课堂留白，让数学思考走向深度

◎陈德劭

(江苏省滨海县第一初级中学西湖路分校,江苏 盐城 224500)

学习者在面对不完美之处时，会设法去填补空白，并留下深刻的记忆教师在课堂上也要适当留白，引发学生的填补欲望，调动他们的求知欲望，引导他们去发现、分析、解决问题数学知识严谨、抽象，教师要针对学生的差异，持有“静待花开”之心，留时于生，让学生去探究、建构，并积极地融入学习中教师要遵循初中生的认知规律，在课堂中适当留白，引发学生补白的热情，使学生独立思考、协作探究，经历发现与创造数学的过程，从而促使他们提升数学素养

教师在留白时要保持适度，对留白次数、难度都要进行控制，为学生留有思考、消化的时间教师的留白能将自主思考的时间还给学生，能调动学生的求知欲望，但如果过于频繁，学生就会疲于应对教师要抓住重点内容、疑点内容留白，要做到“少而精”，引领学生挖掘深层次的内容教师的留白难度不宜过大，要借助变式、问题串等方式降低难度，为学生设计层层递进的问题，引发学生的思维攀爬，让他们通过积极的思考获得正确的解题思路教师要调控好留白时间，不能一味追求教学进度，在回顾旧知、理解概念等低难度内容时可留时较短，而在拓展、变式等处可给予较长的时间让学生探究

一、概念处留白，促进深入感悟

数学概念具有一定的抽象性、逻辑性，它是数学系统的重要起点，学生只有理解了数学概念，才能实现对数学知识的掌握数学概念是数学思维的基础，如果教师照本宣科，直接讲授概念，那么学生的思维只会停留在表层

如果教师机械地引入概念，那么学生就难以实现真正理解教师可以为学生设计留白，让学生通过自学去探寻概念的本质学生可以从自己的生活中寻找数学概念的原型，或与同学开展讨论交流，以深入理解数学概念的内涵如在教学“认识三角形”一课时，教师让学生拿出不同长度的小木棒，让他们试着围成一个三角形，在分组操作时，有的学生能围成一个三角形，而有的学生则不能，教师继而引出三角形的概念，并在实验中把“三条线段”“首尾依次连接”“封闭”等关键词准确体现出来，为学生后面学习三角形的三边关系打下基础教师在引入概念时留白，可为学生留有实验探索的时间，能增进学生对概念中关键内容的理解

教师在讲解数学概念时，要激发学生的补白欲望，引领学生去深度思考，促进学生深度理解数学概念如在学习“合并同类项”一课时，学生对概念中的“相同的字母”“相同字母的指数”中的“相同”理解起来较困难，教师可以针对学生对概念的理解提出问题：这里面的“相同”是指什么？学生经过思考、交流，发现“相同”的本质是字母、指数皆相同，从而他们对“同类项”概念中的“相同”有了更深入的理解教师在讲解概念时，可针对学生难以理解的内容进行留白，引发学生思考、探索，让他们感受“相同”的内涵，从而透彻地理解概念

如果学生对概念的学习只是处于浅层的感知，那么他们就无法顺利地运用概念概念的学习是为解决问题而服务的，学生只有真正地理解概念、内化概念，才能顺利地运用概念去解决问题教师在设计题目时要刻意留白，引领学生深入探究问题，从而促进他们对概念的内化如在教学“黄金分割”一课时，教师向学生呈现脸型相同、五官基本相同的3张脸的图片，让学生说说哪个更美教师引导学生从图片中发现五官比例的不协调，然后呈现《蒙娜丽娜的微笑》画作，让学生理解符合“黄金分割比”的图片会给人留有美的视觉感受最后教师提出问题：模特如何选择合适高度的高跟鞋？学生可以运用所学的黄金分割的概念，指出鞋底到肚脐的距离要与身高成黄金分割比(或肚脐到头顶的距离要与鞋底到肚脐的距离成黄金分割比)学生只有形成应用概念的意识，具有解决实际问题的能力，才能真正内化概念，形成属于自己的知识教师也要提升应用意识，为学生留有内化的空间，让学生将所学的知识运用于解决生活问题之中，促进学生对数学概念的深度理解

二、定理处留白，把握来龙去脉

学生不仅要会使用公式，还要“知其所以然”，理解定理的推导过程教师要适时留白，让学生通过思考去探索定理法则的由来，使学生形成灵活运用定理法则的能力教师要在类比时留白，让学生根据自己的经验与方法去探索新知识，实现对所学方法的顺利迁移如在教学“探索三角形相似的条件”一课时，教师可引导学生回忆三角形全等的判定方法，让他们猜测相似三角形的判定方法此时教师可进行停顿式留白，引发学生的热烈讨论，让学生讨论后展示小组交流的结果学生共汇报了四种结果：组一学生指出有两个角对应相等；组二学生指出有两组边对应成比例且夹角相等；组三学生指出有三边对应成比例；组四学生指出有两个角对应相等，两边对应成比例教师让学生对各组的汇报结果进行再思考，学生发现第四种结果后面的两边对应成比例是多余的数学定理的学习离不开学生的主动发现，教师要针对学生的认知特点，引领他们自主探索，通过类比全等三角形的判定，找到相似三角形的判定条件，满足学生的探索求知欲望教师留白于学生，让学生参与小组合作交流，这样能引发学生的深入思考，促进他们对相似三角形判定的理解

教师要培养学生的应用意识，并适当“留白”，引发学生的头脑风暴，让他们有更多探讨的空间如在教学“用三角形的相似解决问题”一课时，教师提出问题：学校教学楼高16米，影长25米，旗杆的影长为9米，求该旗杆的高度在学生画出图形后，教师让学生找出其中的相似三角形，并思考为什么相似，判定依据是什么有的学生指出这两个三角形都有一个直角，有的学生提出还有另外的角对应相等然后教师指出“太阳光线是平行的”，学生顿悟最后教师追问：当我们知道这两个三角形相似时，该如何做？要用到哪些知识？要用到哪些性质？能列出怎样的式子？在学生掌握了方法后，教师进行评价式留白，让学生说说自己收获了什么教师以一连串的问题，引导学生回忆学过的知识，并停顿留白，引发学生的思考，让他们运用三角形的判定与性质去解决问题教师在小结时进行评价留白，让学生说出自己的收获，使学生对学习内容有更深层次的理解

三、重难点留白，促进深入思考

教师要针对知识的重点处、难点处留白，引发学生的积极思考，促进他们对数学知识的理解，对数学技能的掌握重难点是教材的关键内容，也是学生的存疑、易错之处，教师如果一味要求学生枯燥记忆，往往难以得到良好的教学效果教师要让学于生，要放手让学生去探究、思考，并对他们存在疑惑之处加以引导、启发，从而收到良好的教学效果

在传统的数学教学中，教师往往注重知识的灌输，忽视学生探究知识的过程，只让学生机械地记住结论，使学生难以深度理解教师要在难点知识的学习处为学生留有动手操作的空间，让他们经历动手探究的过程，通过实践、分析、探究实现对知识的深入理解如“圆周角”一课，其中“圆周角定理的探究过程”是教学的难点，教师可先让学生画一个圆心角，再画出同弧所对的圆周角，让学生说说能画多少个，再让学生用量角器量一量圆周角及圆心角的度数，并说说有什么发现学生通过画图、度量、分析，发现同弧所对圆周角与圆心角之间的关系学生通过动手操作活动，将习得的理论知识运用于生活实践中，轻松地突破学习难点，提升动手操作能力

由于知识经验、思想方法等方面的欠缺，学生往往难以逾越难点内容，故教师要发挥引导者的作用，对学生进行恰当指导，帮助学生跨越“最近发展区”，帮助他们明晰解题思路，促进他们数学素养的提升如在学习分解因式的内容时，教师提出问题：(分解因式)(1)(-2)+2(-2)+1；(2)(+)-4对于第(1)题，学生虽然掌握了分解因式的多种方法，但面对“复合式”往往束手无策，教师要引导学生将“整体代入”思想与因式分解联系起来，使“复合式”变成“简单式”，促进学生理解在“整体代入”思想的指导下，学生将(-2)视作一个整体，从而能将原式转化为一个完全平方式，即(-2+1)，通过进一步分解，将原式分解为(-1)对于第(2)题，学生要善于转化，将4变为平方的形式，即转化为(+)-(2)，这样会很容易地将其分解为(+2+)(-2+)，通过进一步分解，能得到(+)(-)教师要通过留白为学生留有探索复杂问题的空间，并对他们进行恰当的引导，帮助他们降低学习难度，化解学习难点，从而深度理解数学问题

学生是学习的主体，他们应该通过自己的探索形成自主学习的能力但在日常数学学习中，“愈改愈错”往往会影响学生的学习自信为何会出现“屡错不改”的现象呢？其实，易错点也是学生的理解薄弱之处，学生没有对薄弱处进行完善，未能静心分析出错原因，因而会出现“一错再错”的状况故学生要多思考，多探索，要深入探寻问题的本质，寻找其中的错误因子，辨析存在的问题，这样再次面对问题时才能轻松应对教师也要培养学生做题后总结反思的良好意识，让他们思考这道题中运用了哪些数学方法，出错的原因是什么，自己对哪些知识点还不能熟悉地运用，这个题目还可以有哪些变式学生只有深入剖析题目，并在思考、剖析中产生顿悟，才能触及数学问题的本质

四、复习时留白，构建知识网络

复习是教师通过概念的总结、例题的精讲实现对所学内容知识的梳理、关键内容的深化，其能促进学生解决问题能力的提升教师要依托问题，引领学生递进式探索，引发学生的思维攀升，促进学生数学素养的发展教师在复习时留白，能让学生对复习内容有更深层次的认识，能促进知识的关联，掀起探讨交流的热潮留白使学生有更充裕的时间去思考，能给学生营造勤学乐思的氛围，让学生的创造性思维获得发展问题的难度决定了留白的时长如在复习“圆”的内容时，教师呈现生活中的圆桌、拱形桥等图片，让学生直观地感受圆在生活中的运用，并提出问题：如何测量这些圆的半径？我们在不知道圆心的情况下要测量其半径，有何妙法？教师停顿留白，让学生去尝试，并在尝试后介绍自己的做法有的学生任意画一个圆的内接三角形，再作其中两边的垂直平分线，交点就是圆心，然后通过圆上的一点作圆的切线，过切点作垂线，圆心与切点之间的线段即圆的半径有的学生用绳子、直尺量出周长，再通过计算求出半径；有的学生用量角器在圆内作90°的圆周角，其所对应的弦即直径，通过直径可求出半径；有的学生在纸上画出圆，将圆对折，折痕即直径，通过直径可求出半径……教师以开放性的问题引导学生思考“用什么方法”可得到圆的半径，引发学生探究，并促使学生将圆的相关知识联系起来，从而达到复习巩固的目的

图1

五、拓展处留白，增进自我创造

数学学习的过程也是学生建构知识、创造发现的过程，教师不仅要关注学生的知识习得，还要关注他们的思维的发展和探究能力的提升教师既要注重基础的夯实，也要关注学生思维的发展，对所教内容进行必要的拓展留白，以促进学生独立思维能力的发展教师在开展拓展训练前，要帮助学生夯实学习基础，这样才能实现题目的变式与融合，才能让学生的思维得到拓展延伸如在学习“三角形的内角和”内容后，学生已经掌握了三角形的内角和与外角和的性质，并可依此解决与三角形的内角、外角有关的运算有这样一个题目：在△中，∠=80°，∠和∠的平分线相交于点，则∠等于多少度？如果∠的度数未知，试探索∠与∠之间的关系教师对问题进行变式，将“∠，∠的平分线相交于点”转变为“∠,∠的外角平分线相交于点”，再让学生探索∠与∠之间的关系通过问题变式，内角平分线问题转换为外角平分线问题，可实现学生思维的过渡，可帮助学生透彻地理解知识

拓展训练不是脱离书本、脱离基础去研究偏题、难题、怪题，而是引领学生通过自主探究、合作交流等方式对教材中的重点内容进行再探索、再发现，从而拓展学生的数学思维，促进学生数学素养的提升教师要精研教材，抓住题目中的关键词进行适当改编，让学生立足于不同的视角去探寻知识之间的内在关联，从而促进学生思维的进一步发展，使学生的数学思维能力得到真正提升教师可以运用针对性的拓展训练帮助学生巩固所学内容，以促进学生对问题的进一步思考，促进学生掌握数学思想方法如在教学“一次函数”时，教师可将其与学过的“二元一次方程”联系起来，让学生动手绘图，分析两者的内在关系，建立“数”与“形” 的联系教师可以将二元一次方程变形为一次函数，也可以将二元一次方程的解与一次函数的图像建立联系，引导学生发现两者之间的对应关系教师在拓展、变式时要为学生留有探究的空间，让学生通过自思自悟深度理解数学问题

总而言之，在初中数学教学中，教师要善于留白，让学生开展充分的数学思考，增进他们对问题的理解学生的思维不能满足于浅层的探索，要通过深度思考探求数学知识的本质，从而促进数学素养的提升