以模块题组为载体的“结构化练习”设计与应用

文|陈力

“双减”背景下作业或练习的设计与管理成为大家研究的一个焦点，有效设计数学练习也成为数学教学中减负增效的一个突破口。数学是一门关于结构的科学，运用“结构”的力量可以促进学生牢固记忆、深刻理解和有效迁移。因此，“结构化练习”是数学练习中追求轻负高质的一个重要“脚手架”。

数学“结构化练习”以模块题组为载体，以结构化超越碎片化，以“题组”取代“题海”，追求轻负高质的练习效果。具体来说，它是指数学教师把新知分解成一个个模块（以一节课或一个单元为界），弄清模块的结构组成，围绕模块结构中核心要素的生发过程，运用结构化的思想设计相配套的练习题组，通过结构化题组的训练，促进学生对新知模块结构化理解的形成、巩固、深化与拓展，从而以最优的题组结构练习实现“以少胜多”的目的。“结构化练习”以“题组”形式呈现，但不是一组题的简单拼凑，而是在某一知识模块共同数学本质或思想方法统领下设计出来的具有内在关联性和最优结构的好题组合。

根据上述界定，以“模块题组”为载体的数学“结构化练习”有两个着力点：一方面要精准吃透“模块结构”的内涵与组成，弄清该数学知识模块的数学本质，对它进行结构剖析，解析出核心要素及其相互关联，并围绕该模块结构的生发与完善过程提供相应的练习；另一方面要尽力优化“题组结构”设计策略，遵循分层渐进的原则，安排形成题、基础题、变式题、拓展题等练习梯度，采取结构化的对比辨析、同模变题、逆向编题、内联沟通等方法进行最优组题。

因为数学“结构化练习”着眼于模块结构视角设计配套练习，充分挖掘题组的结构性优势实现题目的优化组合，所以根据数学模块结构发生流程中的各阶段特点，可设计以下一些同步的题组结构练习。

一、模块结构“生成”阶段，设计“形成性”题组结构练习

以一节新授课作为一个模块结构来看，教师要给学生提供丰富的学习材料，通过有序的认知流程，帮助学生建立一个初步的新知认识结构。数学学科的学习材料通常以主题情境题目或尝试练习的形式来呈现，为了有效促进学生新知结构的顺利生成，教师要找准新知模块结构中的核心要点，针对这些要点提供配套的“形成性练习”，并使这些练习题之间具有某种结构关联性，通过结构化题组形成合力，共同促进学生新知模块雏形的初步动态生成。

例如，学习《商不变规律》一课，通过导入环节，学生明确了今天是研究“除法里被除数和除数怎样变化商才不变”这一主题。《商不变规律》这一模块的本质是“除法里变中有不变的要素特征”，其结构组成中的核心要点有：同时乘、同时除以、相同的数（0 除外）等。这些要点之间的关联性是：“同时”“相同”与“乘除”之间的条件性组合。为了促进《商不变规律》模块结构的动态生成，教师出示“（60○□）÷（20○□）=3”让学生尝试练习，在学生练习后选择部分代表性作品组成“形成性练习”结构题组：①（60×2）÷（20×2）=3；②（60×2）÷（20×3）=2；③（60÷4）÷（20÷4）=3；④（60÷3）÷（20÷5）=5；⑤（60×2）÷（20÷2）=12；⑥（60×3）÷（20÷4）=36；⑦（60+20）÷（20＋20）=2；⑧（60－10）÷（20－10）=5。教师运用这些“形成性练习”结构题组让学生展开进一步探索：先按商不变的和商变了的进行分类，观察商不变的题目有什么特点，并按这些特点再次举例验证；对商变了的题目思考为什么会变，如果要使商不变可以怎样修改？并探究“被除数和除数同时加上或减去相同的数”商变不变？通过对上述这些正反材料的结构化辨析，学生初步生成了“被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商才不变”这一模块结构，为后续的进一步巩固和深化认识奠定了基础。

二、模块结构“巩固”阶段，设计“基础性”题组结构练习

前一环节中学生通过形成性学习已初步生成了新知模块的认知结构，该结构还不是很稳定，需要进行一些巩固基础的活动。教师要对新知模块结构进行深度剖析，找准结构中起决定性作用的本质要素，针对这些本质要素安排“基础性”题组结构练习进行即时巩固。“基础性”题组结构练习的设计策略有：围绕该模块结构，设计专项巩固本质内涵或组成要素的结构化题组，该题组遵循由封闭到半开放再到全开放的循序渐进原则，由具体到抽象，逐步递进，抓住相同点进行提炼，根据不同点进行辨析，以少而精的基础性练习对初步形成的模块结构进行首次巩固。

例如，学习《乘法分配律》一课，当学生通过探索初步获得“（a+b）×c=a×c+b×c”的模型结构后，教师围绕该模块中的“两个数的和与第三个数相乘”“这两个数分别与第三个数相乘后的积再相加”“得数不变”等核心要素给学生提供以下专项的基础性结构题组进行巩固：①（42＋35）×2=42×□＋35×□；②27×12＋43×12=（27＋□）×□；③15×26＋□×11=（□＋□）×□；④（□＋□）×□=18×14＋□×□。该题组的结构组成是：前两题是封闭题，第③题是半开放题（有两种不同组合），第④题是全开放题（自由确定第3 个数后再进行两种不同组合），通过这些步步推进的结构化题组练习初步巩固了乘法分配律的模块结构。

又如，学习《小数的意义》一课，小数的本质内涵是“十进分数的另一种表示形式”，学生学了这一课后，要能准确地说出任何一个小数与十进分数意义之间的对应关系。新授之后为了巩固这一模块结构的数学本质，可给学生设计这样的结构化题组：①0.5、0.05、0.005 这三个小数分别表示什么意义？为什么都有“5”，但表示的意义却不一样？②0.5、0.50、0.500 分别表示什么意义？这三个小数都占了整个正方形的一半，为什么表示的意义不一样？③比较0.05 和0.50、0.005 和0.500，每组的两个小数之间有什么相同的地方和不同的地方？通过多维度的结构化辨析，使学生对小数意义的数学本质有一定的结构化理解。

三、模块结构“深化”阶段，设计“变式性”题组结构练习

学生在巩固阶段的训练，是以基础性和模仿性为主，其目的是把新知的模块结构牢固地建立起来。但学习并没有结束，还需要经过一个深化阶段才能灵活地解释和应用模块知识，并使技能向技巧发展。精心设计“变式性”题组结构练习让学生在课堂上当堂巩固，就可以通过少而精的结构化求联训练获得深刻而灵活的理解与掌握，进而减轻练习负担。“变式性”题组结构练习是指围绕新知模块结构，变化呈现形式和应用角度来设计一组具有内在结构关联的练习题，目的是训练学生对所学知识进行灵活变通的能力。

设计“变式性”题组结构练习可采取同模变题、逆向编题、举一反三等策略。

例如，前面提到的《商不变规律》一课，在深化阶段可为学生设计以下“变式性”题组练习，帮助学生深入认识“商不变”的模块结构：判断对错，①35÷7=（35÷3）÷（7÷3）；②18÷6=（18+18）÷（6+6）；③24÷8=（24-12）÷（8-4）；④12×6=（12÷2）×（6÷2）。运用结构化题组让学生展开辩论，获得深度认识：第①题使学生明白，只要条件具备了就要坚信商不变，至于计算中有余数等以后学了分数就能解决了；第②题和第③题让学生透过现象看本质，前面探究时得出的结论是“同时加上或减去相同的数商会变”，但这两题是“加上和自己相同的数或减去自己的一半”，其实质是同时乘2 或同时除以2，所以商是不变的；第④题是让学生防止上当，要看清适用的对象是除法中的商不变而不是积不变。总之，各个题目不管形式怎样变化，其训练的模块结构本质是相同的（同模变题）。

又如，学习《小数乘法》一课，其模块结构是：先按整数乘法去乘，积的小数位数等于所有乘数的小数位数之和。围绕该模块结构，在学生进行了基础性的顺向巩固之后，可采用逆向编题的策略设计“变式性”题组：已知3.2×5.4=17.28，在括号里填上适当的数，①3.2×（）=172.8；②0.32×（）=0.1728；③（）×5.4=1.728；④（）×0.054=17.28；⑤（）×（）=0.01728。通过该题组的结构化训练，深化认识小数乘法的算法，并发展学生的逆向思维能力。

四、模块结构“拓展”阶段，设计“延伸性”题组结构练习

当某一模块的知识经过了基础性练习和变式性练习得到巩固与深化后，根据结构化教学的思想，最后还有一个结构拓展环节，主要是将该模块结构拓展延伸到新情境中应用，扩大使用对象，并将结构相同的不同对象之间进行沟通归总，使学生领悟内在相通性，实现结构性类推迁移，最终形成结构系统。该阶段主要为学生设计“延伸性”题组结构练习，通过练一组题通一类题，发现题目之间的本质联系，找到其中的通性通法，进而将学生引向高阶思维与深度学习之中。“延伸性”题组结构练习可采取一题多延、一模拓用、求联归总等策略进行设计与应用。

例如，学习“解决比一个数多百分之几的问题”，当学生对基本模型结构已掌握之后，可在拓展练习阶段为学生设计以下的“延伸性题组”进行结构化辨析：①立新煤矿二月份挖煤60 万吨，三月份挖煤75 万吨，三月份比二月份多挖百分之几？算式为“（75-60）÷60”；②立新煤矿三月份挖煤75 万吨，比二月份多挖15 万吨，三月份比二月份多挖百分之几？算式为“15÷（75-15）”；③立新煤矿三月份挖煤75 万吨，比二月份多挖15 万吨，二月份比三月份少挖百分之几？算式为“15÷75”；④立新煤矿二月份挖煤60 万吨，比三月份少挖15 万吨，二月份比三月份少挖百分之几？算式为“15÷（60+15）”。解题之后，让学生将①和②进行对比辨析：发现模型结构并没有变，都是“多挖的数量÷二月份的数量=多挖了百分之几”，只是已知条件发生了变化。接着将②和③进行对比辨析：发现已知条件都相同，但所求问题发生了变化，其模型结构拓展成了“少挖的数量÷三月份的数量=少挖了百分之几”。最后将③和④进行对比辨析：发现所求问题没有变，也就是模型结构没有变，但已知条件发生了变化。通过一题多延并进行了三次结构化辨析后，让学生进行归总沟通，上升到共同本质高度来认识，发现这组题不管怎样变，其本源结构是相同的。

又如，学习《长方体和正方体的体积》一课，当学生已经比较熟练地掌握并应用了“长方体的体积=长×宽×高”和“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”后，可在拓展练习环节带领学生进行求联归总，探索出“长方体和正方体的体积=底面积×高”，并通过课件动态演示来体验“底面累加升高形成长方体或正方体”的过程。在此基础上进行同结构类推迁移，为学生设计以下“延伸性题组”进行结构化练习：已知各个立体图形的底面积（长方形、正方形、三角形、梯形、五边形、六边形的面积）和各自的高，计算它们的体积。通过练习，让学生发现所有的直柱体都有共同的本质：就是“底面累加升高形成直柱体”，因此都可以用“底面积×高”来计算体积，最终建立起了直柱体体积计算的结构系统。

上述四个阶段是一个有机整体，它们共同促进数学新知结构的顺利形成与完善。

数学结构化练习是结构化教学思想在练习环节的应用，它以共同的模块本质结构为统领，以题组结构练习为手段进行结构化巩固与升华，为学生开展数学结构化学习提供了练习保障，为走出题海战术指明了一条道路。