寻求促进学生深度学习的策略——以《商中间或末尾有0 的除法（一）》为例

文|张绍华 张冬梅（特级教师）

“数的运算”是小学数学学科的核心内容，而“两、三位数除以一位数”是其中的重要组成部分。它在整数除法中承上启下：既是表内除法的自然延伸，更是除数是两位数乃至更多位数除法的基础，它开启了学生对于除法计算法则的探索和理解。而商中间或末尾有0 的除法又是其中的难点内容，不仅难在对“0”的处理上，还会由此导致对原先计算法则的混乱：“漏掉0”和“没有逐位除”常常互为因果，导致出错。

这样一个具有挑战性的学习主题，学生需要在教师引领下积极参与，不断深入触及计算的算理和算法，经历认知结构逐步完善的数学学习过程，实现深度学习。王琛老师的《图式学习：理法交融的新探究》（下称“设计一”）、张冬梅老师的《把握学生数学现实 促进学生深度学习》（下称“设计二”），这两篇设计以“主线问题”聚焦核心任务；以“愤悱”状态引发深度探究；以“对比”技术完善认知结构，为寻求小学数学“深度学习”的策略提供了鲜活可鉴的案例。

策略一：以“主线问题”聚焦核心任务

在平时的课堂教学中，我们经常看到有些教师习惯对知识点进行零敲碎打，限制学生的思维拓展，难以提高学生的学习兴趣，更不用谈深度学习了。要想有效改变这一现状，使学生的数学学习更具张力，学习思维更具深度，教师要充分发挥自身的能动性与创造性，理性而深刻地把握教学内容，以“主线问题”成就学习内容的结构化，帮助学生实现深度学习。

1.以“主线问题”构建连贯性的知识体系。

“设计二”的“主线问题”是以“自主出题”的方式呈现的。

内容虽然简短，信息量却很大，作为“主线问题”，它将贯穿于整节课的学习中，明确了整堂课的研究主线，为深度学习创造了时空。首先，这里的“写一写”，学生需要出一道三位数除以一位数的算式，全班几十位学生，有的出了已经学过的一般情况；也有的会出到今天需研究的商中间或末尾有0 的情况（因某一位上是“0除以一个数”）；还会出到后面要研究的商中间或末尾有0 的情况（因某一位上“不够商1 要商0”）。也就是说，学生的出题可能会囊括三位数除以一位数的所有情况，构成了不仅是这节课，更是这个单元的核心学习素材。

接下来的“算一算”，如果学生算的是已学过的竖式，不仅是复习巩固，更是为今天的学习提供基础：从高位算起，算到哪一位商就写在那一位上。今天的学习内容虽是除法计算中的特殊情况，但也必须遵循上述法则，才能正确处理“0”的问题。如果学生算的是商或末尾有0 的竖式，那么他将自觉进入探究阶段，为处理好这个“0”寻求依据，合理表征。若是在探究的过程中遇到困难，则会自动进入第三个环节“议一议”。

2.以“主线问题”关照“心智模式”，促进思维进阶。

“设计一”的“主线问题”是以“图式学习单”呈现的。

在《图式学习单》中，清楚地看到课堂学习分为四个阶段：自学与探究、反思与提问、归纳与总结、拓展与联想。

在“自学与探究”阶段，学生将尝试解决新问题，或正确或错误，或顺利或遇阻，探究成功与否在这里不是最重要的，重要的是积累了探究的经验。带着这些经验进入到“反思与问题”阶段：有困难的说困难，有错误的共反思，一个小组的同学一起交流、智慧碰撞，最终在磕磕碰碰中达成一定的共识。接下来的“归纳与总结”很重要，在这个阶段里要提炼出今天学习的重点：商中间或末尾有0 的计算方法，并与原先的旧知相互关联，完善“除数是一位数的除法计算法则”这一认知结构。最后还要再往前跨一步：“拓展与联想”，举一反三，认知迁移，发现新问题等等。

可以看出，这份学习单不仅可以用于这节计算教学课，也可以用于其他课型中。其中的“自学与探究”“反思与提问”“归纳与总结”“拓展与联想”板块为学生的学习提供了程序指引，成为学生实现深度学习的脚手架。

我们看到，在王老师的课堂上，学生的认知结构构建在心智模式基础之上，学生第一步是接收信息，然后在脑海中形成初步的印象；第二步是感悟并体验知识，这有助于调动学生的心理能量进行学习；第三步则是思考和探索，向高阶思维不断地升级进化，从而产生认知结构，形成独具个性化的方法论。

策略二：以“愤悱”的状态引发深度探究

在这节课的学习中，学生多次遭遇认知冲突，产生“愤悱”。每一次“愤悱”的即时状态都被教师及时捕捉，引发了学生的深度探究。以教师对文本和学生的分析理解，结合课堂上的生成，本节课的学习，学生必将出现以下几次“愤悱”状态：

1.0除以一个数究竟得几。

这里包含两个要素，一是除数的范围（除数为何不能为0），二是结果的依据（为什么结果是0）。

“设计二”中，关于这个问题，第一次“愤悱”是在讨论609÷3的过程中，有学生提出“0÷3”为什么等于0？由于此时主线任务是探寻商中间有0 除法的算理算法。再则，此“愤悱”并非三言两语说得清。所以教师将这个重要“插曲”暂且搁下，待日后再重点解决。等到例9 完全解决了，再来逐步细究。引导学生从“0 除以3 为什么得0”→“0 除以别的数也等于0 吗”→“0 可以除以0吗”，层层递进开展讨论，学生通过举例子（运用除法的意义）、想乘法（运用乘除法的联系），最终得出结论：0 除以任何不是0 的数都等于0。

“设计一”中，是把这个问题先行解决。由6÷3=2，自然地将除法的意义用于解释0÷3=0；再启发学生在更丰富的情境表征中理解0 除以一个数的意义；最后引导学生观察算式，用不完全归纳得出结论。

两位教师都根据学生“愤悱”的程度拿捏分寸，在“设计一”中，学生对于0 是否可以做除数，没有提出疑问，所举例子也都是非零除数，教师也就没有深究。“设计二”中，学生质疑到“0÷0”的问题，教师就放开让学生讨论，做到知其然更知其所以然。而非零被除数除以0 的现象，学生也没有提及，教师同样顺其自然。

2.商中间的0 如何处理。

这里同样包括两个要素，一是算理（0 除以任何不是0 的数都等于0），二是算法（被除数十位上0 除以除数得0，在商的十位用0占位）。

●“设计二”中，我们可以看到三个细节。

第一个细节，在学生计算自己出的题目并小组交流时，教师发现：他们小组交流了很长时间，他们到底遇到了什么困难？这个小组一定是在答案或格式上存在争议，所以此时全班一起来研究“609÷3”顺理成章。

第二个细节，当学生对这题已经各有想法，并得到了正确解法后，在讨论中，有学生质疑：“（指着商中间的0）这个0 是哪里来的？竖式中看不出来。”“其实就是用十位上0 除以3 得0，只是省略了过程，直接写商是0。”在这一问一答中，学生明白了算理，同时也让学生在两种竖式写法的比较中，获得这种简便写法的依据。

第三个细节，是当商中间或末尾有0 的除法都讨论完了，教师又来了个回马枪：“还记得一开始这道大家认为做错的题吗？那现在大家看看，错误的原因在哪里？”第一次面对这个错误，学生只是用估算来确定它错了，而这次是在积累了笔算经验后，剖析错误的原因，强化了“逐位除”的重要性。

●“设计一”中，也可以看到两个细节。

第一个细节在“反思小结”环节：“我们认为在计算之前先估一估也很重要，可以知道商是几位数，这样不容易错。”“0 除以3 虽然很简单，但是很容易会在商上漏写0，这个0 也很重要，是要占位的。”“我也要提醒大家商中间的0 不能遗漏。我们还可以在计算后用乘法进行验算。”

这些学生的反思恰恰是部分学生存在的“愤悱”，在互动中，学生再次明确要处理好商中间的0，并且可以用估算和验算的方法帮助自己。

第二个细节是在“基础拓展”环节，学生特别关注了一道题：“800÷5，被除数末尾有两个0，商的末尾为什么只有一个0？”这个学生的“愤悱”真实反映了部分学生的错误认知：被除数哪位是0，商的那一位就是0。在这次生生互动中，学生又一次梳理了笔算法则：一位一位地除，除到哪一位有余数，就和下一位上的数合起来继续除；如果遇到了0 除以除数，那就得0。

从上述的片断中可以看出，有时学生对一个问题的“愤悱”不是一次就能解决的，需要在不断进阶的思考、探究中拨云见日。

3.商末尾的0 如何处理。

有了“商中间有0”的学习经验，关于“商末尾的0”，其算理和算法可以类比迁移。因此两位教师并未用浓墨，却又都不乏点睛之笔。

比如“设计二”中，“大家看看第二种方法的这个部分，其实是在算？”教师的一句“其实是在算”引发了学生对之前学习的整百整十数除以一位数的口算算理的联系，进一步理解末尾商0 的道理及方法简化的依据。

“设计一”中，当学习进入到“反思与提问”模块的“发现问题、解决问题”环节，学生主动提出关于“商末尾有0”的“愤悱”，接下来的研究也就自然而然拉开序幕。

从以上片断中，我们可以有所启示，“设计二”关于“商末尾有0”的“愤悱”是教师问出来的，而“设计一”中是学生主动提出的。其实，面对几十个学生的学习共同体，“愤悱”随处可见，有时学生能够主动提出，固然是好；但有时学生真的“愤”到自己都表达不出甚至意识不到，这时教师的引导就尤为重要了。

4.因某一位上“不够商1 要商0”的情况，如何处理。

虽然这不是今天的学习内容，但不代表学生不会遇到、想到，无需回避，只是放到下节课再“启”，留着念想，也是学习的一大快乐。

在“设计二”中，正因为课始教师让学生“自主出题”，极有可能学生会出到此类型，于是教师将这个生成的资源，用来激励学生继续学习与探究的兴趣：“老师在同学们自主出题的过程中，还找到了这道题（出示“432÷4”）。他们小组也没能正确计算。这道题又有什么新的挑战呢？让我们一起期待下节课的研究。”

“设计一”中，则是在最后的“拓展与联想”模块中，学生照例要想一想：有哪些收获，还想到什么？可以看出，王老师的学生关于《图式学习单》的使用已是常态，学生其间也许会指向“不够商1要商0”的除法。

策略三：用“对比”的技术促进认知结构的完善

对比是教学中的常用手段，对比不仅让学生看到了相同或是不同的现象，更促进了学生认知结构的进一步完善。

两位教师不约而同用“对比”的技术促进深度学习，促进认知结构的完善。

1.深究算理与算法。

在探索商中间有0 除法的计算方法时，两位教师都明确指出对比要求，在“设计二”中，教师要求比一比这两种竖式。在比较中，学生首先从形式上看到了不同：第一种方法每一步都算，算到十位0÷3=0，所以在商的十位写0，而第二种方法把这步省略了。可比着比着，学生又比出了两者本质上的相同：两种方法其实是一样的，只是第二种方法把十位那步“想在心里”了。学生明晰了：不写出来不代表不算、不想，这样使得学生不仅在形式上看到了第二种方法的简洁，更在对比中看到了它的合理性。

“设计一”中，在《图式学习单》的“自学与探索”环节中，是让学生“用自己喜欢的方式算一算”，所以学生并非只限于竖式，而是呈现了各种方法，有用口算方法的，有画图的，有用不同竖式的。待学生把各自的方法解释清楚后，教师又组织学生对这些方法进行对比。学生在互动中越发清楚地看到，其实这些方法的算理都是一样的，还有学生说借助画图法，可以把其他方法都解释清楚。

对比使得学生对竖式的认知不只是形式上清晰，更是算理和算法的清晰。

2.沟通知识间的联系。

在商中间、末尾有0 除法都研究完以后，王老师组织学生对比刚刚研究的“306÷3、480÷4 和350÷5”这三个竖式；而张老师的步子就更大了，组织学生同时对比了五个竖式。学生都是先站在今天课堂的视角看现象：有的是商中间有0，有的是商末尾有0；今天的除法商里面有0，以前的除法商里面没有0；可以用估算和验算避免漏0；被除数中有0，商里不一定有0……真正构建了对新学内容的认知。后来，学生又站在本单元的视角意识到：今天和以前一样，从高位算起，一位一位地除，算到哪一位，就在那一位上写商。这是将新的认知纳入到原有的认知结构中，对于除数是一位数的除法形成了更上位、更完善的认知结构。

总之，在“设计一”中，让我们更多地看到，把握了学生的数学现实，也就是我们所说的切实做好学情分析，才能引着学生走得更远，促进深度学习。而“设计二”中为我们提供了有效的实现深度学习的策略：《图式学习单》，其中的四大模块就是学生走向深度学习的基本阶梯。