一类具有全局中心的Hamilton系统在分片多项式扰动下极限环个数的估计

贾秀平，李宝毅，张永康，隋世友

（1.天津师范大学数学科学学院，天津300387；2.天津商业大学理学院，天津300134）

1 引言与主要结果

在平面微分方程定性理论中，Hamilton系统在小扰动下极限环个数的估计是一个热点问题，其与弱化Hilbert第16问题[1-2]密切相关.对于特殊形式的Hamilton函数H（x，y）=y2/2+Pk（x），Pk（x）为x的k次多项式，当k=3、4时，称H（x，y）为椭圆函数，当k≥5时，称H（x，y）为超椭圆函数.

当k=3时，若对应的Hamilton系统具有周期闭轨族，则Hamilton函数可以标准化为H（x，y）=y2/2+x3-x.对于该系统，文献[3]讨论了其在多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数，文献[4]将平面分为左右2个区域，文献[5]将平面分为上下2个区域，分别得到该系统在分片n次多项式扰动下的极限环个数不超过16n+[n/2]-10（计重数）和7n+[（n-1）/2]（计重数）.

当k=4时，若对应的Hamilton系统具有周期闭轨族，则系统有5种拓扑结构：①包含2个鞍点异宿环围成的周期环域；②同宿环围成周期环域；③尖点环内外均为周期环域；④“8字形”双同宿环内外具有3个周期环域；⑤具有全局中心.文献[6]综合考虑了这5种情况，证明了系统在n次多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数不超过7n+5.文献[7]对这5种情况的研究结果进行了综述.对于情况④，文献[8]讨论了H（x，y）=y2+x4-x2的系统在多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数；文献[9]研究了H（x，y）=y2+x4-x2-λx的系统在n次多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数；当平面分为左右2个区域时，文献[10]得到了H（x，y）=y2/2-x2/2+x4/2的系统在分片n次多项式扰动下Abel积分的零点个数不超过2n+7[n/2]+1（计重数）.对于情况⑤，文献[11]讨论了H（x，y）=y2+x4+x2的系统在多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数；文献[12]证明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/2的系统在一类特殊的3次多项式扰动下至多有2个极限环；文献[13]证明了当Abel积分不恒为零时，H（x，y）=y2/2+x2/2+x4/2的系统在一般的3次多项式扰动下极限环个数的上确界为2.

当k≥5时，系统极限环个数的研究难度陡然增加，文献[14]证明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/4+cx6/6的系统在n次多项式扰动下极限环个数不超过54n-13（计重数）.

本文以x轴为切换直线将平面分为上下2个区域，考虑系统

其中：0＜ε≪1，n∈N+；

当ε=0时，系统（1）0的Hamilton函数为

当h∈（0，+∞）时，系统（1）0存在顺时针走向的周期闭轨族Γh＝Γh＋∪Γh-，其中

设Γh与x轴正、负半轴分别交于点A+（ah，0）、A-（-ah，0），其中

定理当h∈（0，+∞），且系统（1）ε的一阶Melnikov函数不恒为零时，系统（1）ε的极限环个数不超过6n-2[1+（-1）n]（计重数）.

2 一阶Melnikov函数的推导

根据Γh的对称性可得

引理1当h∈（0，+∞），i、j∈N+时，有

证明对式（2）关于x求导得

式（7）乘以x2i+1yjdx，并沿Γh＋积分得

因为

将式（9）代入式（8）整理得

即

式（5）得证.

式（2）乘以x2iyjdx，并沿Γh＋积分得

将式（5）代入上式化简得

式（6）得证.引理得证.

引理2当h∈（0，+∞）时，有

其中：fl（h）、（h）、gl（h）、（h）分别为关于h的次数不超过l的多项式.

证明当m=1、2时，由引理1可知式（10）显然成立.

假设当m≤2k时式（10）成立，则当m=2k+1时，由式（5）可得

其中：

从而有

因此，当m=2k+1时，式（10）成立.当m=2k+2时，由式（5）可得

其中：

从而有

因此，当m=2k+2时，式（10）成立.综上式（10）得证.

利用与式（10）类似的证明过程可证得式（11）成立.引理得证.

命题当h∈（0，+∞）时，系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

其中：多项式ui，n（h），i=1、2、3、4满足

证明由式（3）、式（4）和式（9）可得

在式（6）中取（i，j）=（0，0）得

采用数学归纳法证明式（13）.当n=2时，M1（h）=q*00I+00，式（13）成立.当n=1时，M1（h）=q*00I+00+q*01I+01，式（13）成立.由式（14）可知，当n=2时，

式（13）成立.假设当n=2k时式（13）成立，则当n=2k+1时，结合引理2可知，式（13）右端新增加的项为hkI+01和hk-1I+21，式（13）左端新增加的项为

因此，当n=2k+1时，有

其中系数多项式满足

即当n=2k+1时式（13）成立.

当n=2k+2时，结合引理2可知，式（13）右端新增加的项为hk+1I+00和hkI+20，式（13）左端新增加的项为

其中系数多项式满足

因此，当n=2k+2时，有

其中系数多项式满足

即当n=2k+2时式（13）成立.综上，命题得证.为方便，记Δ（h）=h（4h+1）.

引理3I+00、I+20满足Picard-Fuchs方程组

证明由式（2）得，所以又因为

则有

所以式（15）成立.对式（15）关于h求导，并将式（15）代入，整理可得式（16）.引理得证.

引理4I+01、I+21满足Picard-Fuchs方程组

证明利用结合文献[13]的引理1可知式（18）成立.对式（18）关于h求导，并将式（18）代入，整理可得式（19）.引理得证.

3 一阶Melnikov函数零点个数的估计

引理5[4]设K为一个开区间，h∈K，P2（h）、P1（h）、P0（h）和R（h）均为K上的充分光滑的连续函数，P2（h）的零点是孤立的，且

存在一个非平凡解Φ1（h），则

的任一解在K上的零点个数（计重数）不超过p+2w+r+2，其中p、w、r分别为P2（h）、Φ1（h）、R（h）在K上的零点个数（计重数）.

为方便，f（h）在h∈（0，+∞）上的孤立零点个数（计重数）记为#f（h）.

定理的证明在式（12）中令

对Ψ1（h）关于h求导，由引理4可得

其中：

从而

设P2（h）为k次多项式，P1（h）为k+1次多项式，P0（h）为k+2次多项式，则式（20）左端为关于h的次数不超过β+k+2的多项式，共有β+k+3项，若令各项系数为0，则得到β+k+3个线性方程.式（21）左端为关于h的次数不超过β+k+1的多项式，共有β+k+2项，若令各项系数为0，则得到β+k+2个线性方程.因此可得到一个含有2β+2k+5个方程的线性方程组.又由于P2（h）、P1（h）和P0（h）中分别有k+1个、k+2个和k+3个待定系数，则线性方程组共有3k+6个待定系数.因此，当3k+6>2β+2k+5，即k>2β-1时，线性方程组存在非零解.取k=2β，则存在系数不全为0的实系数2β次多项式P2（h）、2β+1次多项式P1（h）和2β+2次多项式P0（h），使得L（Ψ1（h））≡0.

对Ψ0（h）关于h求导，由引理3可得

其中：

从而

其中：

从而

因此

由P2（h）的次数可得p=#P2（h）Δ2（h）=#P2（h）≤2β，又由文献[15]可知w=#Ψ1（h）≤2[（n-1）/2]=2β，则由引理5可得

由此可得，在分片n（n∈N+）次多项式扰动下，当M1（h）≢0时，系统（1）ε的极限环个数不超过6n-2[1+（-1）n]（计重数）.定理得证.