一种基于LoG算子的量子图像边缘检测算法

吴琼,马雷

(华东师范大学物理与电子科学学院理论物理研究所,上海 200241)

0 引言

随着科技的发展,计算机技术也日新月异。图像作为人类获取信息的主要来源之一,在医学、航空航天等领域有着重要作用。在数字图像处理中,必须从大量数据中提取重要信息,图像的边缘提取可以消除图像的无关信息,从而保留图像的特征,减少冗余信息量,为后续工作打下基础,所以图像边缘检测技术是数字图像处理领域最核心的技术之一。近年来,随着网络和多媒体技术的发展,图像数据库变得越来越庞大,如何实现图像边缘的实时精确定位和提取成为一个亟需解决的难题。

量子计算与量子信息是一门新兴的交叉学科,涉及物理学、计算机科学、数学和信息科学等领域。由于量子计算基于量子态的叠加性,既可以降低图像的存储空间,又可以减小计算的复杂度。目前为止,量子图像处理已经在图像加密[1]、图像水印[2]、图像分割[3]等问题上取得了一定的突破,近年来,人们对量子图像边缘算法进行了大量研究。

2015年,基于量子图像的灵活表示(FRQI)[4]模型,Zhang等[5]提出了一种新型量子图像边缘提取算法—Qsobel算法。基于数字图像增强量子表示(NEQR)模型[6],Fan等[7]在2019年提出了改进的量子拉普拉斯算法;2020年,Li等[8]提出了经典Marr-Hildreth边缘检测(即LoG算法)的量子实现。但是,对于经典边缘检测算法中涉及的卷积运算,这些基于FRQI、NEQR模型的量子边缘检测算法在量子电路上的操作十分复杂。

2017年,Yao等[9]提出一种新的量子图像表示―量子概率编码(QPIE)模型,他们将图像的像素值用量子态的概率幅表示,图像的像素位置用量子态的基态表示,并且提出了量子Hardmard边缘检测(QHED)算法,用一个Hardmard门就做到了相邻像素相减的效果,从而粗略地得到了一个图像的边缘,此算法完全不依赖于图像的大小。

综上所述,尽管量子图像处理近年来已经取得不少成果,但它还远未发展成熟,仍有不少工作需要去做,例如运用更简易的操作完成量子边缘提取算法。本文基于经典LoG算法提出了一种新的量子图像边缘检测算法,并通过计算机模拟计算证明了其有效性和可行性。然后,在图像中加入了连续变化的退相干数据,考察了该算法对噪声的敏感程度,结果表明在量子存储和量子计算过程中所发生的退相干在一定范围内对该量子LoG边缘检测算法并无较大影响,量子LoG图像边缘检测算法能够满足图像的高保真度要求。而对于环境干扰产生的噪声影响,该量子算法在噪声发生概率较低的范围内表现出较高的保真度。最后,通过与其他量子算法进行比较,证明本文所提出量子LoG图像边缘检测算法量子成本低,且抗噪性较好。

1 经典LoG算法

拉普拉斯算子是经典的边缘提取算子之一,用于边界检测时具有简单、计算速度快、容易实现等好处,但由于其对噪声太敏感,对信噪比不太高的图像,检测出边界的准确率会大打折扣。为了减少噪声带来的影响,可以使用滤波器对图像进行滤波处理,其中高斯滤波器就是一种较为常用的滤波器。对于图像,一般采用二维高斯函数,通过高斯滤波和拉普拉斯算子处理可以得到输出图像h(x,y)=∇2[g(x,y)*f(x,y)],式中*代表卷积运算,g(x,y)是二维高斯函数,f(x,y)是原图像,(x,y)是图像的横、纵坐标[10]。

在线性系统中微分和卷积运算可以交换次序,可得

也称为LoG算子(高斯-拉普拉斯算子),σ是正态分布的标准方差。一般使用离散的LoG算子来对图像进行边缘提取。

利用上述函数构造(2k+1)×(2k+1)的LoG卷积核,卷积核尺寸w=2k+1与σ的关系为:(INT表示取整运算)[11]。LoG算子的单位元素可表示为

下面给出一个w=5,σ=0.7,尺寸为5×5的LoG卷积核的例子,即

2 量子LoG图像边缘检测算法

量子图像的表示有FRQI模型、NEQR模型、QPIE模型等,考虑到边缘检测涉及大量像素灰度值的计算,本研究采用QPIE模型表示量子图像。

2.1 量子图像QPIE模型

对于二维图像Q=(Qi j)ML[9],其中Qi j为位置(i,j)处的像素值,i=1,···,M;j=1,···,L;M、L分别代表该二维图像长、宽的像素数量。用向量Q来表示图像的像素值,即Q=vec(Q)=(Q1,1,Q2,1,···,QM,1,Q1,2,···,Qi,j,···,QM,L)T。

图像数据Q可以被映射为一个有n=log2(ML)个量子比特的纯量子态,其中计算基矢|k〉对像素的位置进行编码,系数ck对像素值进行编码,当k＜ML时,ck=Qi j/(∑Q2ij)1/2;当k≥ML时,ck=0。通常,在将图像信息写入量子态之前要将像素值按适当比例缩放,使所得的量子态归一化。一旦图像的数据以量子形式表现出来,就可以通过各种量子算法对其进行后续处理。

2.2 量子LoG边缘检测算法

根据QPIE模型,对于一个有N=ML=2n个像素的图像Q,其可以表示为纯量子态

将LOG算子模板编码到含有5个量子比特的量子系统中,同样可以得到LOG算子的量子态为

对量子态|Q〉和|QLoG〉进行张量积运算:|R〉=|Q〉⊗|QLoG〉。

定义一个概率幅置换算符U,表示为

将I2n⊗H⊗5应用在量子态上,即

式中I2n表示一个2n×2n的单位矩阵,H⊗5表示5个Hardmard门直积。

对量子态进行测量,当后5个量子比特的结果是|00000〉时,就得到了量子图像边缘,其量子电路如图1。

图1 基于LoG算子的量子图像边缘检测电路Fig.1 Quantum image edge detection circuit based on LoG operator

得到原始图像的所有边缘像素点后,还可以对边缘图像进行二值化,即

式中阈值T是利用最大类间方差法计算得到的,由此可以得到边缘图像的二值图。

2.3 数值模拟与仿真分析

在经典计算机上利用Matlab软件对量子LOG边缘检测算法进行了模拟仿真计算,对四幅在数字图像处理领域常用的灰度图像进行边缘提取,结果如图2所示。

图2 量子LoG算法对图像的边缘检测。(a)～(d)均为包含256 pixel×256 pixel的灰度图像;(e)～(h)经典LoG算法的结果;(i)～(l)量子LoG算法的仿真结果Fig.2 Quantum LoG algorithm for edge detection of images.(a)-(d)Grayscale images containing 256 pixel×256 pixel;(e)-(h)Results of classical LoG algorithm;(i)-(l)Simulation results of the quantum LoG algorithm

由图2可见,在图像边缘检测效果的比较上,量子LoG算法并不弱于经典LoG算法,基本保留了图像边缘的重要信息,且能够检测到更多边缘,提取的信息更加丰富,说明量子LoG算法在一定程度上是可以取代经典LoG算法的,并且其运算速度比经典算法快得多。而相比其他的量子算法,例如文献[8]中基于NEQR模型提出的Marr-Hildreth边缘检测,对于一个有2n个像素的图像,它需要n+23个比特,而本研究基于QPIE模型提出的量子LoG算法只需要n+5个比特,大大简化了计算的复杂度,更易于在量子计算机上实现,这也是本研究所提出新算法的最大优势。

3 量子LoG图像边缘检测算法的退相干分析

由于量子位、量子门和量子存储器会受到外部环境和其他量子器件相互作用的影响,会发生量子纠缠,这些纠缠造成了最终图片信息的退相干,从而丢失有价值的信息。下面考虑两种退相干类型的误差,讨论了退相干对量子LoG图像边缘检测算法的影响。

3.1 在量子存储和提取过程中发生的退相干类型

在存储和提取信息过程中,量子态可能会由于误操作等因素产生一定的误差。假设量子态中每7个比特中就有1个比特位或产生位翻转型(σx型)误差,或产生相位翻转型(σz型)误差,或产生混合型(σy型)误差,可描述为

式中:p为产生误差的概率,eσi为一个大小为128 pixel×128 pixel的关于σi的误差矩阵,即

量子比特还可能同时发生三种类型的误差,理论上可以用此三类误差的线性组合表示。例如,假设三种误差同时等概率发生,可描述为

用量子态之间的保真度来衡量两个图像之间的相似度,从而检测量子边缘算子的抗噪性能。对于两个纯态|φ〉和|φ〉,保真度可以通过其内积的模平方定义,表示为[12]

显然,0≤F≤1。若这两个态是完全相同的,则F=1;若两个态完全正交,则F=0,即说明两个图像毫无关联。对于量子存储上的误差,可用(12)式来计算两个边缘图的保真度。

3.2 与环境相互作用产生的退相干类型

假设量子图像与环境有相互作用,由于外部噪声的状态与图像数据不在同一个Hilbert空间内,是一种混合态的关系,可描述为

式中:p为发生误差的概率,|Qnoise〉为高斯噪声态。

混合态密度矩阵为

而对于一个纯态|φ〉和任意态的密度矩阵ρ,它们的保真度可以表示为

3.3 量子LoG边缘检测算法与量子Hadamard边缘检测算法的抗噪性比较

考虑到本研究基于QPIE模型来表示量子图像,为了检测量子LoG边缘检测算法的抗噪性,将所提出算法与文献[9]中的量子Hadamard边缘检测(QHED)算法进行比较(QHED算法是利用相邻像素之间的差值来判断图像边缘的)。对于同一幅图像,假设在量子计算或存储过程中,每7个量子比特中可能有1个量子比特产生误差,其数值模拟结果如图3。图3(a)为量子存储过程中三种不同类型误差带来的影响,两种量子算法的保真度都随产生误差概率p的增加而下降,其中σy型误差的下降速度最快,σx型误差次之,σz型误差下降的速度最慢。由此可以看出,在相位翻转型误差下图像保真度较高,边缘提取的结果较好,对量子LoG算法的结果影响较小;而位翻转误差或混合型误差则对量子算法产生较大的干扰;图3(b)为三种误差同时等概率产生时的情况,其保真度下降幅度在图3(a)三种误差之间,由此可见量子比特分别产生三类噪声的影响要高于量子比特同时产生三类噪声的影响;图3(c)为外部环境造成的误差对保真度的影响,随着概率p的增大,保真度呈现出线性下降的趋势。可以发现其保真度的变化比纯态下的保真度变化曲线更光滑,这是由于混态是按概率混合的,且混态的密度矩阵也用了统计平均的方法,因而混态下的保真度变化曲线更光滑。

由图3可见,与QHED算法相比,量子LoG图像边缘检测算法在面对存储与提取过程中的退相干误差噪声时,其保真度随着噪声的增大而下降的程度更为平缓,显示出量子LoG图像边缘检测算法具有更好的抗噪特性,这一点在图像的识别上也非常重要。由于在量子LoG图像边缘检测算法中还考虑了邻域像素数据的影响,获得的边缘信息更为丰富,因而减少了发生错误识别的可能性。对于高斯类型的环境噪声,两种算法所得数据的保真度变化趋势基本相近。

图3 量子LoG边缘检测算法与QHED算法的抗噪性对比。(a)三类误差分别产生;(b)三类误差同时产生;(c)环境噪声存在Fig.3 Comparison of noise immunity between quantum LoG edge detection algorithm and QHED algorithm.(a)Three kinds of errors occur respectively;(b)Three kinds of errors occur at the same time;(c)Environmental noises exist

4 结论

针对边缘提取的实时性问题和现有量子图像边缘检测算法的不足,提出了量子LoG图像边缘检测算法。对于一幅2n个像素的图像,量子LoG图像边缘检测算法只需用n+5个量子比特即可完成边缘提取。与经典的边缘提取算法相比,该方案的计算速度大大提升,能够有效解决经典算法所遇到的实时性问题。与现有的量子图像边缘检测算法相比,本研究提出的量子算法所需量子比特更少,更易于实验实现。此外,通过分析在量子存储和环境相互作用中可能产生的退相干问题,发现该量子LoG图像边缘检测算法具有较好的抗噪性。