带有退化强制项的非线性椭圆方程解的存在性与不存在性

米清清,严畅,钮维生

(安徽大学数学科学学院,安徽 合肥 230601)

1.引言

本文考虑如下带有退化强制项的非线性椭圆方程

解的存在性机制.其中Ω是RN(N ≥2)上的有界开集,θ ＞0,λ ＞0.进一步,假设a:Ω×RN →RN满足Carath´eodory条件,即对于任意的ξ∈RN,a(x,·)在Ω上可测,对于几乎处处的x∈Ω,a(x,·)在RN上连续,且存在正常数α,β,使得对于任意的ξ,η∈RN,,有

上述方程在等离子体热辐射和多孔介质流等诸多领域有着广泛的应用[1-3].显然,当u充分大时主部算子-div没有强制性,因而上述方程通常被称为具有退化强制主部算子的椭圆方程.由于缺乏强制性,这类方程解的存在性、正则性等问题研究起来较为困难.近年来,以Boccardo和Alvino为代表的一批学者对该类方程进行了较为深入和广泛的研究[4-9].特别地,对于外力项为可积函数的情形,文[5-6]在λ=0,0＜θ ≤1,p=2条件下,系统地研究了方程(1.1) 解的存在性和正则性问题;随后,文[7]在λ=0,0＜θ ≤1的假设下,将文[5-6]中的结果推广到了一般的p ＞1的情形.对于外力项为一般Radon测度的情形,文[8]在λ=1,θ ＞1,p=q=2的条件下,建立了方程熵解的不存在性结果.文[9]则研究了具有临界增长的梯度型低阶项的退化椭圆方程弱解的存在性.

本文研究方程(1.1)解的存在性机制和正则性.我们主要考虑外力项f的正则性、低阶非线性项的增长次数q和描述主部算子退化程度的参数θ对解的存在性和正则性的影响.值得一提的是,在文[10]中,我们已经讨论了m ≥时,方程(1.1)分布意义下弱解的存在性.而在本文中,我们主要关注外力项属于适当可积函数类时,方程(1.1)有限能量弱解的存在性,以及外力项为较为奇异的Radon测度且非线性项的增长次数q较大时,方程(1.1)熵解的不存在性.本文结果在一定程度上丰富和改进了文[5-6,8,10]中的结果.

不失一般性,我们在以后的讨论中假设λ=1.本文的主要结果如下:

注1.1上述定理表明当f是凝聚在零r-容量集上的Radon测度并且非线性增长次数q充分大时,无法利用光滑逼近给出问题(1.8)的熵解.实际上,当我们对逼近方程(1.11)取极限时,凝聚在零容量集上的Radon测度消失,逼近方程(1.11)的解收敛到方程(1.7)的解,而非(1.8)的解.在上述意义下,我们称方程(1.8)的熵解不存在.

2.定理1.1的证明

3.定理1.2的证明

引理3.1假设un是问题(2.3)的解,则对于任意的k ≥0,有

4.定理1.3的证明