从三年级起学了一系列的数学思想方法以及解决问题的策略，配合相应例题图一一呈现，唤起学生的回忆，聚焦“转化”策略，再一次感受“转化”的魅力，也为下文的“转化”埋下伏笔。】

二、例题教学，凸显“转化”

1.转化单位“1”，已知量作单位“1”。

生：总人数平均分成5 份，男生有这样的2 份。

生：男生2 份，女生3 份，还可以画个图，让数量关系变得更加清晰。

师：想法真不错！（展示学生画的线段图）更清楚地看出男生人数是2 份，女生人数是3 份。

师：你会解答这一题吗？比一比谁的解法更简便。

生2：5-2=3，女生人数3 份，女生21 人，先求出1 份多少人，再求男生2 份多少人。

师：题目中原来是以“总人数”作单位“1”，现在他把谁作单位“1”了？

生：女生人数作单位“1”。

师：（追问生3）你为什么以女生人数作单位“1”？

生3：已知的是女生人数，那么以女生人数作单位“1”就是单位“1”已知了，好算。

师：原来是“总人数”作单位1，现在转化为“女生人数”作单位1，这样就叫“转化单位1”。（板书：转化单位1）这样转化了单位1，你觉得怎么样？

生：以已知数量作单位“1”，直接用单位1 乘分率，解答很简便。

学生解答后追问：原来单位“1”是谁？现在你转化为谁作单位“1”？

小结：转化单位1，以已知量作单位1，思路更简捷、计算更简便。（板书：已知量）

【设计意图：六年级下册的《解决问题策略》第1 课时例题，作为本课的例1 教学，旨在让学生更直观地感受“转化”，更强烈地感受转化单位“1”的好处。转化后，以“已知量”作单位“1”，简缩了思考路径，计算变得很简便。】

2.转化单位“1”，不变量作单位“1”，“不同”变“相同”。

出示例题：猴王把一棵树上的桃分给大、中、小三只猴。大猴说：“我分得12 个。”小猴说：“我分得的是其余两只猴的。”中猴说：“我分得是其余两只猴的。”树上共有多少个桃？

学生读题后，找一找两个关系句，单位“1”分别是谁？

生：都是“其余两只猴总数”。

师：都是“其余两只猴总数”，那单位“1”相同，对吗？

（学生中有的颔首，有的摇头，有的举手）

生：不对，不相同，小猴说的其余两只指的是“中猴和大猴”，中猴说的其余两只指的是“小猴和大猴”。

师：对于自身以外的其余两只，的确不相同！单位“1”不同，那怎么办？

生：转化单位“1”，让单位“1”相同！

师：转化成都以谁作单位“1”呢？为什么？

生：以三只猴分的桃总数作单位“1”，因为桃子总数是不变量的。

师：怎样转化，各猴分的占总数的几分之几？

师：解决问题的策略都不会孤立使用，这里我们除了用转化策略，仍然可以用画图策略。

（师生合作完成线段图，强调标上问题，才是完整的线段图）

师：要求单位“1”总量，现在你会解答了吗？学习纸上算一算。

（指名板演，有用方程解答的，也有直接用对应数量除以对应分率求单位“1”的）

师：同学们，解答这一题时，我们经历了怎样的思考过程？

生：我们发现单位“1”看似相同，实际根本不相同。

生：我们转化单位“1”，以桃子总数作单位“1”，因为桃子总数是固定不变的。

生：我们或列方程，或列算式解答。

小结：题目中原先单位“1”在变化，我们把不同的单位“1”变为相同的，以不变量作为单位“1”，想小猴、中猴分别分得总量的几分之几，进而问题迎刃而解。（板书：不变量）

【设计意图：启发学生在变化中激活思维、打开思路，逐步形成有价值的数学问题。在这样的过程中，学生先是意识到“其余两只”貌似一样的字词但内涵不一样，接着会自问“单位1 不相同，那怎样就统一单位‘1’了呢？”不仅使接下来的探索活动自然顺畅，而且也为接下来的探究活动提供正确的目标和方向。】

3.转化单位“1”，“变”中找“不变”。

出示：甲乙两班原来学生人数的比是7∶8，如果从乙班调8 人到甲班，则甲班学生人数是乙班的。两班共有多少人？

师：比转化为分数，原来甲班人数是乙班的几分之几？现在呢？

师：两个关系句的单位“1”都是乙班人数，对此你有什么想说？

生：跟刚才一样，看似相同但实质上不一样。

生：从乙班调8 人到甲班，则乙班人数在变化，甲班人数也在变化。

师：那你准备怎样来解决这个问题？

生：转化单位“1”。

师：转化成以谁作单位“1”呢？怎样转化？学习纸上填一填。

师：为什么以总人数作单位“1”？

师：如果我们从乙班人数的变化来思考，又该怎样解答呢？学习纸上写一写。

【设计意图：有了前一个例题的学习经验，学生能很快发现原题单位“1”——乙班人数在变化，先后人数不同。在寻找新的单位“1”后，开始建模：如何确定不变量为单位“1”、同一个量变化前后分别占单位“1”的分率是多少、由相差分率与对应的变化数量求出单位“1”。在经历所有的转化以及解答后，再从乙班人数变化角度思考，相当于完成一道“试一试”或“练一练”。】

4.引进“通比”，沟通联系。

师：同学们，我们转化单位“1”，以不变量（板书：不变量）作单位“1”，那除了从分数（板书：分数）角度，我们还可以从份数角度来思考。（板书：份数）

师：原来甲乙两班人数比是7∶8，两班总人数是15 份；现在情况怎样，谁来说？

生：现在甲班5 份、乙班4份，总人数9 份。

师：明明总人数没有增加也没有减少，怎么份数不一样？

生：是不是每一份的标准不一样？

师：就像比较两个图形的面积大小要统一面积单位一样，在这里我们也要统一标准让总人数的份数相同。这个过程，我们称之为“通比”（板书：通比），分数中两个异分母分数变为同分母分数叫“通分”，比中让不变量的份数相同就叫“通比”。

师：15 份和9 份都变为多少份？为什么？

生：15 份和9 份都变为45 份，因为15 和9 的最小公倍数是45。

师：那原来甲班、乙班人数各几份，现在呢？相应的变化在你的学习纸上对应着写一写。

师：为了防止混淆，我们用横线划去通比前的。大家看，甲班人数增加几份？乙班呢？

生：甲班增加4 份，乙班减少的也是4 份。

师：接下来怎么算？写一写算式。你觉得要提醒大家注意什么？

生：这个时候一定要用通比后的份数，2 乘45 等于90 人。

师：“通比”是从份数角度思考，换个角度思考，会有别有洞天的发现！

小结：同学们，这一题甲乙两班人数都在变化，但是总人数不变。我们从分数角度思考，转化单位“1”，把不变量作单位“1 ”，看变化量原来、现在各占它的几分之几。我们又从份数角度思考，“通比”把不变量统一成相同份数，看变化量的份数变化情况，先求一份再求几份。

师：同学们，从通比中的总人数45 份，相差4 份，你看到了转化单位“1”方法中的哪个数了？

师：通比方法是转化单位“1 ”方法的升级版！

【设计意图：学生的思维是开放的，思维被激活，已渐入佳境。通过“转化单位‘1’”方法与“通比”方法之间的沟通联系，让不同解题策略有了整体的关联，从而使学生的解题策略更加聚焦，思维从发散走向严谨、缜密。】

三、总结提升，畅谈“转化”

（略）

【教后反思】

一、是“直面迎击”还是“侧面绕行”

抓不变量思考，是六年级综合问题中一种典型问题，大大小小的练习材料中屡见不鲜，这类问题之所以难以解答，在于比较量的分率往往不以同一标准量为据，即所谓的单位“1”不统一。对于这类问题是直面迎击、透彻解决，还是委婉避开、侧面绕行呢？在我看来，这完全取决于学生的思考、分析、理解是否力所能及。数学知识的编排既要符合知识本身的发展规律，更要符合学生的认知规律。学生习得的知识点往往以“碎片化”的方式贮存，及时进行梳理、盘点、整合，才能将相对独立的“碎片化”的知识串成线、集成块、连成网。

课始从复习小学阶段学习过哪些策略入手，唤醒学生的记忆，然后开门见山地凸显出“转化”策略，为课堂省下很多有效的学习时间。从转化“已知量”作单位“1”，到转化“不变量”作单位“1”，层层递进。大胆地重组教材，选取学生们力所能及的问题深层剖析，抽丝剥茧，既迎合学生探索的心理需求，又在此过程中思维能力拾级而上。

二、是“问题引领”还是“搭梯攀爬”

六年级下册第三单元《解决问题的策略》的例1，是选择合适的策略解决问题，也有一题多解的用意。但安排在本节课开始，则是为了凸显“转化”，以“未知量”作单位“1”转化为以“已知量”作单位“1”，思考的路径简短了，计算起来简便了。如果说例1 的转化功效并非必要、唯一，只是锦上添花、好中求佳，那么例2 的转化则是必要的、唯一的解决问题方法、策略。

例1 让学生们感受到何为“转化单位‘1’”、转化有何奥妙之处，“转化”意识可谓在例1 的启示下生根、发芽、开花。而出示例2后，让学生通过问题引领自主思考——“两句关系句单位‘1’是谁？相同吗？”“不相同怎么办？”，一步步逼近思考的核心：转化成以谁为单位“1”？各占单位“1”的几分之几？怎样解答？自然想到转化为“不变量”即总量作单位“1”，启发学生在变化中激活思维、打开思路，逐步形成有价值的数学问题。而这一转化的过程，由学生在课时作业纸上完成，让每位学生都亲历转化。

思考是一种搜寻更广、潜入更深、更富挑战性的深层智力活动，是学生对数学对象深刻、理性的认识过程。正所谓好的问题犹如一石激起千层浪，让学生沉浸在思考的涟漪之中；又如柳暗花明又一村，让学生在探索顿悟中感受思考的乐趣，思考是艰苦的过程，更是一个享受的过程。要引发学生“智力振奋”的状态，就要将问题这颗“石子”投掷于学生思维的最近发展区，让学生的思维鼓荡、蔓延和发散。

三、是“背道而驰”还是“沟通联系”

转化单位“1”的方法，是从分数角度思考，两个量分别占不变量的几分之几，进而列方程或列算式解答；通比的方法则从份数角度思考，抓住不变量，让其份数相同，再看变化量的份数变化情况，先求一份，再求几份。在近几年的教学实践中，发觉这种方法还颇受学生欢迎，同一道练习题完成时，选用“通比”方法的比选用“转化单位‘1’”方法的人数要多，感觉应该与这种方法只涉及整数范围的运算有关。

老实说，开始也顾虑担心，因为本课课题是转化单位“1”，通比方法中不用单位“1”，直接从份数角度思考，会不会有与课题大相径庭的“嫌疑”呢？会不会被质疑“背道而驰”呢？但细细琢磨、比较，你会发现，通比其实只是转化单位“1”的分解步骤而已，通比中的“总人数45 份，相差4 份”，也就是转化单位“1”方法中相差数量所对应的分率。引进“通比”，沟通两者间联系，不仅解决了这一尴尬境地，而且让学生们深度学习，思维不断走向深入，变得通透、辽远。学生的解题方法是多元的，思维是开放的，通过方法与方法之间的沟通，让不同解题策略有了整体的关联，从而使学生的解题策略更加聚焦，思维也从发散走向严谨、缜密。