高三数学微课教学的实施策略

闫沛莲

(甘肃省兰州第一中学， 甘肃 兰州 730030)

高三数学教学时间紧、任务重．教师需要有效整合知识，引导学生主动分析探究问题，构建高效课堂．微课教学方式是针对学生学习中需要解决某一问题或某一知识点的微专题复习课．学生学习过程中的问题和困惑都能在微课中及时有效地得到解决，从而促使学生的知识体系更加系统，思维方法更趋完善．同时，让学生领略数学魅力，体会解决问题的乐趣，培养学生主动学习、自主探究精神，提高学生的学习能力，提升学生的数学素养[1]．那么微课的选材从哪里来？如何有效实施微课教学？本文就高三数学微课的实施策略，从以下六个方面予以阐述．

一、一题多法，发散思维

由于学生的个体差异，学生对知识掌握程度不同，认知水平和思维能力也不同,审题时对同一个问题的分析角度不同，组合信息后就可能得到不同的解题思路，从而运用不同的解题策略和解题方法．教师在课堂教学中要善于发现和有效利用这一类问题，通过微课教学引导学生多维发散思维，并加以对比分析，最终让学生学会选择最优化的解题思路和方法，在培养学生发散性思维能力的同时，提高学生的解题能力．

例如，2017年文科考题：已知函数f(x)=(1-x2)ex．x≥0时，f(x)≤ax+1，求实数a的取值范围．

此题解法较多，可以用分离参数法(结合洛必达法则)、构造函数法(移项构造新函数并研究其单调性)、数形结合法(两个函数图像间的关系)和放缩转化法．不等式恒成立问题是高三教学和高考的重点内容，高三教师各有心得，因此这里不再一一赘述这道题的详细解答过程，感兴趣的教师可以查询文后参考文献《不等式恒成立问题的求解策略》[2]．

二、一类多法，触类旁通

高三数学教学中，常常会涉及一类多法的问题，即同一类目标问题，却有不同解题方法,那么什么条件下运用什么方法，学生如何选择呢？这就需要教师整合设计这类问题的微课，归纳总结同类问题的各种不同的解答方法，集中对比讲解，引导学生辨析条件，学会选择简单有效的方法快速解决问题．如解析几何中的直线过定点问题，举例如下:

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线l不经过P点且与椭圆相交于M，N两点,若直线PM与直线PN的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，由直线PM与直线PN的斜率之和为1可解得x1=-4，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=mx+n，联立方程整理得(4m2+3)x2+8mnx+4n2-12=0，由韦达定理及已知可得(n-4m)(2n-2m-3)=0．

若n=4m，此时直线l：y=m(x+4)过定点(-4，0)，符合题意．

综上，直线过定点(-4,0).

问题3(2019·全国Ⅲ卷改编)：已知抛物线M：x2=4y，直线y=-1上有一动点P，过P作抛物线M的两条切线，切点分别为C，D.

(1)证明：直线CD过定点；(2)略.

所以直线AB过定点(0，1).

以上三道题都涉及直线过定点问题，归纳出了这类问题的三种典型解法．这样的微课设计更具针对性，既可以系统理解一类问题，也可以进行不同方法的对比探究，使学生学会分析条件辩证思维，能够在不同条件下选择合理有效的方法．这样的微课素材比比皆是，如函数中的比较大小问题，二次曲线中的范围问题，锥体柱体中的体积问题等等．只要做个有“心”的教师，善于总结题型，归纳方法，及时调整高三复习计划，穿插微课，将一类问题的多种方法讲清讲透，就可以促进学生完善认知结构，切实提高学生的解题效率．

三、一类同法，强化定法

一类同法是同一知识点渗透于不同结构表述形式的题目，也可以是不同知识点之间能归纳出统一解法的问题．教师及时归纳整理这类问题，实施微课教学，就能不断强化学生对一种特定解法的理解和掌握，有效引导学生在解决问题的过程中快速反应、识别模型，从而提高解题能力．

例如隐圆问题，隐圆问题是指题目中满足一定条件的动点的轨迹是圆或圆弧的一类问题，是高考中常见的中等难度的问题,学生往往不能识别出题目中所隐藏的圆的信息而导致解题受阻．实施隐圆问题的微课教学，可以帮助学生辨析隐圆问题的不同模型，实现基本方法的灵活应用．

问题3：过点A(-1，3)作直线mx+y-m-3=0的垂线，垂足为点Q，若点M(4，0)，求|QM|的最大值．

问题4：已知以M(3，4)为圆心，1为半径的圆和两点P(-n，0)，Q(n，0)，其中n>0．若圆M上存在一点N，使得PN⊥QN，求实数n的最大值．

问题5：已知圆O的圆心为(0，0)，半径为2，圆P的圆心为(n，3)，半径为2．若圆P上存在点B，过点B可以作圆O的两条切线，切点为M、N，使得∠MBN=90°，求实数n的取值范围．

再如圆锥曲线中的最值问题，一般有代数和数形结合(建立目标函数)两种解答方法，教师可以设计运用数形结合的思想方法解决最值问题的微课．

问题1：已知以坐标轴为对称轴的椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，长轴长为4，椭圆的右焦点为F，点P(1，1)，Q是椭圆上的一点，求|QP|+|QF|的最大值．

问题2：已知以坐标轴为对称轴的双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，且过点P(4，6)，双曲线的左焦点为F，M(1，3)，Q是双曲线右支上的一动点，求|QF|+|QM|的最小值．

问题3：已知点Q(1，2)，抛物线y2=8x的焦点是F，A是抛物线上一动点．(1)求点A，使得|AQ|+|AF|最小；(2)求|AQ|-|AF|的范围．

以上三个问题属于同一类问题，其解法相同，都是根据圆锥曲线的定义和三点共线，运用数形结合的思想方法来确定最值位置，从而求得最值或范围．这样跨知识点纵向设计的微课，归纳总结出同一方法的多方位多角度应用，揭示了问题的本质，利于学生巩固该类特定方法．经常实施这样的微课教学，学生便能打开思维联想的空间，举一反三，切实提高解题效率，有效形成数学思维能力，培养数学素养．

四、多题归一，整合知识

高三复习内容丰富，涉及题型众多，课堂上时间有限，往往在基本运算上耗时太多会影响课堂教学效率．教师可以设计微课，将同一知识点下的不同问题归于一个题设之下，从难度不大的基础题出发，逐层递进，以点带面，提供给学生更丰富的知识平台，能有效构建并完善学生的知识网络，促进学生思维广度和深度的发展,如不等式约束条件下的求目标函数最值问题，可以设计如下:

问题：设点P(x，y)满足约束条件:

(1)求z=2x+y的范围；

(2)求z=x2+y2+6y-2(或z=x2+y2-12y+2)的范围；

(3)求z=|x-y+1|的范围；

(5)若x∈Z，y∈Z，则这样的点P共有多少个？

(7)若z=mx+y的最小值为-22，求实数m的值；

(8)若z=mx+y的最小值仅在点B(1，-1)处取得，求实数m的范围；

(9)若z=mx+y取最小值的最优解有无数多个，求实数m的值．

将线性规划的不同题型归于一个问题之下，既有几何意义的转化，也有建立目标函数的代数转化，还有含参问题的探究．如此创设螺旋式上升的问题链，层层递进，可以避免无效的重复运算，加大课堂容量，让学生在层层探究的过程中体会到学习的快乐，同时弥补自己知识的不足，促进能力的提升．多题归一的微课，不只是讲授某个知识点，而是整合完善知识网络，促使学生理解形异而质同的问题，提高学生的归纳能力、联想能力、辨析能力以及变式思维能力，这才是真正意义上的高效课堂[3]．

五、易混点辨析，正本清源

教师在例题教学时，以容易混淆的问题设计微课，让学生自主审题辨析，尝试探究，教师从旁引导，正本清源，揭示本质，促使学生明晰异同，再次碰到此类问题时能够正确分析，不再犯错．

(1)∀x∈[-1，1]，使g(x)≥f(x)成立，求实数m的取值范围；

(2)∃x∈[-1，1]，使g(x)≥f(x)成立，求实数m的取值范围；

(3)对∀a∈[-1，1]，∀b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求实数m的取值范围；

(4)∃a∈[-1，1]，∃b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求实数m的取值范围；

(5)对∀a∈[-1，1]，∃b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求实数m的取值范围；

(6)∃a∈[-1，1]，对∀b∈[0，3]，使f(a)=g(b)成立，求实数m的取值范围．

“恒成立与能成立”问题是一个热点问题，平时训练经常碰到．此题中所涉及问题的转化关键在于求函数的最值(或值域)，(1)(2)是要移项构造新函数求最值，学生容易转化为分别求左右两个函数的最值，而(3)(4)(5)是必须分别求函数f(x)与g(x)的最值，至于是最大值还是最小值，则由变量前面的存在量词和全称量词来定，(6)则是转化为函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．实际教学中，由于部分学生没能领悟问题的本质，难以保证解题的正确性．此处“借题发挥”，设计微课，把容易混淆的问题放在一起对比差异，集中辨析研究，就能让学生理解本质、辨析不同、熟悉方法，避免学生在此类问题中再犯错误，进一步提高学生解题的准确性，完善学生的知识结构，提高学生的思辩能力．

六、易错题反思，以考促学

高中数学有不少学生犯错频率很高的问题，教师可以积累一些学生易错问题作为教学资源，适当地在模考前设计有关易错题的微课,也可以集中一些易错题考试，以考促学，暴露学生的易错点和思维盲点，引起学生的重视，然后一究到底，充分发挥错题的教学功能，对重点知识和典型问题重新做反复讲，直到学生学会为止，努力避免学生多次出错以及会而不全的失分现象[4]．如

问题1：解不等式lnx2<2时容易忘记定义域．

问题2：已知数列{an}满足an+12=anan+2，且a4，a4040是函数f(x)=x2-8x+3的两个零点，求a2022的值．

此题求解时容易忘记等比数列偶数项同号的性质．

问题3：若过点(2，0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切，求实数m的取值范围．

此题解答时容易忽略圆方程对参数m的限定条件．

类似这样的易错点很多，不能将错误简单地归因于学生的粗心大意或思维不完善、表述不到位，每一个错误都应该引起教师的高度重视．教师要将学生多次错误失分题型加以记录，建立易错题档案，做好反馈，及时纠错，同时也要要求学生不放过任何一个错误，明确自己错误的原因；督促学生注重积累典型错题，勤于反思总结，弥补缺漏，以此完善知识结构，使学生的数学思维更趋严谨．

微课的素材，可以是知识方法与题型，也可以是某个章节的思维导图和知识归纳，又或是高考真题的集中比较研究等等．只要教师沉入教学，善于发现，就会积累更多的微课素材．高三教师应该有意识地合理适时地组织微课教学，将离散的知识点系统地有效整合，引导学生在解决一个个问题的过程中深入理解知识和方法，实现知识间的融会贯通，使学生的数学认知结构更加系统，更趋完善，从而促进学生数学思维能力的综合发展，为学生终身发展打下扎实的基础．