夹逼定理极限理论下思政元素挖掘与呈现

姬红艳

(河北工程大学 数理科学与工程学院，河北 邯郸056038)

高等教育不仅肩负专业知识的传授、学生综合知识运用能力的提高，而且要全面推进思想政治建设，各类课程要与思想政治课同向同行，形成协同效应。在教学过程中要坚持显性教育与隐性教育相统一，挖掘课程和教学方式中所蕴含的思想政治教育资源，实现全员全程全方位教书育人。

极限理论是高等数学中最基础最重要的理论之一，贯穿于高等数学的始末。极限方法是借助于极限理论，利用规则的、规范的知识点来解决不规则问题、无规律问题的重要方法，同时培养学生相应逻辑思维能力、解决问题能力。在极限理论的夹逼原则中的放缩方法的学习中隐含着思想政治建设的创新导向与适度原则。

一、极限运算法则运用过程中培养学生未知问题向已知转化的逻辑思维

极限理论是高等数学的重要理论，极限理论的核心是：如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。定义讨论相关问题高度抽象，极限计算的四则运算法则将极限存在性证明和计算方法首次进行扩充，极限运算法则的运用条件中要求参加运算的函数个数为有限个、参加运算的函数极限都存在、分母极限不为0。但当参加运算的函数的个数为无数个的情况下不能运用运算法则时，启发学生使用有限个函数的运算来表达上述结果，将未知问题向已知转化，通过典型例子求解极限如图1所示。

图1 未知问题向已知转化过程

例如：

不能运用运算法则直接求解，通过转化为

来解决问题，强调在学习、生活和工作中不可死板教条要培养分析问题的习惯，增强未知问题向已知转化意识，培养学生的逻辑思维能力。

二、极限运算法则运用过程中培养学生转化障碍问题的发现意识和创新意识

极限运算时参加运算的函数在自变量变化过程中极限都存在，参加运算的函数个数为无数个不能直接转化为有限个函数的运算，例如：

该例中参加运算的函数为无数个，在自变量趋于无穷时每一个函数的极限都存在但不能运用运算法则，因为参加运算的函数为无数个不能由有限函数的运算来等值运算结果。通过分析参加运算的函数结构，发现求和的n个函数分母不同，无穷多项相加的结果难以向有限项转化，和前面典型例题不同，原有方法不适合，需寻求新的解决方法。当等值无法转换时考虑能不能进行非等值转换，结合极限体现函数的取值动态，反之函数的取值动态决定极限情况，函数极限的比较原则启发将参加运算的函数进行放缩，放缩为可以用有限项运算来等值的函数运算。极限运算

中n个函数向分母相同转化

考虑放缩后的极限情况，引入夹逼原则。

在问题原转化方式难以解决的情况下，创新挖掘进行放缩，融合创新能力的思维习惯，培养学生在学习和工作中学习新知识的能力和创新的意识，培养学生在学习和工作中前人栽树后人乘凉的学习心态，同时培养学生主人翁意识，如图2所示。

图2 学生转化障碍问题的发现意识和创新意识培养路径

三、夹逼原则定理的教学环节设计中培养学生不忘初心，砥砺前行

由引例中得到启发引入数列极限运算的夹逼原则，结合极限概念为局部概念思想将夹逼原则的数列极限理论进行扩充，由数列极限的夹逼原则引入函数极限的夹逼原则，教学环节设计如图3所示。引入重要极限的典例

图3 夹逼原则定理的教学环节设计

创新方法解决问题要本着问题本身不能解决的根源所在，找到解决问题的方法，在学习、生活和工作中进行创新不能凭空想象而要寻根索源，结果必然会柳暗花明！

四、夹逼原则中放缩法的运用培养学生树立有章可循、有法可依的理念

夹逼原则运用前提是要讨论极限的函数不能运用运算法则也不能等值转化为可使用运算法则的函数运算，结合函数结构特点未知问题通过放缩以后转化为已知问题，放缩的目标是转化为可运用运算法则进行讨论的函数结构。在放缩时必须是适当放缩，放大和缩小应遵循的原则：第一，放大和缩小以后的函数结构简单；第二，放大和缩小以后的函数极限都存在；第三，放大和缩小以后的函数极限必须相等。例如，极限计算

如果单从放大和缩小简化函数结构来考虑，将函数

放大为

共n个函数相加；

缩小为

放大和缩小以后的函数结构虽然简单，极限也存在，但是两个函数在n趋于无穷时极限并不相等，不能够计算出所求极限。所有方法所有变换要本着解决问题的方向出发，无论转化的方法和构思多么巧妙，转化后的函数结构多么简单，但是转化后的极限情况不一致就抹杀了函数结构转化的目的。同样，在学习工作中，要有法可依，有章可循，不可盲目行事。

小结

本文主要通过讨论高等数学中极限四则运算法则运用时不满足法则运算条件的情况下，采用不同的解决方法时思改元素的挖掘与呈现：参加运算函数个数为无数个时可以用有限个函数运算来等值结果提升学生未知问题向已知问题转化的逻辑思维能力；参加运算函数个数为无数个不能由有限个函数运算来等值结果时的情形培养学生在学习工作中的主体意识和创新意识；通过夹逼原则的适度放缩的讨论学习培养学生解决问题时不可盲目追求表现形式的华丽，要追根溯源、有章可循、有法可依。