H-表示方法解Stein方程循环解

樊学玲，李 莹，刘志红，赵建立

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

本文将使用的符号如下，Rm×n表示所有m×n阶实矩阵集合，C表示复数集合，Cn表示n维复列向量集合，Cm×n表示所有m×n阶复矩阵集合，SCn表示n×n阶复对称循环矩阵集合，SC-n表示n×n阶复反对称反循环矩阵集合，⊗表示Kronecker积，In表示n阶单位阵，BT表示矩阵B的转置，M†表示M的M-P广义逆。

X-AXB=C

(1)

的循环解。Stein方程不仅在控制论[4]，线性系统稳定性的分析[5]中有重要的应用，其在应用数学[6，7]以及计算数学[8]方面也有重要应用，例如Stein方程在神经网络与图像恢复[9]，微分方程数值求解[10]的过程中都发挥着重要的作用。

形如

的矩阵被称为循环矩阵。循环矩阵属于Toeplitz矩阵类，它们的某一行都可以由矩阵的任意行做一定的变换而得到。循环矩阵的这种独特的矩阵结构，决定了其具有良好的性质，从而激发了学者们对循环矩阵的研究。许多学者发现循环矩阵不仅在现代科技以及工程领域上有着重要的应用，例如在毛[11]、王[12]、新[13]等人分别研究了循环矩阵在物理分子振动、数字图像处理、数据结构计算等领域的广泛运用。循环矩阵在应用数学和计算数学的矩阵分解、控制理论以及多目标决策[14]方面也有着广泛的应用。本文解决的问题如下。

本文主要借助一种新的工具——矩阵的H-表示——来研究Stein方程(1)的对称循环解以及反对称反循环解。H-表示方法是将具有特殊结构的n维矩阵，通过H-表示方法将n2×1维向量映射为p×1维向量(p≤n2)，从而消除冗余，降低问题的复杂度[15]。H-表示在随机系统中有广泛应用，Zhang将H-表示分析方法推广至SMJSs中[16]，通过H-表示分析法给出了时变连续和离散SMJSs的能观性判据。本文主要借助H-表示方法，将对称循环矩阵以及反对称反循环矩阵转化为具有独立元素的向量，并结合矩阵的Kronecker积来求解矩阵方程(1)的特殊解。

本文内容安排，第1部分预备知识；第2部分介绍矩阵的H-表示；第3部分首先给出对称循环矩阵以及反对称反循环矩阵的H-表示矩阵，然后利用H-表示方法来研究矩阵方程(1)的对称循环解以及反对称反循环解；第4部分首先给出与问题1、2相对应的数值算法，然后给出对应的数值算例，通过数值算例验证了利用H-表示方法求解矩阵方程的精确性以及高效性；最后，第5部分对全文进行总结。

1 预备知识

矩阵的Kronecker积也称为张量积，其定义如下。

定义1[17]设A=(aij)∈Cm×n，B=(bij)∈Cp×q，则

称为A与B的Kronecker积，同时A⊗B也可以记作(aijB)，∀i=1，…，m;j=1，…，n。

我们可以将矩阵按下面的方式排列为一个向量，设A=(aij)∈Cm×n，其列排式为

Vc(A)=(a11，…，am1，a12，…，am2，…，a1n，…，amn)T。

下面的性质是关于矩阵乘积的向量表达，它与矩阵的Kronecker积有关。

引理1[17](1) 设X∈Cn，Y∈Cn，则Vc(XYT)=Y⊗X。

(2) 设k∈C，X，Y∈Cm×n，则Vc(kX)=kVc(X)；Vc(X+Y)=Vc(X)+Vc(Y)。

(3) 设A∈Cm×p，B∈Cp×q，C∈Cq×n，则Vc(ABC)=(CT⊗A)Vc(B)。

引理2[18]设A∈Cm×n，b∈Cm，则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是AA†b=b，这时，Ax=b的通解是x=A†b+(I-A†A)y，其中y∈Cn是任意的。

2 矩阵的H-表示

本节将介绍H-表示方法，并将H-表示方法应用到对称循环矩阵以及反对称反循环矩阵中。

考虑复矩阵子空间X⊂Cn×n，对于任意的X=(xij)n×n∈X，总存在一个映射ψ:X∈XVc(X)。矩阵H-表示的定义如下。

定义2[15]在复数域C上，考虑p维复矩阵子空间X⊂Cn×n，假设e1，e2，…，ep为X的一组基，定义H=[Vc(e1)，Vc(e2)，…，Vc(ep)]。对于任意的X∈X，有

有ψ(X)=Vc(X)=[0，-x1，-x2，-x1，x1，0，-x1，-x2，x2，x1，0，-x1，x1，x2，x1，0]T，

3 关于Stein方程的循环解

本节将利用矩阵的H-表示方法来解决问题1、2。根据对称循环矩阵以及反对称反循环矩阵的特点，可以利用H-表示来提取其有效独立元素，去除冗余，降低问题的复杂度。

首先对对称循环矩阵X=SCn做H-表示如下，先为对称循环矩阵子空间选取标准基底为

{e1，e2，e3，…，en}，

这里

那么，对于任意的Xn=(xij)n×n∈X，有

Hn=[Vc(e1)，Vc(e2)，Vc(e3)，……，Vc(en)]，

(2)

式中Hn∈Rn2×n。

对于问题1，有如下结论。

定理1 设A，B，C∈Cn×n，X-AXB=C有对称循环解当且仅当

(MM†-In2)Vc(C)=0，

(3)

式中M=(In2-BT⊗A)Hn，Hn∈Rn2×n如(2)所示，如果(3)式成立，则所有对称循环解的集合为

SC={X∈SCn|φ(X)=M†Vc(C)+(In-M†M)y，∀y∈Cn}，

这里φ:Xn=(xij)n×n∈SCn并且其极小范数对称循环解X1满足

φ(X1)=M†Vc(C)。

(4)

证明设X为复矩阵X-AXB=C的对称循环解，于是

利用引理2及M-P广义逆的性质得

对于复矩阵方程Mφ(X)=Vc(C)，由引理2可以得到φ(X)的通解表达式为

φ(X)=M†Vc(C)+(In-M†M)y，∀y∈Cn，

并且其极小范数对称循环解X1满足φ(X1)=M†Vc(C)。

下面对反对称反循环矩阵X=SC-n做H-表示，当n为偶数时有n=2p，当n为奇数时有n=2p+1，则选取的标准基底为

{f1，f2，…，fp}，

式中当n为偶数时

当n为奇数时

fi=ηi+ηn-i(1≤i≤p)，

那么对于任意的X-n=(xij)n×n∈X，有

于是得到反对称反循环矩阵的H-表示矩阵H-n为

H-n=[Vc(f1)，Vc(f2)，…，Vc(fp)]，

(5)

式中H-n∈Rn2×p。

与问题1相类似，可以得到问题2的解，证明过程略。

定理2 设A，B，C∈Cn×n，X-AXB=C有反对称反循环解当且仅当

(6)

这里χ:Xn=(xij)n×n∈SC-n并且其极小范数反对称反循环解X2满足

(7)

4 算法及数值算例

算法1(问题1) 设X-AXB=C满足具有对称循环解的条件，本算法用于计算极小范数对称循环解。

(1) 输入A，B，C∈Cn×n，输出BT，Vc(C);

(2) 输入Hn，输出矩阵M;

(3) 根据(4)式，输出问题1的极小范数对称循环解X1的有效元素的排列结果，可以进一步得到矩阵方程X-AXB=C的对称循环解X1。

算法2(问题2) 设X-AXB=C满足具有反对称反循环解的条件，本算法用于计算极小范数反对称反循环解。

(1) 输入A，B，C∈Cn×n，输出BT，Vc(C);

(3) 根据(7)式，输出问题2的极小范数反对称反循环解X2的有效元素的排列结果，可以进一步得到矩阵方程X-AXB=C的反对称反循环解X2。

算法3(普通解法) 设X-AXB=C满足具有对称循环解或反对称反循环解的条件，本算法用于计算普通解法下的极小范数对称循环解或极小范数反对称反循环解。

(1) 输入A，B，C∈Cn×n，输出BT，Vc(C);

(2) 输出矩阵M′=In2-BT⊗A;

(3) 根据γ(X′)=M′†Vc(C)式，输出普通解法下的极小范数对称循环解或极小范数反对称反循环解X′的有效元素的排列结果，可以进一步得到矩阵方程X-AXB=C的对称循环解或反对称反循环解X′。

注将矩阵方程转化为Ax=b形式后，不再使用H-表示方法提取独立元素，而是直接利用经典矩阵理论进行求解的方法在本文中称为普通解法。

图1 对称循环解误差对比 图2 反对称反循环解误差对比

表1 对称循环解时间对比

表2 反对称反循环解时间对比

由图中数据可以看出，利用算法1和2所得到的不同规模的矩阵方程的解的误差的数量级均小于-11，相比于普通解法降低了误差，并且通过时间的对比可以发现，随着方程规模的增大，H-表示方法相对于普通解法在所耗费时间上的优势越来越明显，充分说明了H-表示方法的有效性及优越性。

5 结论

本文介绍了基于H-表示求解复矩阵方程X-AXB=C的循环解的新方法。利用矩阵的向量表达式以及H-表示，可以将复矩阵方程X-AXB=C转化为具有独立变量的Ax=b的形式，进而给出Ax=b的对称循环解以及反对称反循环解的通解表达式。利用数值例子验证了这种方法的有效性以及优越性。该方法还可以应用于其它多种代数结构上线性系统的特型解的计算。