融入课程思政的无穷限反常积分概念的教学设计*

刘丹 王贝

（江苏第二师范学院 数学科学学院）

2020年5月《高等学校课程思政建设指导纲要》[1]（以下简称《纲要》）中指出：理学、工学类专业课程要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。理学类专业课程，要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。为贯彻习近平总书记讲话精神，全国高校推进“课程思政”建设，已有许多学者进行了有益的探索[2-5]。文献[2]介绍了南京大学数学系在推动数学课堂与课程思政的融合方面的工作，强调了将数学史、数学文化融入课程思政的重要性，以及前沿讲座、专家学者会客厅、学习报告相结合的第二课堂课程思政平台。文献[3]从“加大政策扶持力度、开展线上与线下混合教学模式，落实在线教学过程管理，完善评价体系，提高教师文化素养，逐步完善智能可视化平台和相关配套工作”等方面提出切实可行且行之有效的高等数学课程思政建设策略。文献[4]以高等数学课堂为例，列举出以身立教、揭示数学美、陶冶情感、融入德育元素等将传授知识与德育教育相融合的四大有效方法，强调知识传授与课程思政无缝对接，为高等数学教学中实施课程思政提供有益的参考。文献[5]以河海大学大禹学院《工科数学分析》思政教育改革为例，阐述了理工科思政教育的元素，介绍了理工科四条思政元素融入课堂的培养成果。

《数学分析》作为数学类各专业基础类必修课，开课 3 学期，理论教学近 300 学时，是开课时间最长、分量最重一门课程，是后续学习的基础。该课程对学生了解微积分的产生背景、基本思想以及其完善过程，理解微积分在整个科学发展历史中的意义，加深对初等数学与高等数学知识差异与关联的认识和理解，提高数学素养，培养创新意识有重要意义。同时，数学分析课程中的许多知识和方法都充满了辩证法，能够有效帮助学生弄清不变与变、有限与无限、局部与整体、特殊与一般的辩证关系，进一步培养辩证唯物主义史观。因此，该课程的思想政治教学模式研究迫在眉睫。但是，注意到，由于教学内容多、理论性强、抽象度高及课程难度很大、教学压力大等问题，使得数学分析课程思政的推进令许多任课教师感到为难。

反常积分在数学分析课程中占有非常重要的地位，且在数学、物理及工程学中都有着广泛的应用。反常积分是定积分概念的推广，在实际应用时需要突破定积分中对积分区间和被积函数的限制，从而导致反常积分概念的产生。但由于无穷限反常积分的定义十分抽象，教学方式单一，学生缺乏直观想象，对初学者来讲很难理解。

本文针对无穷限反常积分概念的知识点，科学设计案例例题，融入了课程思政到教学中。通过“神舟十四号”载人飞船发射视频，引出求第二宇宙速度问题，通过讲述中国载人航天30年间跨越式发展的辉煌成就，激发学生的爱国情怀、民族自豪感，同时在解决问题过程中感受微积分的神奇之美，有助于提升学生的学习兴趣。

一、教学设计思路

由于无穷限反常积分的定义十分抽象，采用问题驱动法，以“问题导入—共性概括—概念的引出—总结计算公式—实例应用—课后思考”思路展开。首先，依托“案例教学法”“问题驱动法”教学模式，从求第二宇宙速度、求开口图形的面积两个实例中发现问题，并从数形结合的动态演示中体会从有限到无限的思想，帮助学生对于无穷限反常积分的概念有一个直观的理解和认识；其次，从两个实际问题提炼出共性，把这种变上限函数的极限抽象出来，上升为数学上的概念-无穷限反常积分，进而推导出无穷限反常积分的计算公式，并回看引例，实际问题，让学生学以致用；再次，通过实例消化无穷限反常积分概念，并强化计算，体会无穷限反常积分的本质；最后，总结课程要点，结合课程思政，启发学生在日后的工作生活当中，遇到考验时，可以把它视为一个反常积分。表面上看似不可能的事情，实际上往往却是收敛的，大有可为的。在看待问题、想事情时，要用科学、严谨的思维去全方面考虑，万万不能绝对化的想当然，解决问题也要有创新性和突破性。

二、教学过程

（一）问题的引入

由于无穷限反常积分的定义十分抽象，对初学者来讲很难理解。故本知识点的教学设计在问题导入环节花费了一些时间，用火箭发射视频抛出第二宇宙速度问题，引出无穷限区间上的积分，以及无界区域的面积计算问题体会从有限到无限的思想，将抽象的概念具体化，使学生在课程初始，对于无穷积分的概念有一个直观的理解和认识。设计如下：

首先播放神舟十四号载人飞船成功发射的视频，并介绍其背景。既能提升学生学习兴趣，体会学以致用，又能通过展现30年间中国航天的跨越式发展激发学生民族自豪感和爱国情怀，增强文化自信。短片播放后提出问题：

引例1 发射火箭，要使得火箭克服地球的引力，无限远离地球，发射的初始速度，0V至少要多大？

建立直角坐标系，以地球的球心o为原点，发射塔为ox轴。地球的半径为R，火箭的质量为m，地面上的重力加速度用g来表示。根据万有引力，在距地心x处（x＞R），火箭的引

引导学生观察图1，思考：

图1 火箭发射演示

学生现在还不会求火箭无限远离地球需做的功，但会求火箭从地面上升到离地心h处需要做的功hW。由已学的定积分知识可知，hW可以用下限为R，上限为h的 定积 分来表示。要求火箭从地面到无限远处克服地球引力所做的功，需要在上式中令h趋向于正无穷。注意到，当h→+∞时，意味着积分的区间就是从R到正无穷。此时，学生发现遇到了一个积分区间是无穷区间的非正常积分，它表示的是一个变上限定积分的极限，所反映的是火箭要无限远离地球所做的功。从而学生对无穷积分的概念有一个直观的理解和认识。

接着看第二个问题。

2.2.1 对国有苗圃进行产权改革和产业化重组，将其纳入市场经济轨道，主要是通过产权制度改革，建立能按市场法则办事，彻底抛弃“等、靠、要”的思想，真正成为独立经营、自负盈亏、独立享有民事责任的法人实体，实现经营管理机制由事业性管理转变为以追求经济利益最大化的市场经济运行体制，自觉适应市场竞争要求。并在市场竞争中做强做大，正发挥国有苗圃的龙头和示范带动作用。

因为它是无界区域，学生现在不会求开口曲边梯形的面积。在以往的教学中发现，不少同学第一反应就是，无界区域的面积不应该是无穷大吗？也有部分同学画图思考后，考虑到被积函数在[ )

1,+∞上是非负函数，直接套用定积分的几何意义，得出结论：面积是在[1 ,+∞)上的积分，随即发现右端点是x=+∞，这与定积分中积分区间是有限的相矛盾。学生感到困惑不已。

为解决这一矛盾，在x轴上取实数u大于1，那么在区间[1,u]上，就得到了一个定积分学习时常见的封闭的曲边梯形，可知其面积等于下限为1，上限为u的定积分。学生通过观察图2，发现所取的u越大，则这个封闭曲边梯形的面积就越接近无界区域的面积。利用极限思想，让实数u趋近于无穷大，则变限定积分的极限就是开口曲边梯形的面积。

图2 引例2 无界图形面积问题

（二）概括共性

给学生提出问题：这两个问题有什么共性呢？

引导学生发现：虽然这两个问题的背景不同，但从数学上看二者本质却是相同的，都可以归结为变上限定积分函数的极限问题。并且形式上，当变上限趋向于正无穷的时候，意味着积分区间就是从某一常数到正无穷。

通过以上两个生活中的案例，让学生形象的感受到无穷积分蕴含着从有限到无限的思想。它将定积分的有限区间推广到了无限区间，这就是无穷限反常积分，以下简称无穷积分，也有教材称为第一类反常积分。

（三）无穷限反常积分定义

设函数f(x)在[a , +∞)内有定义，且对任意一个u大于a，f (x)在[a,u ]上黎曼可积。考虑f (x)在[a,u ]上的变上限积分，当u趋向于正无穷时，如果这个极限存在，则称此极限为f (x)在[a , +∞)上的无穷积分，记做

回看引例1中，火箭无限远离地球所需做的功可用[R , +∞)上的无穷积分表示。即

由动力学知识，火箭发射时必须具有的最小动能应等于地面到无限远处克服地球引力所做的功，即解得v0= 11.2公里秒。

根据上面的分析，我们就解决了，航空航天领域中的火箭发射的初始速度。

（四）计算公式

无穷积分是通过变限定积分的极限定义的。通过求变上限的定积分函数当自变量趋于无穷时的极限，若极限存在则收敛，若不存在则发散。因此，无穷积分的定义式既可用于判定，又可用于计算。

根据以上的分析，教师推导具体的计算公式。

无穷积分的计算，首先求被积函数f(x)的原函数F(x)，将积分上下限带入，再求极限。即

称为广义的牛顿莱布尼茨公式。

（五）其他两种形式

类似地，可以定义其他两种无穷区间上的积分形式。此时可以先让学生讨论f(x)在(- ∞,b]上的无穷积分，教师再给出精确定义，即

进一步推导计算公式

对 于 f(x)在(- ∞,+ ∞)上 的无穷积分，用上述两种无穷积分的和来表示并计算，即

提醒学生需要注意，这个无穷积分收敛的充要条件为：等式右端的这两个无穷积分都收敛。以上，我们就学习了三种形式的无穷限反常积分的定义。

（六）例题讲解

结合例题，让学生进一步体会无穷积分是通过变限定积分的极限定义的。

解： 按照此无穷区间的无穷积分计算公式，

（七）课程小结

本知识点主要讲解了三种无穷区间上的反常积分。无穷限的反常积分是通过第二宇宙速度而引入，它的几何直观是无界区域的面积。在课程最后，需要重点强调：无穷积分是通过变限定积分的极限定义的。通过求变限的定积分函数的极限，若极限存在则收敛，若不存在，则发散。因此，无穷积分的定义式既可用于判定，又可用于计算。实际使用过程中，广义牛顿莱布尼茨格式使用更方便。

同学们在解决这个实际问题的过程当中也发现了一个违反常规的结果，无界区域的面积值竟然为有限值。这正是微积分的神奇之美。

我们在工作生活中，遭遇考验时，都可以把它视为一个反常积分。表面上看似不可能的事情，实际上往往却是收敛的。所以，在看待问题、想事情时，要用科学、严谨的思维去全方面考虑，万万不能绝对化的想当然，解决问题也要有创新性和突破性。

（八）课后思考

最后，请学生课后来思考，无穷限的反常积分是将定积分的有限区间推广到了无限区间。那么试想，如果将定积分的被积函数的有界性推广到无界函数，那么又会得到什么形式的积分呢？又该如何计算呢？

三、小结

通过“神舟十四号”载人飞船成功发射的视频超然的画面激发学生民族自豪感。接着引出求第二宇宙速度问题，结合求开口图形的面积两个实例抽象成数学概念，让学生感受无穷限反常积分概念产生的背景，探索概念的形成过程，培养学生的逻辑推理能力。授课过程中，借助多媒体辅助教学，使得课程讲授更加形象化。强调无穷限反常积分的几何直观，让学生学会运用无穷限反常积分解决实际问题，做到学以致用。最后，结合课程思政，将课程落到实处，让立德树人“润物无声”，为社会主义建设培养接班人。笔者所在高校积极推进课程思政建设，建设课程思政示范课程。实践证明，数学分析课程的教学效果，课堂气氛活跃了，学生学习兴趣提升了，课间讨论课程学习的同学增多了。但同时需要注意的是，学生不喜欢疲沓的、枯燥的说教，希望把具体知识和案例穿插进思政内容，即“润物无声”。这就需要授课教师精心准备教学设计，不断挖掘课程思政元素，这也对任课教师的能力提出了更高的要求。