一道新高考导数压轴题的分析与延伸

雷 蕾 (江苏省南京市第一中学 210001)

2022年新高考I卷第22题是一道函数与导数综合的压轴题，考查了利用导数研究函数的极值与最值、零点等知识，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想，对学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养要求较高．下面笔者从分析高考真题、推广一般结论、探究其他性质这三个方面展开，对这道压轴题进行深度解析，供大家参考．

1 分析高考真题，厘清解题思路

试题(2022年新高考I卷第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．

(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

思路 (1)分2步：①分别求出f(x)与g(x)的最小值(用a表示)，由f(x)与g(x)的最小值相等建立关于a的方程；②利用导数求解关于a的方程．

(2)分3步：①证明f(x)与g(x)的图象只有一个交点(x0,y0)；②证明直线y=y0与f(x),g(x)的图象各有另一个交点；③证明从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

图1

因为f(lnx0)=x0-lnx0=ex0-x0=f(x0)，由f(x)的单调性可知，直线y=b与f(x)的图象交于两点(lnx0,b),(x0,b)．因为g(ex0)=ex0-x0=x0-lnx0=g(x0)，由g(x)的单调性可知，直线y=b与g(x)的图象交于两点(x0,b),(ex0,b)，所以存在直线y=b与f(x),g(x)的图象有三个交点，其横坐标从左到右依次为lnx0,x0,ex0．由ex0-x0=x0-lnx0知，其横坐标成等差数列．

2 探究其他情况，得出一般结论

从上述分析可以发现，本题的第(2)题就是从直线y=b经过f(x)与g(x)图象的交点出发进行命制，考查了一种特殊情形．那么，对于一般情况，也就是直线y=b不经过f(x)与g(x)图象的交点时，是否有类似的结论？

变式1 已知直线y=b与f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的图象共有四个不同的交点．

(1)求实数b的取值范围；

(2)设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4，求证：x1+x4=x2+x3．

(2)①由(1)知，当b∈(1,y0)时，直线y=b与f(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x1,x2，直线y=b与g(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x3,x4，即f(x1)=f(x2)=g(x3)=g(x4)=b，其中lnx0

图2 图3

②由(1)知，当b∈(y0,+∞)时，直线y=b与f(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x1,x3，直线y=b与g(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x2,x4，即f(x1)=g(x2)=f(x3)=g(x4)=b，其中x1

综上，x1+x4=x2+x3．

评注(1)对于变式1第(1)题中的交点个数问题，也可以用零点存在定理进行判断：

(2)若将试题与变式1中的函数一般化，即f(x)=ax-x，g(x)=x-logax，其中a>1，容易判断f(x)与g(x)都只有一个极小值点，且极小值相等．利用f(logax)=g(x)与g(ax)=f(x)可以证明：

①若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，则从左到右的三个交点的横坐标成等差数列；

②若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4，则x1+x4=x2+x3．

3 总结命题规律，探究其他性质

通过对试题与变式1的分析，我们发现函数f(x)与g(x)之所以具有上述性质，关键是满足两点：①f(logax)=g(x)，g(ax)=f(x)；②f(x)与g(x)都只有一个极值点，且极值相等．

下面笔者适当改变f(x)与g(x)的解析式，使其满足上述两个关键点，探究其他函数的类似性质．

(1)若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，试探究：从左到右三个交点的横坐标之间的关系；

(2)若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点的横坐标之间的关系．

图4

图5

综上，若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4，则x1x4=x2x3．

②当x∈(e,+∞)时，lnx>1，因为f(x)在(1,+∞)上递减，易证x>lnx，所以f(x)

①若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，则从左到右三个交点的横坐标成等比数列；

②若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4，则x1x4=x2x3．

4 结语

总之，对于一道典型的高考真题，我们不能仅仅局限于解决这个问题，还应从多个角度对其进行剖析，充分挖掘其价值．通常可以思考如下问题：你能用多种方法求解这个问题吗？这个问题的命题意图是什么？改变条件或目标后这些方法还适用吗？这个问题能否推广到一般情形？等等．只有真正弄清这个问题的来龙去脉，把握其各种变化，我们在遇到新问题时才能做到灵活处理、巧妙应对．