例析代换法解高中数学题的不同应用思路

李浩生

(新疆巴州库尔勒市第三中学)

代换法是通过变换研究对象使问题得到简化的一种方法,是高中数学中重要的解题方法.代换法在具体问题解答过程中有着不同的方式,如常见的和差代换、整体代换以及三角代换.合理地运用代换法能解答函数、解三角形、方程等不同类型的问题.本文结合例题进行分析,总结利用代换法解题的具体思路.

1 和差代换解题

当问题中含有形如a＋b＝2A的已知条件时,可以考虑采取和差代换求解问题.根据所给条件a＋b＝2A,假设a＝A＋d,b＝A-d,将其代入已知的关系等式中,转化为与A,d有关的等式.再根据具体等式求出d的大小,通过运算即可得到问题的答案.

和差代换解题往往需要在a＋b＝2A这个前提条件存在的情况下进行,若问题中给出的条件较少,则需要自主寻找其他关系式.在运用和差代换解答与三角函数或三角形有关的问题时,应注意角度的选取范围,避免错解和漏解的情况出现.

2 局部代换解题

利用局部代换的关键在于将局部或整体运用一个变量代换,从而使解题过程得到简化.具体的解题思路为借助问题的已知条件,将问题所求的局部看成新变量t,用t表示已知等式和问题所求表达式,再将问题等价转化为求解与t有关的函数值域问题,即可得到问题所求答案.

局部代换是常见的代换思路,通过引入新变量使问题中未知变量个数减少,达到简化问题的目的.

3 三角代换解题

三角代换的运用,关键在于把问题转化为与三角函数相关问题进行解答,其解题的具体思路为分析问

应用三角代换解题的前提是已知解析式和三角函数公式有一定的相似度,若不能直接找到问题所求表达式与三角函数之间的联系,可以对其进行构造,间接进行代换.

4 增量代换解题

增量代换是在原有条件的基础上增加新变量t,使陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题.具体思路为根据已知的不等式a≥b,引入变量使其转化为等式a＝b＋t,借助已知不等式求出新变量t的范围,再将问题所求的解析式用新变量表示,根据新变量的范围进行求解.

5 常量代换

常量代换通常是把常数代换为未知变量,进而简化关系式.具体的解题思路为根据已知条件或常见的公式,将所求表达式中的常数代换成变量,再根据简化的表达式,求对应的范围大小即可.

常量代换经常借助问题所给条件或一些熟知的公式进行代换,将常数替换为变量后,再借助基本不等式求解范围.

代换法的代换形式千变万化,解题时应根据不同的问题采用合适的代换方法,要掌握常见的代换方法,还要对问题进行归纳总结,才能拓宽解题思路,提升解题效率.