从“充分与必要”视角辨析一道三角题的解法

兰诗全

(福建省古田县第一中学 352200)

“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题的前一半，更重要的是解题后的反思．“不思故无惑，不惑故无问，不问故无得．”为什么是正确的、为什么是错误的、错在哪里呢，对这些“为什么”的追问一定可以大大提升分析、解决数学问题的能力．反思才能悟出其中的方法与思想，反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理．

以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，理清思路、认识到位、理解深刻，要发现规律，要揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力，提升数学素养．

题目

在锐角三角形

ABC

中，角

A

,

B

,

C

所对的边为

a

,

b

,

c

，若

b

=

ac

，求cos

B

的取值范围．错解当且仅当

a

=

c

时取等号．又在锐角三角形

ABC

中，故cos

B

<1，所以cos

B

的取值范围为

辨析

以上解法对吗？为什么？锐角三角形

ABC

与等价吗？显然不等价，解题中条件的相互转化一定要等价！锐角三角形

ABC

等价于角

A

,

B

,

C

都是锐角，以上解法只考虑到锐角三角形

ABC

的一个必要条件就得答案，一般会扩大所求的取值范围．错解2 由

b

=

ac

，得

b

不是最长边也不是最小边，不妨设

a

≤

b

≤

c

，则

A

≤

B

≤

C

．又由△

ABC

为锐角三角形，且

A

+

B

+

C

=π，得2

B

+

C

≥π，所以2

B

≥π-

C

，由

C

为锐角，得即得又当且仅当

a

=

c

时取等号，所以cos

B

的取值范围为

辨析

很多学生认为以上解法是正确的，但事实上是错误的．这又是为什么？细想

b

=

ac

这个条件用到位了吗？没有用到位，没有用充分！由

b

=

ac

⟹

b

不是最长边也不是最小边(不妨设

a

≤

b

≤

c

)⟹

A

≤

B

≤

C

，但反过来由

A

≤

B

≤

C

推不出

b

=

ac

，即

b

=

ac

内在的本质关系未充分利用，错解2也是条件不等价变形造成的！利用已知条件的必要条件

A

≤

B

≤

C

来解答就得出问题的解，这与解法1类似，往往会扩大所求的取值范围．错解3 由

b

=

ac

，得

b

不是最长边也不是最小边，不妨设

a

≤

b

≤

c

，则

A

≤

B

≤

C

．由△

ABC

为锐角三角形且

b

=

ac

⟺

C

为锐角且

b

=

ac

⟺0C

<1且且

b

=

ac

设则所以

辨析

cos

B

的最大范围为[-1,1]，所以cos

B

的范围不可能是不是利用了

b

=

ac

的准确数量关系了吗？不是关注了条件的转化要等价吗？又错在哪里？不断追问，问个水落石出！原来

a

≤

b

≤

c

这个条件还没用到位，由

a

≤

b

≤

c

应有所以解法3中应得故有以下正确解法．正解1 由

b

=

ac

，得

b

不是最长边也不是最小边，不妨设

a

≤

b

≤

c

，则

A

≤

B

≤

C

．由△

ABC

为锐角三角形且

b

=

ac

及

a

≤

b

≤

c

⟺

C

为锐角且

b

=

ac

且

设则∈

所以

辨析

以上解法正确吗？“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光．”经过广泛讨论，积极思考后又有学生认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而在上述解法的基础上还应满足条件

a

+

b

>

c

，故有以下正解2．正解2 在正解1的基础上还应满足

a

+

b

>

c

，即再由正解1得后同正解1．

辨析

正解1与正解2的最后答案是一样的，这是偶然还是必然？要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起．

命题

已知三个正实数

a

,

b

,

c

，且

a

≤

b

≤

c

，角

C

∈(0,π)，若满足则

a

+

b

>

c

．证明 因为0<

C

<π，所以因为

a

,

b

,

c

>0，所以故从而

a

+

b

>

c

．这说明，满足余弦定理形式的三边

a

,

b

,

c

一定能构成三角形．本题中，

C

为锐角故正解2中考虑

a

+

b

>

c

是多余的，正解1的解答为最佳．

经常性地像这样进行数学问题辨析，错中求正、败中求胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻．数学学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法认识依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌．以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败，许多时候解题出错都是因为充要关系没用对，对充要条件的应用要特别注意，已知条件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题，这是本质，这是关键．