用“点差法”解题，切记严谨*——兼谈二次曲线的另一种分类方法

⦿北京丰台二中 甘志国

1 引言

“点差法”是平面解析几何的一种重要解题方法，特别是在求圆锥曲线的中点弦所在直线的斜率时很简洁且程序化，备受青睐.但笔者欲阐述的观点是：用“点差法”解题，切记严谨！

2 用“点差法”解题，切记严谨

命题者给出的参考答案如下：

b2(x1+x2)(x1-x2)=-a2(y1+y2)(y1-y2)

①

②

分析:由①到②必须先说明②中的两个分母均不为0.若x1=x2或y1=-y2，则均可得该椭圆上的两点A,B关于x轴对称，这与“点M(-1,1)是线段AB的中点”矛盾！所以②成立.

解:设两点A(x1,y1),B(x2,y2)，同题1的“解”可得②成立，所以线段AB的垂直平分线方程为

由线段AB的垂直平分线过点P(x0,0)，可得

分析：由“线段AB的垂直平分线与x轴相交”可得直线AB的斜率存在，所以②在这里成立(但在解题过程中应交代清楚).

当且仅当直线AB的斜率不为0即x1+x2≠0时③成立，从④推得⑤还要说明y1+y2≠0.当然这可由⑤成立(但在解题过程中应有所交代)，此时以上解答正确.

当直线AB的斜率为0即x1+x2=0时，由椭圆的对称性及“线段AB的垂直平分线过点P(x0,0)”可得x0=0，此时欲证结论也成立.

综上所述，可得欲证结论成立.

题3[《普通高级中学教科书·必修·数学·第二册(上)》(人民教育出版社，2006)第133页第7题的反问题]设直线l与抛物线y2=2px相交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，若y1y2=-p2，求证：直线l过该抛物线的焦点.

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2) ⑥

综上所述，可得欲证结论成立.

总之，用“点差法”解题，切记严谨：

(1)把等积式变成比例式时(比如把①变成②，⑥变成⑦)，要注意分母不为0(若分母的值为0，则中点弦所在直线的斜率不存在，须另行研究，比如题3)；

(2)除非题设中有“中点弦所在的直线与圆锥曲线交于不同的两点”(比如题2与题3)，否则要检验中点弦所在的直线与圆锥曲线确实交于不同的两点(比如题1)；

(3)遇到中点弦的垂线问题时，中点弦所在直线的斜率为0的情形要单独讨论，因为此时中点弦的垂线的斜率不存在(比如题2).

3 众多文献给出的“二次曲线中点弦所在直线的方程”欠严谨

定理1[3][4]设f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，若P(x0,y0)是二次曲线f(x,y)=0的弦P1P2的中点，则直线P1P2的方程是

⑧

证法1[3]：设点P1(X,Y)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中点，可得点P2(2x0-X,2y0-Y).再由两点P1,P2均在二次曲线f(x,y)=0上，可得

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，

A(2x0-X)2+B(2x0-X)(2y0-Y)+C(2y0-

Y)2+D(2x0-X)+E(2y0-Y)+F=0.

把它们相减后再除以4，可得

由此可验证两点P1(X,Y),P2(2x0-X,2y0-Y)均在直线⑧上，再由“两点确定一直线”可得欲证结论成立.

证法2[4]:设两点Pi(xi,yi)(i=1,2)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中点，可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.再由两点P1(x1,y1),P2(2x0-x1,2y0-y1)均在二次曲线f(x,y)=0上，可得

A(2x0-x1)2+B(2x0-x1)(2y0-y1)+C(2y0-y1)2+D(2x0-x1)+E(2y0-y1)+F=0.

把它们相减后，可得

(2Ax0+By0+D)(x1-x0)+(Bx0+2Cy0+E)·(y1-y0)=0

⑨

再由(x0-x1,y0-y1)是直线P1P2的一个方向向量，可得直线P1P2的一个法向量是(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)，进而可求得直线P1P2的方程是(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0即⑧.

分析:由题文[5]例7(1)及例8(1)的结论可知定理1[3][4]、推论1～3[3]均欠严谨，因而，它们相应的证法1[3]、证法2[4]也均欠严谨.下面再给予分析.

“定理1[3][4]”及其“证法1[3]”必须建立在“关于x,y的方程⑧确实表示直线”(即

不成立)、“直线⑧与二次曲线f(x,y)=0确实是交于两个不同的点P1,P2”(否则不能得出“两点确定一直线”)这两个前提下才是正确的，否则不正确.

“定理1[3][4]”及其“证法2[4]”必须建立在“直线P1P2的一个方向向量(x0-x1,y0-y1)不是0”[即Pi(xi,yi)(i=1,2)确实是两个不同的点]、“直线P1P2的一个法向量(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)不是0”(即不成立)及“关于x,y的方程⑧确实表示直线”(即⑨不成立)这三个前提下才是正确的，否则不正确.

由定理1[3][4]或推论1[3]可得：椭圆4x2+y2-1=0以坐标原点为中点的弦所在直线l的方程是0x+0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由文[5]例7(1)及(3)(i)的结论，可得直线l的方程是αx+βy=0(α,β是不同时是0的常数)].由定理1[3][4]或推论2[3]可得：双曲线4x2-y2-1=0以坐标原点为中点的弦所在直线l的方程是0x-0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由文[5]例7(1)及(4)(i)的结论，可得直线l的方程是y=kx(-2

注:若“关于x,y的方程⑧确实表示直线”(即⑨不成立)、“直线⑧与二次曲线f(x,y)=0确实是相交于两个不同的点”，则定理1[3][4]正确.

定理2[4]若f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，则二次曲线f(x,y)=0在点P(x0,y0)处切线方程是

证明[4]:当二次曲线f(x,y)=0的弦P1P2的两个端点Pi(xi,yi)(i=1,2)重合即三点P1,P,P2重合时，直线P1P2就是曲线f(x,y)=0在点P(x0,y0)处切线.再由f(x0,y0)=0及定理1[3][4]，可得欲证结论成立.

分析:因为定理2[4]的证明[4]是建立在定理1[3][4]的前提下的，而定理1[3][4]不严谨，所以定理2[4]及其证明[4]均不严谨.

由定理2[4]可得：二次曲线y2=0在坐标原点处的切线l的方程是0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由导数的几何意义可知直线y=kx+b(k,b均是常数)在该直线上任意一点处的切线均是该直线本身，可得切线l的方程是y=0].由定理2[4]可得：二次曲线x2-y2=0在坐标原点处的切线l的方程是0x-0y=0[而该方程不表示直线.笔者还不能断定切线l的方程是什么.有两种想法：(1)由二次曲线x2-y2=0以坐标原点为中点的弦所在直线是y=x或y=-x及“当中点弦两个端点重合时的中点弦所在直线是切线”(参见定理2[4]的证明[4])，可认为切线l的方程也是y=x或y=-x；(2)由曲线y=|x|在坐标原点处的切线不存在及曲线x2-y2=0与曲线y=|x|的联系，可认为切线l不存在].

注:若“关于x,y的方程确实表示直线”(即不成立)、“直线与二次曲线f(x,y)=0确实相切”，则定理2[4]正确.

证明:设两个切点分别是Pi(xi,yi)(i=1,2)，由定理2[4]可得二次曲线f(x,y)=0在点Pi(i=1,2)处的切线方程是

由点P(x0,y0)同时在这两条切线上，可得

所以两点Pi(xi,yi)(i=1,2)均在直线上，再由“两点确定一直线”可得欲证结论成立.

注:由定理1[3][4]及定理2[4]的“注”可知，定理3[4]及其证明均是严谨的.

4 二次曲线的另一种分类方法及其结果

设f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，记

则二次曲线f(x,y)=0的分类结果(共九种)如表1所示[5]：

表1 二次曲线f(x,y)=0分类结果

下面再给出其另一种分类方法及其结果.

参见定理1[3][4]证法2[4]的⑨式，可得二次曲线f(x,y)=0关于点(x0,y0)对称的充要条件是f(x,y)=f(2x0-x,2y0-y)即(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0，也即

也即

(1)当关于x0,y0的方程组有唯一一组解即Δ≠0(参见)时，二次曲线f(x,y)=0(包括轨迹不存在的情形，下同)有唯一的对称中心(即表1中的前两个型别也即前五个类别)；

(2)当关于x0,y0的方程组有无数组解即Δ=Θ=0(参见)时，二次曲线f(x,y)=0有无数个对称中心且这些对称中心的集合是直线2Ax+By+D=0(即表1中的后三个类别)；

(3)当关于x0,y0的方程组无解即Δ=0,Θ≠0(参见)时，二次曲线f(x,y)=0无对称中心(即表1中的第六个类别).