大概念：中小学教师MPCK的新来源

吕增锋

(浙江省象山县第二中学， 浙江 宁波 315731)

MPCK，即数学教学内容知识(Mathematical Pedagogical Content Knowledge简称)，其意义在于回答了数学教师需要具备什么样的知识，才能够把数学知识的理论形态转化为教育形态，从而达到帮助学生理解数学，促进学生主动学习的目的[1]。MPCK数学教师特有的、影响其专业成长的关键因素，是数学教师专业发展的新的生长点，其丰富程度可以作为教师教学是否走向成熟的重要标志。“自身的教学经验反思”“教材”“和同事的交流”“在职培训”“课堂听课与教研活动”“教学参考资料”等是学术界公认的中小学教师MPCK的几个来源，但研究表明，除了“自身的教学经验反思”与“教材”对MPCK的发展具有显著意义外，其他的几个来源对发展MPCK的作用并不太大[2]。也就是说，对中小学教师来说，MPCK主要来源就是“自身的教学经验反思”与“教材”，因此，寻找MPCK新的来源具有重要的现实意义。

一、什么是大概念

大概念，并非学科课程的某一具体知识性概念或名词，而是集中反映学科本质，具有相对稳定性、共识性、统领性等共性，能将离散或琐碎的不同主题和知识实现“有意义”地“黏连”，从而帮助学生以“专家式思维”阐释和预测较大范围物体、事件或现象的某种有组织、有结构的“核心概念”“知识模型”或“学科大图景”[3]。大概念的“大”不是指“庞大”，指的是“核心”“高位”或“上位”，即学科领域中最精华、最有价值的核心内容；大概念也并不仅仅指的是概念，通常可以表现为概念、观念与论题等三种形式，例如，“函数是刻画现实世界变化规律的重要模型”，此时大概念就表现为“概念”的形式；“数学教学要遵循自然”，这个大概念指向的就是一种教学“观念”；“数学有趣”这个大概念呈现出来就是一个“论题”，很难断定它的真假。

大概念可以分为学科大概念与跨学科大概念。学科大概念指向的是学科的基本结构，不但具备了大概念本身的中心性、网络状等特征，同时具有鲜明的学科特性，在落实学科核心素养的过程中扮演着关键性角色；跨学科大概念涉及了学科间的交汇与融合，显然比学科大概念更加宏观，它指出不同学科领域统一的思维方式，能够将不同学科领域中相互关联的知识组织成连贯条理的客观世界，例如，“数学是一种文化”“数学是抽象艺术”“数学源于生活”等，都属于跨学科大概念的范畴。

同时，大概念也是有层级的，从高到低可以被细分为课程大概念、单元大概念、课时大概念。课程大概念处顶尖位置，其下面的两个“大概念”相对于它来说就成了“小概念”或者“次要概念”；同样，课时大概念、相对于单元大概念来说，也是“小概念”“次要概念”，这也说明了大概念的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的“大”概念。例如，对于“平面向量”这个单元来说，它所指向的课程大概念有“用联系的观点看数学”“数学源于生活”“数学是一种运算”等；单元大概念有“向量具有数与形的特征”“向量是语言”“向量是运算”“向量是工具”等；课时大概念就更多了“向量自由移动”“向量用有向线段表示”“向量加法满足三角形与平行四边法则”“数量积运算结果是数量”等。不难发现，所在层级高的大概念所呈现的内容往往比较抽象，而所在层级低的大概念就相对比较具体。因此，大概念往往无法直接交给学生，而是先要具化为层级较低的次要概念、小概念，然后才能付诸课堂教学实践。

二、为什么大概念能够促进教师MPCK的发展

大概念源于学科中的各种概念、理论、原理和解释体系，事实性知识或技能的抽象与提炼，是核心思想的整合与核心素养的重要表征，是学生在遗忘大部分细节后仍然能保留下来的重要理解[4]。由此可见，大概念实际上就是构成MPCK的主体。

(一)大概念促进了对教材的理解

教材是教师专业发展助推器，教材是教师专业发展的有效载体，毫不夸张地说教师的教书生涯就从理解教材开始，只有在充分理解教材思想意图和内容价值的基础上才能开展更有效的教学。教师对教材的理解依赖于前见，即对教材筹划最初意义的认识，前见越丰富，理解教材的速度与准度就越高。大概念是教材知识的高度凝练，通过教材中大概念的提取与理解，有助于教师丰富前见，扩大教材理解的视域。比如，对于高中数学新教材人教A版(2019)的“主编寄语”，通过提取，就可以获得“数学是有用的”“数学是自然的”“多样化的学习方式”“学习贵在创新”等一系列大概念，在这些大概念的引领下来解读教材，就越容易与教材的编写者产生共鸣，也就越能够理解：教材中知识这样呈现是不是更加“自然”、教材中的问题为何如此关注“应用”、教材为何提倡“数学建模与探究活动”……又比如，在获取“向量是一种运算”这个大概念后，再来审视“平面向量”，会发现这章的所有内容都是按照“运算背景—运算规则—运算性质—运算的几何意义”展开。显然，教材也是以大概念为基本框架构建而成的，教师理解大概念，也就理解了教材，MPCK自然得到发展。

(二)大概念阐明了教法与学法

大概念一般可以从课程标准、核心素养、专家思维、概念派生、生活价值、知能目标、学习难点、评价标准等八条路径提取，并且很多大概念的获得是综合多条路径提取的结果。因此，大概念覆盖了教学的方方面面，直指数学“学什么”“如何学”“学得如何”的核心中枢。对教师而言，众多的大概念就构成了数学教学的说明书、指导手册。比如，大概念“数学是自然的”，不仅解释了“数学自然的属性”，而且表明“数学教学的过程要自然”，只有“自然生成的数学课才是好的数学课”；又比如，大概念“函数是重要的数学思想”，不仅解释了“函数是什么”，而且表明了要把“函数思想贯穿于教学过程”，以期达到“掌握函数思想”这一教学目标。因此，大概念可以为教师的数学教学提供间接经验与付诸实践的标准，从而使MPCK得到丰富与完善。

三、如何借助大概念发展教师的MPCK

MPCK一般由数学学科知识(Mathematics Knowledge，简称MK)、一般教学法知识(Pedagogical Knowledge，简称PK)、有关数学学习的知识(Content Knowledge，简称CK)这三部分内容组成。通过对大概念的梳理及教学实践，围绕这三部分内容，来构建发展教师MPCK的实施路径。

(一)梳理教材提取大概念

虽然大概念的提取路径有很多，但教材是大概念的最主要来源。教师先研读课程标准，从中获得 “核心素养”“四基四能”“三会”“立德树人”“把握数学本质”等一系列的课程大概念；然后，在课程大概念的引领下研读数学教材，把教材中的大概念按照从高到低的层级依次梳理出来。当然，对很多教师而言，很难做到一次性、准确地提取这么多大概念，这需要教师在反复研读教材的基础上逐步领悟大概念，通过对大概念优化表达与重组来实现对大概念准确把握。比如，有教师可能会这样表述大概念：“函数思想是对函数内容在更高层次的抽象、概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。”这种表达方式既啰唆又模糊，可以优化分解为“函数是思想”“函数是工具”这两个大概念。最后，按照“学什么”“如何学”“学得如何”的教学功能对大概念进行分类，从而在头脑中建立起丰富的大概念体系，表1是函数与平面向量两个模块的部分大概念。在系统梳理大概念的过程中，至少在理论层面教师的MK、PK、CK得到了协同发展。

表1 高中数学大概念

(二)利用大概念形成结构化的知识

在明确各个层级的大概念后，接下去就要以大概念为主线对教学内容进行梳理，调整前后顺序，打破原有的知识边界，结合教师对学生知识学习、思维发展和能力提升的系统考虑和期待，再根据知识间的关系以及知识与现象、与情境的关联程度，把知识有序地“安放”在大概念的结构框架中，从而将数学知识打造成一个联系紧密的结构化整体。当然，在这个过程中涉及的大概念往往比较多，并非所有的大概念都能作为主线，实现关联知识、促进知识结构化的目的，这需要结合教学主题与教学目标，选择一个大概念作为主线，若干个大概念作为知识节点。例如，对于“平面向量”模块，可以选择“向量是运算”这个大概念作为主线，然后以“运算背景”“运算规则”“运算性质”“运算的几何意义”等大概念为节点，从而形成“平面向量”模块的结构化知识体系，具体如图1所示。结构化知识的形成也就意味着教师的MK、PK、CK体系构建完成。

图1 “平面向量”模块的结构化知识体系

(三)利用大概念来改进传统教学

传统教学是以知识点为单位，按照其内在逻辑关系逐个实施的一种教学方式。从短期看，知识点教学对于知识点的掌握、数学思想方法的领悟具有积极的作用，但从长远看，知识点教学普遍存在着认知碎片化、思维浅层化、效果短期化等诸多弊端，而大概念可以改进传统教学的这些不足。具体做法是：先从学科知识体系和逻辑结构出发，提取学科大概念；然后，围绕大概念搭建核心观点框架；最后，将学科大概念细化为一个次级概念，成为课时教学的立意或者主题来统摄整节课的教学，从而实现提升学生的能力与素养的目的。

例如，对于“平面向量基本定理”这一课，传统教学一般采用是图2的教学流程。不难看出，在此教学流程中，知识的前后联系被人为割裂、平面向量的本质属性没有得到充分揭示，学生的学习更多地是停留在掌握现成的数学结论上，而没有深入到数学思想与核心素养层面。

图2 “平面向量基本定理”传统教学流程

由“向量是运算”这个大概念出发，自然衍生出“平面向量基本定理也是一种运算”，然后就立足这个大概念对上述教学进行改进，具体如图3所示。

图3 “平面向量基本定理”改进后的教学流程

改进后的教学凸显了平面向量的单元教学主题，揭示了知识之间的联系；在教学环节设计上，层层递进，环环相扣，步步深入，可以有效地驱动学生的学习进程。同时，在利用大概念改进传统教学的过程中，教师的MK、PK、CK也在实践层面中得到了检验。

通过对大概念本身的研究，教师可以透彻地理解教材；通过把大概念付诸教学实践，教师可以收获更多的教学经验。因此，大概念之所以能够对教师的MPCK的发展产生促进作用，其根本原因就是大概念与“自身的教学经验反思”“教材”这两大MPCK的主要来源直接相关，并且两个源头的作用在大概念的助力下被成倍地放大。